中考压轴题专题分类讲座(七)探究操作性问题.doc

探究、操作性问题
【知识纵横】
探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。
【典型例题】
【例1】（江苏镇江)探索研究
如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一
点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形； ②平行四边形为菱形；
x
l
Q
C
P
A
O
B
H
R
y

（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．
【思路点拨】（2）①证；②设，证AP=PQ;（3）求直线的解析式与抛物线方程组成联立方程组，讨论方程组解的情况。

【例2】（福建南平）
（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．

①如图1，求证：；
②探究：如图1， ；
如图2， ；
如图3， ．
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．
①猜想：如图4， （用含的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
【思路点拨】（2）②由正边形的内角定理，证。

【例3】（内江市）
在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．
A
B
P
l
l
A
B
P

C
图13-1

图13-2
l
A
B
P

C
图13-3
K

观察计算
（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）．
探索归纳
（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
方法指导
当不易直接比较两个正数与的大小时，可以对它们的平方进行比较：
，，
与的符号相同．
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
（2）请你参考右边方框中的方法指导，
就（当时）的所有取值情况进
行分析，要使铺设的管道长度较短，
应选择方案一还是方案二？
【思路点拨】参考方法指导解答探索
归纳（2）。

【例4】（浙江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．
（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
第一步 将矩形的短边与长边对齐折叠，点落在上的点处，铺平后得折痕；
第二步 将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．
则的值是 ，的长分别是 ， ．
（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．
（4）已知梯形中，，，，且四个顶点都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．
A
B
C
D
B
C
A
D
E
G
H
F
F
E

4开
2开
8开
16开
图1
图2
图3
（第26题）
a

【思路点拨】（3）证,，设，建立关于x的方程解之；（4）参考图3分二类情形讨论。

【学力训练】
1、（山东聊城）探索研究：如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪
去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
2、（山东枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点，与D1E1相交于点F．
（1）求的度数；
（2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1CE1绕着点顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．
B
（乙）
A
E11
C
D11
O
F
（甲）
A
C
E
D
B

3、（江苏盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置
关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．
第28题图
图甲
图乙
图丙
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF
相交于点P，求线段CP长的最大值．
4、（07丽水市）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积．将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为．
（1）分析与计算：
求正方形的边长；
（2）操作与求解：
①正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（＞0）的变化情况是 ；
A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先增大后减少 D．先减少后增大
②当正方形顶点移动到点时，求的值；
（3）探究与归纳：
（备用图）
A

B
C
A

B
C
O
D
E
F
设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式．

参考答案
【典型例题】
【例1】（江苏镇江)（1）由题可知．
，，
．
，即为的中点．
（2）①由（1）可知，，
，，
．
，
又，四边形为平行四边形．
②设，轴，则，则．
过作轴，垂足为，在中，
．
平行四边形为菱形．
（3）设直线为，由，得，代入得：
直线为．
设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：
解得．得公共点为．
所以直线与抛物线只有一个公共点．
【例2】（福建南平）
（1）①证法一：与均为等边三角形，
，
且
，
即
．
②，，．
（2）①
②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，

，即．
．
，， 13分
，

【例3】（内江市）
观察计算
（1）；
（2）．
探索归纳
（1）①；②；
（2）．
①当，即时，，．；
②当，即时，，．；
③当，即时，，．．
综上可知：当时，选方案二；
当时，选方案一或方案二；
当（缺不扣分）时，选方案一．
【例4】（浙江宁波）
（1）． （2）相等，比值为．
（3）设，
在矩形中，，
，，，
，
．
同理．
， ， ．
， ，解得．即．
（4）， ．
【学力训练】
1、（山东聊城）（1）设正方形的边长为cm，则
图1

图2
．
即．
解得（不合题意，舍去），．
剪去的正方形的边长为1cm．
（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分）
（2）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，
则与的函数关系式为：
．
即．
改写为．
当时，．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积
最大为40.5cm2．
（3）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．
若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：
．
即．
当时，．
若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：
．
即．
当时，．
比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．
5
4
1
2
3

2、（山东枣庄）
（1）如图所示，，，
∴．　　又，
∴．
（2），∴∠D1FO=60°．
，∴．
　又，，∴．
，∴．
又，∴．
在中，．
（3）点在内部．
理由如下：设（或延长线）交于点P，则．
在中，，
，即，∴点在内部．
3、（江苏盐城）（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
图丁
由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD
（2）画图正确　　　　　　　
当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD
图戊
（3）当具备∠BCA=45º时，
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）
∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x，
容易说明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，
．
∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1
A
B
C
O

D
E
F

M
N
（如图①）
4、（07丽水市）（1）∵，
设正方形的边长为，
∴，或（舍去）．
（2）．
．
（3）①当0≤＜4时，重叠部分为三角形，如图①．
可得△∽△，
A
B
C
O

D
E
F

（如图②）
∴，=．
∴．

②当4≤＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．
．
③当6≤＜8时，重叠部分为五边形，如图③．
A
B
C
O

D
E
F

M
（如图③）
可得，，．

=．

④当8≤＜10时，重叠部分为五边形，如图④．

=．
⑤当10≤≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．

A
B
C
O

D
E
F

（如图⑤）
．
A
O

B
C

D
E
F

M
（如图④）

O