高中数学-知识点练习答案圆锥曲线培优补差(二).pdf

椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系知识点回顾1、椭圆、双曲线、抛物线椭圆双曲线抛物线定义1到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点 M 到直线 l 的距离.图形方程标准方程12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数)范围axa，byb|x|a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）补充：双曲线：(1)等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.(2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.抛物线：（1）抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(,0)，准线方程 x=-，开口向右；抛物线2y2p2p=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程 x=，开口向左；抛物线=2py(p0)2y2p2p2x的焦点坐标是(0,)，准线方程 y=-，开口向上；抛物线=-2py（p0）的焦点坐2p2p2x标是（0,-），准线方程 y=，开口向下.2p2p（2）抛物线=2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离；抛物线=-2y20pxMF2y2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点2y2p顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF准 线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1到准线的距离，焦点到准线的距离为 p.2p（4）已知过抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，2y设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p，(叫做焦半径).AB21xx 12pAFxAF2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）、相切、相交、相离（2）、弦长公式：斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 AB，两个不同的11,x y22,xy点22221212121221()11ABxxyykxxyyk3、常用方法（1）巧用椭圆、双曲线的第二定义（2）解圆锥曲线经常用“设而不求”的方法，设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法（3）巧用韦达定理，直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，最好用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题，尤其在弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决经典练习：1、选择题1、设12FF是椭圆的左、右焦点，为直线32ax 上一点，2222:1(0)xyEababP是底角为30o的等腰三角形，则的离心率为（）12PFFE ()A12()B23()C()D2、等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两CxCxy162,A B点，；则的实轴长为（）4 3AB C 2 ()A2()B()C()D3、已知双曲线：的离心率为 2.若抛物线的焦1C22221(0,0)xyabab22:2(0)Cxpy p点到双曲线的渐近线的距离为 2，则抛物线的方程为（）1C2C (A)(B)(C)(D)28 33xy216 33xy28xy216xy4、椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为44x （A）（B）2211612xy221128xy（C）（D）22184xy221124xy 5、已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，1F2F22:2C xyPC12|2|PFPF则12cosFPF（A）（B）（C）（D）143534456、如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点。若M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3 B.2 C.3 D.27、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到xO0(2,)MyM该抛物线焦点的距离为，则（）3|OM A、B、C、D、2 22 342 58、如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b0）的左、右焦点，B 是虚轴的22221xyab端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M，若|MF2|=|F1F2|,则C 的离心率是A.B。2 3362C.D.239、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，24yxF,A BO3AF 则的面积为（）AOB ()A22()B2()C3 22()D3 6210、在抛物线25(0)yxaxa上取横坐标为14x ，22x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为()（A）(2,9)（B）(0,5)（C）(2,9)（D）(1,6)2、填空题1、椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点2221(5xyaa5)a Fxm、，的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是_。ABFAB2、已知双曲线 x2 y2=1,点 F1,F2为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 P F1P F2,则P F1+P F2的值为_.3、已知 P，Q 为抛物线上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P、Q 分别22xy作抛物线的切线，两切线交于 A，则点 A 的纵坐标为_。3、解答题1、设抛物线 y2=4x 截直线 y=2xk 所得弦长|AB|=3(1)求 k 的值；(2)以弦 AB 为底边，x 轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为 39 时，求点 P 的坐标2、已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x（1）求双曲线 C 的方程；（2）已知直线0 xym与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆225xy上，求 m 的值3、过点(0,1)C的椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆与x轴交于两点、(,0)Ba，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线,0A aAC与直线BD交于点Q.（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（）当点 P 异于点 B 时，求证：OP OQuuu ruuu r为定值.4、椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系1、选择题1、【答案】C21F PF是底角为030的等腰三角形，0260PF A，212|2PFFFc，2|AF=c，322ca，e=34，故选 C.2、【答案】C由题设知抛物线的准线为：4x，设等轴双曲线方程为：222xya，将4x 代入等轴双曲线方程解得y=216a，|AB=4 3，22 16a=4 3，解得a=2，C的实轴长为 4，故选 C.3、【答案】D 解析：由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a，b，c 的关系可知ab3，此题应注意 C2 的焦点在 y 轴上，即（0，p/2）到直线xy3的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直角三角形求解。4、【答案】C因为242cc，由一条准线方程为4x 可得该椭圆的焦点在x轴上县22448aacc，所以222844bac。故选答案 C5、【答案】C【解析】解：由题意可知，2,2abc，设12|2,|PFx PFx，则12|22 2PFPFxa，故12|4 2,|2 2PFPF，124FF，利用余弦定理可得22222212121212(4 2)(2 2)43cos242 2 24 2PFPFFFFPFPF PF。6、【答案】B 设椭圆的长轴为 2a，双曲线的长轴为2a，由 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则22 2aa，即2aa，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为 c，则双曲线的离心率为cea，cea，2eaea.7、【答案】B解析设抛物线方程为 y2=2px(p0),则焦点坐标为（0,2p），准线方程为 x=2p,32)22(2|22,222,132p22p-22202202OMMypyMM有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，Q8、【答案】B【解析】由题意知直线的方程为：，联立方程组得点 QBF1bxcby0,byaxbxcby，联立方程组得点 P，所以 PQ 的中点坐标为),(acbcacac0,byaxbxcby),(acbcacac，所以 PQ 的垂直平分线方程为：，令，得),(222bcbca)(222bcaxbcbcy0y，所以，所以，即，所以)1(22bacxcbac3)1(222222222acba2223ca。故选 B26e9、【答案】C10、2、填空题1、【答案】，32解析根据椭圆定义知：4a=12,得 a=3,又522caQ32,2acec2、【答案答案】2 3【解析解析】由双曲线的方程可知121,2,22,acPFPFa22112224PFPF PFPF22212121221212,(2)8,24,()8412,2 3PFPFPFPFcPF PFPFPFPFPFQ3、【答案答案】4【解析解析】因为点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，代人抛物线方程得 P，Q 的纵坐标分别为8,2.由所以过点 P，Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4，2，所2212,2xyyxyx则以过点 P，Q 的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得48,22,yxyx 故点 A 的纵坐标为41,4,xy 3、解答题1、解：(1)设 A、B,由得，k又由韦达定理,|AB|=.即=3，k=4(2)设 x 轴上点 P(x，0)，P 到 AB 的距离为 d,则d=,SPAB=3=39，|2x4|=26.x=15 或 x=11.P 点为(15，0)或(11，0).2、解：解：（1）由题意，得2333acca，解得1,3ac.2222bca，所求双曲线C的方程为2212yx（2）设 A、B 两点的坐标分别为 1122,x yxy，线段 AB 的中点为00,M xy，由22120yxxym得22220 xmxm（判别式0），12000,22xxxm yxmm，点00,M xy在圆225xy上，2225mm，1m 另解：另解：设 A、B 两点的坐标分别为 1122,x yxy，线段 AB 的中点为00,M xy，由221122221212yxyx，两式相减得121212121()()()()02xxxxyyyy.由直线的斜率为 1，121200,22xxyyxy代入上式，得002yx.又00(,)M yx在圆上，得22005yx，又00(,)M yx在直线上，可求得 m 的值.3、解析：（I）因为椭圆过 C(1,0)，所以 b=1.因为椭圆的离心率是，所以32，故，椭圆方程为.2223,2cabca又2,3ac2214xy当直线 过椭圆右焦点时，直线 的方程为，由得或ll13xy221,41,3xyxy8 3,71,7xy 则,故.0,1.xy8 30,1,17CD228 31|177CD 167（）直线 CA 的方程为 .设点 P，则直线 CD 的方程为12xy0,0 x0(2)x .01xyx把代入椭圆方程，得，从而可求.02084Dxxx200220084,44xxDxx因为 B(-2,0),所以直线 BD 的方程为 ，002222xyxx由可得，从而求得.04Qxx0042,1Qxx，00042014OP OQxxx uuu r uuu r所以为定值.OP OQuuu r uuu r4、