反比例函数专题知识点归纳常考(典型)题型重难点题型(含详细答案).doc

反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+
重难点题型（含详细答案）
一、目录
一、目录 1
二、基础知识点 2
1.知识结构 2
2.反比例函数的概念 2
3.反比例函数的图象 2
4.反比例函数及其图象的性质 2
5.实际问题与反比例函数 4
三、常考题型 6
1.反比例函数的概念 6
2．图象和性质 6
3．函数的增减性 9
4．解析式的确定 10
5．面积计算 13
6．综合应用 18
三、重难点题型 22
1.反比例函数的性质拓展 22
2.性质的应用 23
1.求解析式 23
2.求图形的面积 24
3. 比较大小 24
4. 求代数式的值 25
5. 求点的坐标 25
6. 确定取值范围 26
7. 确定函数的图象的位置 26

二、基础知识点
1.知识结构

2.反比例函数的概念
1．y=kx（k≠0）可以写成y=x-1（k≠0）的形式，注意自变量x的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；
2．y=kx（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数y=kx的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．
3.反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
4.反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：y=kx（k≠0）
2．自变量的取值范围：x≠0
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
k越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．k越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则
（－a，－b在双曲线的另一支上．
②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．
（4）k的几何意义

图1
①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是k（三角形PAO和三角形PBO的面积都是12k）．

图2
②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2k．
（5）说明：
①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
②直线y=k1x与双曲线y=k2x的关系：

当k1k2＜0时，两图象没有交点；
当k1k2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
5.实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；
（2）根据实际意义列函数解析式．
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

三、常考题型
1.反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A．y=3x B．y－3=2x C．3xy=1 D．y=x2
答案：A为正比例函数
B为一次函数
C变型后为反比例函数
D为二次函数

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A．y=14x B．y=-1x2 C．y=1x-1 D．y=1+1x
答案：A为反比例函数，k为14
B、C、D都不是反比例函数

2．图象和性质
（1）已知函数y=（k+1）xk2+k-3是反比例函数。
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．
②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
答案：①因为函数是反比例函数，且经过二、四象限
所以k+1＜0k2+k-3=-1
解得：k=－2
②因为函数是反比例函数，且y随x的增大而减小
所以k+1＞0k2+k-3=-1
解得：k=1

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=abx的图象位于第________象限．
答案：因为y=ax+b经过一、二、四象限
所以a＜0，b＞0
所以ab＜0
所以函数y=abx经过二、四象限

（3）若反比例函数y=kx经过点（－1，2），则一次函数y=－kx+2的图象一定不经过第_____象限．
答案：因为函数y=kx经过点（－1，2）
所以2=k-1，解得k=－2
所以y=－kx+2为y=2x+2
所以a＞0，b＞0
所以经过一、二、三象限

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数y=ax的图象上，则直线y=ax+b不经过的象限是
答案：因为点P（a，b）在反比例函数y=ax的图象上
所以b=aa=1
因为a·b＜0
所以a＜0
所以y=ax+b经过一、二、四象限，不经过第三象限

（5）若P（2，2）和Q（m，-m2）是反比例函数y=kx图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过哪几个象限？
答案：因为P（2，2）是y=kx上的点
所以k=4
因为Q（m，-m2）是反比例函数y=kx图象上的点
所以-m2=4m
所以m＜0
所以y=kx+m经过一、三、四象限

（6）已知函数y=k（x－1）和y=kx（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

A． B． C． D．
答案：B
3．函数的增减性
（1）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，则y1-y2的值为（ ）．
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
答案：A
因为k＜0
所以函数图像在二、四象限，y随x的增大而增大
因为x1＞x2
所以y1＞y2，所以y1-y2为正数

（2）在函数y=-a2-1x（a为常数）的图象上有三个点（-1，y1），（-14，y2），（12，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是怎样的？
答案：因为函数为y=-a2-1x，其中-a2-1＜0
所以函数图像在二、四象限，y随x的增大而增大
因为－1＜-14＜12
所以y1＜y2＜y3

（3）下列四个函数中：①y=5x；②y=－5x；③y=5x；④y=-5x．
其中y随x的增大而减小的函数有：
答案：要使y随x的增大而减小，则正比例函数k＜0
符合条件的有：②
③为反比例函数，且k＞0，是在每一个象限内y随x的增大而减小，不符合。
综上得，符合条件的有：②

（4）已知反比例函数y=kx的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
答案：y=2xy=x+1，解得x=1y=2
所以反比例函数过点（1,2），则k=2＞0
所以当x＞0时，在第一象限，y随x的增大而减小

4．解析式的确定
（1）若y与1x成反比例，x与1z成正比例，则y是z的（ ）．
A．正比例函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．不能确定
答案：B
因为y与1x成反比例
所以y∙1x=k1
因为x与1z成正比例
所以x=k2∙1z
合并得：yz=k1k2
所以为反比例函数
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数y=kx的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
答案：因为y=2x过点（2，m）
所以m=2×2=4
因为y=kx过点（2，m），即（2,4）
所以k=8
y=2xy=8x，解得另一个点为：（－2，－4）

（3）已知反比例函数y=m2x的图象经过点（－2，－8），反比例函数y=mx的图象在第二、四象限，求m的值．
答案：因为函数y=m2x的图象经过点（－2，－8）
所以－8×（－2）=m2
m=±4
因为y=mx的图象在第二、四象限
所以m＜0
所以m=－4
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数y=m+1x（m≠0）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．
①求x0的值；
②求一次函数和反比例函数的解析式．
答案：①3=x0+m3=m+1x0
解得：x0=1m=2
②一次函数解析式为：y=x+2
反比例函数解析式为：y=3x

（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：

①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
答案：①y=34x，0≤x≤8；y=48x，x＞8
②30
③消毒时间为：483-3×34=13.25＞10，所以有效

5．面积计算
（1）如图，在函数y=-3x的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为S1、S2、S3，求三个面积的大小关系。

答案：根据反比例函数图像面积的性质知
S1=S2=S3

（2）如图，A、B是函数y=1x的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．

A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
答案：C
设A（a，1a），其中a＞0，则B（－a，-1a）
BC= a－（－a）=2a，AC=1a－（1a）=2a
所以S=12×2a×2a=2

（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线y=mx上，且S△AOB=3，求m的值．

答案：根据反比例函数图像性质
S△AOB=m2
又因为图像在第一象限
所以m＞0
所以m=6

（4）已知函数y=4x的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小．

答案：y=4xy=x，解得x=2，y=2，即P1（2,2）
y=4xy=2x，解得x=2，y=22，即P1（2,22）
所以矩形OQ1P1R1的周长为（2+2）×2=8
OQ2P2R2的周长为（2+22）×2=62
因为82=64＜（62）2=72
所以OQ2P2R2的周长长。

（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数y=1x的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

答案：y=1xy=kx，解得x=±kk，y=±k
所以A（kk，k），C（－kk，-k），B（kk，0）
所以S=12×k×（kk-（-kk））=1

（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线y=kx与直线y=－x+（k+1）在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=32．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

答案：①y=kxy=-x+（k+1），解得x1=1y1=k，x2=ky2=1
所以A（1，k），B（1,0），C（k，1）
因为S△ABO=32
所以32=12×1×k
解得k=－3

所以反比例函数解析式为：y=-3x，直线解析式为：y=－x－2
②设直线交x轴于点D
则D（－2,0）
则s△AOC=s△DOC+s△AOD
=12×1×2+12×2×k
=4

（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．
① 求B点坐标和k的值；
② 当S=92时，求点P的坐标；
③ 写出S关于m的函数关系式．

答案：①根据反比例函数图像性质知
正方形OABC的面积9=k
因为是正方形，所以B（3,3）
②设FP与AB交于点D
因为无论P在什么地方，四边形OFPE的面积为9。而S=92
所以四边形OADF的面积为9－92=92=OA×OF
所以F（0，32）
所以n=32
所以m=6
③同理可推导出9－S=3n
n=9-S3
m=9n=279-S

6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数y=k2x（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（ ）．
A．互为倒数 B．符号相同 C．绝对值相等 D．符号相反
答案：D
因为若k1和k2同号，则必定有2个交点
因为无交点，所以符号必定相反

（2）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例数y=mx的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．

① 求反比例函数和一次函数的解析式；
② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
答案：①将点A坐标代入反比例函数得，m=－2
所以反比例函数解析式为：y=-2x
因为B也在反比例函数上，所以n=-21=-2，即B（1，－2）
将点A，点B代入一次函数得：1=-2k+b-2=k+b
解得：k=-1b=-1，即直线解析式为：y=－x－1
②x＜－2或0＜x＜1

（3）如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．

① 求点A、B、D的坐标；
② 求一次函数和反比例函数的解析式．
答案：① 因为OA=OB=1=1
所以A（－1,0），B（0,1），D（1,0）
②A（-bk，0），B（0，b）
所以-bk=-1b=1，k=1，b=1，则一次函数解析式为：y=x+1
因为D（1,0），所以C的横坐标为1
代入一次函数得，纵坐标为：1+1=2
所以D（1,2）
所以m=1×2=2，即反比例函数解析式为：y=2x

（4）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．

① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案：①因为交于点C（1,4）
所以k=1×4=4，即反比例函数解析式为：y=4x
D横坐标为4，代入反比例函数得：m=44=1
②要想△POC和△POD的面积相等，则只需要OP为CD的中垂线即可
因为C（1,4），D（4,1）
所以直线AB的解析式为：y=－x+5
设P（a，4a）
因为OP是CD中垂线
所以OP这条直线的斜率为1，即4a-0a-0=1
解得：a=2，所以P（2,2）

（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①1x+4x=0； ②1x-4x=0．
答案：①构造双曲线y=1x和直线y=－4x，它们无交点，说明原方程无实数解
②构造双曲线y=1x和直线y=4x，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．
四、重难点题型
1.反比例函数的性质拓展
1. 积的不变性：自变量x与其对应的函数y的乘积是定值，等于比例系数k，即ky=k（k≠0，k为常数），因此反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积不变，等于比例系数k。
2. 图象与k的关系：反比例函数的图象是两支双曲线。当k>0时，双曲线两个分支在第一、三象限内，如图1。当k<0时，双曲线两个分支在第二、四象限内，如图2。

3. 增减性：当k>0时，在每个象限内y随x增大减小；当k<0时，在每个象限内，y随x增大而增大。
4. 图象与坐标轴关系：在y=kx中，x≠0，所以y≠0，因此反比例函数的图象无限接近x轴，y轴，但永远不可能与x轴、y轴相交。
5. 对称性：①轴对称性：反比例函数的图象是轴对称图形，直线y=x和y=－x是它的两条对称轴。
②中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点。
6. 面积相等性：如图3，在反比例函数图象上任取两点P、Q，过P、Q分别作x轴、y轴垂线，垂足如图3，则有：
，。

图3

2.性质的应用
1.求解析式
（1）试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数的解析式：_______________。
答案：由反比例函数图像与k的性质知：k<0，可得出这样的解析式，如：y=-1x，y=-5x等。

（2）如图，点A是反比例函数图象上一点，自点A作y轴垂线，垂足为T，已知S△AOT=4，则此函数的表达式为__________。

答案：由面积相等性质可得：12k=4，k=±8
又由图形和k的性质得，k<0，所以k=－8，
故解析式为y=-8x。

2.求图形的面积
（1）如图，反比例函数y=-4x的图象与直线y=-13x的交点为A、B。过A作y轴的平行线，过B作x轴平行线，它们交于C，则△ABC的面积为_____

答案：
方法一：本联立y=-4xy=-13x求A、B坐标，再确定C的坐标，最后计算面积。
方法二：利用性质可得巧解。
如图过B作BE⊥x轴，E为垂足，AC、BC与x轴、y轴分别交于M、F，因为反比例函数与正比例函数都是以原点为中心的中心对称图形，则A、B交于原点坐标，由对称性知：AM=BE=MC，OM=OE，
所以S矩MCFO=S矩BEOF
由面积不变性得：S△AOC=S△BFO=12k=2
S矩MCFO=k=4
所以S△ABC=2+2+4=8

3. 比较大小
（1）已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P3（x3，y3）是反比例函数y=2x图象上三点且x1＜x2＜0＜x3，求y1、y2、y3的大小关系。
答案：因为x1＜x2＜0，所以P1、P2在同一象限即第三象限
所以0＞y1＞y2。
因为0＜x3
所以P3在第一象限，所以y3＞0
所以y3＞0＞y1＞y2

4. 求代数式的值
（1）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2-7x2y1的值等于____________。

答案：因为双曲线与直线y=kx均关于原点对称
所以A、B关于原点对称
所以x1=-x2，y1=-y2
又因为x1y1=4，x2y2=4，
所以2x1y2-7x2y1=-2x1y1+7x2y2=－8+28=20。

5. 求点的坐标
（1）已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=k2x的图象有一个交点（-2，-1），则它的另一个交点坐标是_________。
答案：因为反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称
所以两交点也关于原点对称
所以另一交点坐标为（2，1）。

6. 确定取值范围
（1）如图，已知M（2，1），N（2，6）两点，反比例函数y=kx的图象与线段相交，过反比例函数图象上任意一点P作y轴垂线PG，G为垂足，则△POG的面积S的取值范围是__________。

答案：当y=kx过（2，1）时，k=2
当y=kx过（2，6）时，k=12
由面积不变性质得S△PGO=12k
所以1≤S△PGO≤6

7. 确定函数的图象的位置
（1）函数y=-1x+1的图象不经过第___________象限。
答案：y=-1x的图象在第二、四象限内
将y=-1x的图象向上平移1个单位，即得y=-1x+1的图象
由平移可知：y=-1x+1的图象不经过第三象限