基于于MATLAB对于杨氏双缝干涉实验的研究.doc

目 录

诚信声明 …………………………………………………………………………（1）
论文题目 …………………………………………………………………………（2）
中文摘要 …………………………………………………………………………（2）
英文摘要 …………………………………………………………………………（2）
1 引言 ……………………………………………………………………………（2）
2 杨氏双缝干涉 …………………………………………………………………（2）
2.1 杨氏双缝干涉原理 …………………………………………………………（2）
2.2 杨氏双缝干涉的强度分布 …………………………………………………（3）
3 程序设计 ………………………………………………………………………（6）
3.1 单色光干涉条纹 MATLAB 程序 ……………………………………………（6）
3.2 干涉图像分析 ………………………………………………………………（6）
4 非单色光涉 ……………………………………………………………………（9）
4.1 非单色光干涉 MATLAB 程序 ………………………………………………（10）
5 总结 ……………………………………………………………………………（11）
参考文献 …………………………………………………………………………（11）
致谢 ………………………………………………………………………………（12）

基于MATLAB对于杨氏双缝干涉实验的研究
李先龙
摘要：本文运用MATLAB语言对杨氏双缝干涉实验进行了模拟仿真，绘制出在入射光波长、双缝间距、双缝到屏幕距离变化的情况下的干涉图样和光强分布曲线，从而克服了在实验室中做普通光学实验受到仪器和场所的限制，消除了在实验参数改变的情况下，干涉图样改变不明显的现象，对于理解光学和光学教学有重要的意义。
关键词：物理光学；双缝干涉;光强分布;程序编写；MATLAB
The research of Young’s Interference Experiment Based on MATLAB

LI Xian-long,
Abstract: Young's double slit interference experiment were simulated with MATLAB language in this paper. Draw on the wavelength of incident light wavelength, the double seam spacing, double slit to the screen distance change under the condition of the interference pattern and light intensity distribution carve, thus overcoming the ordinary optical experiment in the laboratory by instrument and places restrictions, eliminated in experiment parameter change situation, the interference pattern change is not obvious phenomenon, has important implications for understanding the optics and optical teaching.
Key Words: physics optics; the double interference; the light distribution; programming; MATLAB

1 引言：
众所周知,光学实验对仪器的稳定性要求很高,实验平台要求防震,对于复杂光路的搭建和实验仪器的调试非常耗费时间,而且环境的温度、湿度都对实验效果有一定影响。而MATLAB既是一种直观、高效的计算机语言，同时又是一个科学计算平台。它为数据分析和数据可视化、算法和应用程序开发提供了最核心的数学和高级图形工具。利用MATLAB模拟实验可以形象、直观地演示实验现象，探究光的干涉问题，而且不受实验仪器和场所的限制，可以通过改变模拟参数获得不同的仿真结果，并在显示屏上直接显示出来，动态直观地展现各物理量之间的关系，进而可以定性和定量的分析各参数对实验结果的影响。
2 杨氏双缝干涉
2.1 杨氏双缝干涉原理
杨氏双缝干涉的原理示意图如图2-1所示。S是一个单色光光源，从S发出的光波照射在距离为R的光屏上，光屏上有两个相距为d且平行的狭缝S1和S2。单色光通过两个窄缝射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，造成干涉现象。然而我们知道光干涉的三个条件是：第一，两列光波的频率必须相同。（这一条件的必要性是显而易见的，两列不同频率的光波不可能叠加。）；第二，两列光波频率相同，在相遇点的振动方向必须相同，或者有振动相同的分量；第三，两列光波在相遇的区域内，必须保持稳定的相位差[1]。
x
y
d
S1
S2
P(x,y,z)
D
S

图2-1
2.2 杨氏双缝干涉的强度分布
考察观察屏上的一点P，由文献[2]可以得到从狭缝S1和S2发出的光波在P点叠加产生的光强为
（2-1）
如果狭缝S1和S2大小相等，则有。另外，S1和S2到S的距离相等，则S1和S2的振动同相位，即。
这样根据式（2-1） 在P点叠加光波的位相差只取决于S1和S2到P点光程差[2]。设S1和S2到P点的距离分别为r1和r2，那么P点的光程
（2-2）
因而位相差
（2-3）
式中，n为介质的折射率。在空气介质中，n≈1，因此，式（2-3）可以简化为
（2-4）
因此，P点的光强度表达式可以写为
（2-5）
可见，P点的光强度取决于S1和S2到P点的光程差。由式（2-5）可知，当
（2-6）
即光程差等于半波长的偶数倍时，P点的光强有最大值当
（2-7）
即光程差等于半波长的奇数倍时，P点光强有最小值。
因为，因此，P点光强有最大值的条件可以改写为
（2-8）
即当为π的偶数倍，P点光强有最大值I=4I0。同样，P点光强有最小值的条件可以改写为
（2-9）
即当为π的奇数倍时，P点光强有最小值I=0。
为了确定观察屏上最大光强和最小光强的位置，假定观察屏上任意一点P的坐标为（x, y, D）,则
（2-10）

式中，d是S1和S2之间的距离。因此可以得到
（2-11）
因此光程差
（2-12）
在实际情况中d< （2-14）
（2-15）
上两式中的m称为干涉级。式（2-14）和式（2-15）表明：观察屏上z轴附近的干涉条纹是由一系列平行于y轴，并且等距的亮带和暗带组成，这些亮带和暗带称为干涉条纹。在干涉条纹中，最大光强和最小光强之间是逐渐变化的。由式（2-5）和式（2-14）可以得到条纹强度的变化规律为
（2-16）
可见，条纹的强度沿x方向作余弦平方变化，变化曲线如下图所示

图2-2
相邻两个亮纹或两个暗纹之间的距离称为条纹间距，由式（2-14）或是（2-15）可以得到条纹间距为
（2-17）
r1和r2之间的夹角称为相干光束的会聚角[2]，在d<间距与会聚角成反比，因此，干涉实验中为了得到间距足够宽的条纹，应该使S1和S2之间的距离尽可能小；另外，条纹间距与光波波长成正比，因此，波长较长的光的干涉条纹较疏。这样，用白光做实验时，观察屏上只有零级条纹（m=0，对应x=0）是白色的，在零级条纹的两边各有一条黑色条纹，黑色条纹之外就是彩色条纹。
3 程序设计及图像分析
3.1 单色光干涉条纹MATLAB程序[5][6]
clear
lam=500e-9
d=2e-3;D=1;
ym=0.001;xs=ym;
n=101;ys=linspace(-ym,ym,n);
for i=1:n
r1=sqrt((ys(i)-d/2).^2+D^2);
r2=sqrt((ys(i)+d/2).^2+D^2);
phi=2*pi*(r2-r1)./lam;
B(i,:)=sum(4*cos(phi/2).^2);
end
N=255;
Br=(B/4.0)*N
subplot(1,2,1)
image(xs,ys,Br);
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
plot(B,ys)
3.2 干涉图像分析
保持其他条件不变时，双缝间距d取不同值时，按公式（2-17）可以算出其对应相邻亮条纹中心间距e的值（表2-1）。
表2-1不同双缝间距对应的条纹间距值
/nm
D/cm
d/mm
e/mm

500

120

1.5
2.0
2.4
3.0
0.40
0.30
0.25
0.20
以MATLAB实现仿真，干涉图样如下图所示（图2-3）。
（a）d=1.5 mm （b）d=2.0 mm
（c）d=2.4 mm (d) d=3.0 mm
图2-3 不同双缝间距时的干涉条纹与光强变化曲线
由上图可以看出，在其他条件均不变的情况下，只改变双缝间距d，相邻亮条纹中心间距随双缝间距d值的增大而减小。根据文献[1]的理论推导可知，D和不变的情况下。d越大，e越小。
当保持双缝S1和S2间距d及双缝到屏距离D不变时，改变入射光波长时，按公式可计算出条纹间距e的值如下表2-2。
表2-2 不同波长时对应条纹间距e的值
d/mm
D/cm
/nm
e/mm

2.0

100

400
500
600
700
0.20
0.25
0.30
0.35
利用MATLAB编程得到仿真干涉图样如图2-4所示。
(a)=400 nm (b)=500 nm
(c)=600 nm (d)=700 nm
图2-4 不同波长时的干涉条纹与光强变化曲线
由上图可以看出，在其他条件均不变的情况下，只改变入射光波长，相邻亮条纹中心间距e随入射光波长值的增大而变宽，根据表中理论计算值对比分析可知与理论相符。
当保持S1和S2的间距d，入射光线波长不变，只改变缝屏的间距D时，按公式计算出条纹间距e的值如下表所示。
表2-3 不同缝屏间距时条纹间距e的值
/nm
d/mm
D/m
e/mm

600

2.0
0.8
0.24
1.0
0.30
1.2
0.36
1.4
0.42
由上面所编辑的单色光干涉程序可知，在不改变其他命令的情况下，只需要将MATLAB程序中波长和两光源间距改为上表中的数字，改变D的值用MATLAB仿真得到如下干涉模拟图如下图2-5所示：

D=0.8 m D=1.0 m

D=1.2 m D=1.4 m
图2-5 不同双缝到屏幕距离时干涉条纹与光强变化曲线
通过理论分析可知，在其它条件不变的情况下，干涉条纹间距e与缝屏D成正比。改变D的值利用MATLAB进行模拟得到如图2-5的结果。结果表明，在波长和双缝间距一定的条件下，D增大，条纹间距增大，D减小条纹间距减小。此模拟结果与理论分析相一致。
4 非单色光干涉
在杨氏双缝干涉实验中若用白光或其有一定谱线宽度的准单色光照射时，随着条纹级次的升高，干涉条纹的明暗对比逐渐减小直至条纹消失。其原因是由于光源含有不同波长的光波，每种光波都产生一套自己的干涉条纹，除零级条纹外，其它同级次的条纹将被彼此错开，并发生不同级次的重叠[8]。
4.1 非单色光干涉MATLAB程序
非单色光的波长不是常数，嘉定光源的光谱宽度为中心波长的10%，并且在该区域均匀分布，近似取19根谱线，相位差的计算表达式求出的将是不同谱线的19个不同相位。计算光强时应把这19根谱线产生的光强叠加并取平均值[7]，即
（4-1）

因此白光干涉的MATLAB仿真程序编写为下面所示程序[9]：
clear
lam=500e-9
d=2e-3;D=0.8;
ym=5*lam*D/a;xs=ym;
n=101;ys=linspace(-ym,ym,n);
for i=1:n
r1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2);
r2=sqrt((ys(i)+a/2)^2+D^2);
N1=19;dL=linspace(-0.1,0.1,N1);
lam1=lam*(1+dL);
phi1=2*pi*(r2-r1)./lam1;
B(i,:)=sum(4*cos(phi1/2).^2)/N1;
end
N=255;
Br=(B/4.0)*N
subplot(1,2,1)
image(xs,ys,Br);
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
plot(B,ys)
运行以上程序得到的干涉条纹如图4-1所示。
从图4-1可以看出，光的非单色性导致干涉现象的减弱，光谱很宽的光将不能形成干涉，在中学阶段研究也没有多大的意义，因此在光学教学中不采用非单色光作为光源，而是采用单色光作为光源进行实验。

图4-1 非单色光的干涉条纹与光强变化曲线
5 总结
依据杨氏双缝干涉理论，利用MATLAB强大的编程功能对实验的仿真结果可以看出：对于单色光来说条纹间距与入射光波长成正比，与双缝间距成反比，与双缝到屏幕距离成正比，这个结果与干涉理论结果相符，且各亮条纹光强都相等；
对于非单色光来说，杨氏双缝干涉形成的各级干涉亮条纹条纹光强不相等，形成中央亮条纹光强最大，两侧亮条纹光强逐渐降低的干涉图样。
而在以上仿真实验中，都不需要复杂光学仪器就可以直观的观察到不同参数下的干涉图样，比对其进行定性和定量的分析，对光学教学有着积极地作用。
参考文献
[1] 宋贵才.物理光学理论与应用[M].北京大学出版社，2010:3：131-138.
[2] 赵凯华.光学（上）[M].北京大学出版社，1984:49-125.
[3] 任玉杰.数值分析及其MATLAB实现：MATLAB7.x[M].高等教育出版社，2007：39-44.
[4] 付运良.MATLAB在光学教学中的应用[J].华南热带农业大学学报，2004，10：55-57.
[5] 毛欲民,洪家平.基于MATLAB的杨氏双缝干涉实验仿真[J].湖北师范学院学报.2007,27（1）:17-20.
[6] 王晶琳.焦玮.虚拟现实技术与应用[M].实验技术与管理，2003,20（1）:58-611.
[7] 于玉琴.在杨氏双缝干涉实验中非单色光干涉图样的原理理论判断方法[J].大学物理，,2003,16：26-28
[8] 徐代升,陶家友,等.单色光杨氏干涉图样计算机写真[J].湖南理工学院学报：自然科学版,2009,22,：39-44
[9] 盛虹.基于MATLAB的杨氏双缝干涉实验模拟[J].河南科学，2010,.28（6）217-260.

致 谢
本论文是在郭立帅老师精心指导和大力支持下完成的。郭老师以严谨求实的治学精神，高度的敬业精神，兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神，对我产生了重要的影响。他渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪，使我学到了许多书本上学不到的知识，受益匪浅。在此，瑾向郭老师表示崇高的敬意和衷心的感谢。
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