四川省大数据精准教学联盟2025届高三第一次统一监测理科数学试题答案.docx

四川省大数据精准教学联盟 2021 级高三第一次统一监测
理科数学答案解析与评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的并集运算等 基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。
集合 则
2．【答案】C
【考查意图】本小题设置体育锻炼相关的数学应用情境，主要考查概率等基础知识，考查运 算求解、推理论证等能力；考查概率统计等思想方法；考查数学抽象、数学建模等数学核心素 养。
【解析】基本事件的总数为 25，甲、乙参加同一项活动包含的基本事件有 2 × 23 = 24，所以甲、
乙参加同一项活动的概率为 ．
3．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的数量积运算，两个向量的夹角 公式等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心 素养。
由 得 又 |a| = |b| = 2，所以
故向量 a，b 的夹角为 135° .
4．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查二项式定理，展开式系数与常数项的求法 等基础知识；考查数学运算等数学核心素养。
【解析 展开式的通项公式为 令 6 - 3r = 0，得 r =
2，所以该展开式的常数项为 (-2(2C6(2)= 60．
5．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知 识；考查数学运算、数学抽象等数学核心素养。
【解析】易知程序框图的功能是求 lg (n+1( ≥ 2 得 n ≥ 99，所以输出 n = 99．

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6．【答案】D
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前 n 项和与通项公式等基础知识；考 查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
由 当 n = 1 时 当 n ≥ 2，an = Sn - Sn- 1 = 2n-1 - 2n-2 =
也满足，所以数列 {an{ 的通项公式为 an = 2n-2．
7．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数、幂函数构成的复合型函数为载体，主要 考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想，考查直观想象、 逻辑推理等数学核心素养。

可知f 为偶函数，排除 C，D；当 x > 0 时 若 0 时，x3 - 3x < 0，则f(x) < 0，x > 、3 时，x3 - 3x > 0，则f(x) < 0，B 不符题意，故选 A．
8．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化、指数函数与对数函数 的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心 素养。
【解析】依题意，a = log3π > 1；b = log43，且 0 < b < 1；c = log2e3，且 0 < c < 1． 由于 log4 3 > log2e3，所以 b > c，故 a > b > c．
9．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数图象与性 质等基础知识；考查数形结合思想，应用意识；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
由 当 函 数f (x(在区间 [0, 1 ] 上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知 得
10．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体为载体，主要考查空间点、线、面位置 关系、直线与平面所成的角等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想 象、数学运算、逻辑推理等核心素养。

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【解析】
易知平面 α 为平面 AB1D1 或与其平行的平面，M 只能为三角形或六边形． 当 M 为三角形 时，其面积的最大值为 ；当 M 为六边形时，此时的情况如图所示，设 KD = x， 则 依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可 由两个等腰梯形构成，其中 LP Ⅱ KO Ⅱ MN， ，两个等腰梯形的高分别为 ，
当且仅当 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积
最大，最大值为 ．

P

11．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几 何性质等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查数学运算、逻辑推理及直观想 象等数学核心素养。
【解析】
y

A
F1
x
F2 O
B

该双曲线的渐近线方程为 ，则∠ AOB = 60o，若 △OAB 为直角三角形，则只可能 ∠OAB = 90o 或者 ∠OBA = 90o，这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可． 如图所示， 在 中，有 又 ，
|AB| = 3，所以 S△ .
12．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程、导数综合应用问题，主要考 查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等 思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。

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【解析】依题意，f (x) = (x + 2)ex，可知 x <-2 时，f (x) < 0，x >-2 时，f (x) > 0，则 x =
-2 时，f(x) 取得极小值，也即为最小值；又 g (x) = lnx + a + 1，0 x) < 0，x > e-a-1 时，g (x) > 0，则 x = e-a-1 时，g(x) 取得极小值 g(e-a-1) =-e-a-1，也即为 g (x) 最小值． 由 ，解得 a = 1． 因为f (x1 ) =g (x2 ) = t (t > 0)，所以 (x1 + 1)ex1 =x2 ,可知 且 x 1 = lnx2，所以 令 当 > 0，当
< 0，故 t = e- 2(1) 时，h(t) 取极大值 也即为最大值．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查 化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。

14．【答案】27
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质、前 n 项和等基础知识； 考查数学运算等数学核心素养。
【解析】{an{为等差数列，a4 + a7 = a6 + 3 得 a5 + a6 = a6 + 3，所以 a5 = 3，则 = 27．

【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成 的角、三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、 数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】

如图取 AB 的中点 F，连接 DF，与 AE 交于点 H． 由翻折前后的不变性可知，PH ⏊ AE． 由 已知，四边形 DEFA 为正方形，则DF ⏊ AE，AE ⏊ 平面 PDF，所以∠ PHF 为平面 PAE 与平面 ABCE 所成角的平面角；且平面 ABCE ⏊ 平面 PDF，即 P 在平面 ABCE 上的射影 O 在直线DF 上（点 O 在线段 DH 或 HF 上均可）． 由题意可知，在 Rt△PHO 中，∠ PHO = 60° , 则

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又 S△ABC = 4，则
16．【答案】y =±x + 1
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定 义、标准方程和几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合、化归与 转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】
y
A
C H M B
O x
如图，设 ，设 AB 与 MC 交于 H． AB ⏊ MC，Rt△ACM 中，|AH| . |MC| = |AC| . 而 |AB| = 2|AH|，则 当 |CM| 最 小 时 ，|AB| . |MC| 取 最 小 值． 而
,当且仅当 x0(2) = 4 时，取得最小值，此时 M(±2, 1)． 此时，AB 的直线方程为 y
=±x + 1．
亦可构造一个以 M 为圆心，|MA|为半径的圆：(x∓2(2 + (y -1(2 = 4，与圆 C: x2 + (y -3(2 =4 的方程相减，可得 AB 的直线方程：y =±x + 1．
三、解答题：共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12 分）
【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主 要考查离直方图识别、统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析、数学建模及数学运算等 数学核心素养。
【解析】（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：
h-= 0.02 × 5 × 22.5 + 0.05 × 5 × 27.5 + 0.06 × 5 × 32.5 + 0.04 × 5 × 37.5 + 0.02 × 5 × 42 . 5 + 0.01 × 5 × 47.5 = 33(cm)． .......................................................................................4 分
（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30, 45) 的频率为：
(0.06 + 0.04 + 0.02) × 5 = 0.6．
所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间 [30, 45) 的概率为 0.6． .....................................................................................................................8 分
（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间 [40, 50) 的果苗为事件 A，该棵果苗受到这种病虫

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害为事件 分
18．（12 分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式， 角平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心 素养。
【解析】

（1）解法一：
由 及正弦定理，
可得 分 又 sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC，
所以 分 又在 △ABC 中，sinC ≠ 0，故 ，
所以 ． .......................................................................................... 6 分 解法二：由 及余弦定理，
可得 分 即 b2 c2 - a2 =-bc ， ...............................................................................4 分 所以
故 ． ............................................................................................... 6 分
由 知
又 b = 3，c = 5，S△ABC = S△ABD + S△ACD，............................................... 9 分
所以 ． ........................................................................................ 12 分
说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 E，则 △ADE 为
等边三角形（边长为 x），于是 解得 ．
19．（12 分）
【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考

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查多面体的结构特征、平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化、数形结合等 思想方法考直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）因为平面 PAD ⏊ 平面 PCD，AD ⏊ PD，所以，AD ⏊ 平面 PCD．
又 AD ⎳ BC，所以，BC ⏊ 平面 PCD，BC ⊂ 平面 PBC．
所以，平面 PBC ⏊ 平面 PCD． ...................................................................4 分
（2）AD ⎳ BC，BC ⊂ 平面 PBC，AD ⊄ 平面 PBC，所以 AD ⎳ 平面 PBC．
又平面 PAD ∩ 平面 PBC 的交线= l，AD ⊂ 平面 PAD，所以 l⎳ AD（可知直线 l 与平面 PAB 所成角等于直线 AD 与平面 PAB 所成角）．
由直线 l 与直线 AB 所成的角为知 ．
可推出 . ..........................................................................6 分
由（1）可知，AD ⏊ 平面 PCD，即平面 ABCD ⏊ 平面 PCD．
过 P 作直线 CD 的垂线，垂足为 H，则 PH ⏊ 平面 ABCD．
方法 1：
,则 ∠CPD = ∠DCP = 30°,则∠ PDC= 120° , PD = 2，． △PBC 是一个直角三角形，

,
S△△ .
设点 D 到平面 PAB 的距离为 h，
由 得 △△DAB ∙ PH，
解得 ． .......................................................................................10 分 直线 l 与平面 PAB 所成角的正弦值为 分 方法 2：
—→ —→ —→
以 H 为坐标原点，分别以向量 DA，HD，HP 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图 空间直角坐标系．
则 A(2, 1,0)，B(4,3,0)，D(0, 1,0)，，

设平面 PAB 的法向量为 n = (x, y,z)， 由 得 取 得 ，
则平面 PAB 的一个法向量为分
又 AD(—→)= (2, 0,0)，令直线 AD 与平面 PAB 所成角为 α ,

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所以，直线 l 与平面 PAB 所成角的正弦值为 ． .............................. 12 分
20．（12 分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆 的方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系；考查数形结合、函数与方程、化归与转 化、分类与整合等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】（1）由题意，曲线 C 的离心率
显然 即 又因为

故 即 ． ................................................................4 分
（2）设点 P，Q 的坐标分别为 (x1, y1)，(x2, y2)．
由题意，当直线 PQ 的斜率不为 0 时，设直线 PQ 的方程为 联立方程组 消去 x 并整理得 此方程有两个不等实根，分别为 y1，y2，且满足
分
由已知，点 R 的坐标为 则直线 QR 的方程为 根据椭圆的对称性可知，如果直线 QR 过定点，则此定点一定在 x 轴上．
令 y = 0，可得 分 而 所以

此时 为定值． ........................................................................... 11 分 当直线 PQ 的斜率为 0 时，直线 QR 与直线 PQ 重合，必然过点 综上，直线 QR 过定点，定点的坐标为 分
21．（12 分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以函数与不等式为载体，设计不等式、函数零点问 题，主要考查函数性质、导数应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查

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数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）令 g(x) =f(x) - 1 = ax2 +x - lnx - a - 1(x > 0)，
则 g 分 ①当 a > 0 时，知 g (x) 在 (0，+∞) 上单调递增．
又 g = 2a > 0，g
则 ∃ x0 ∈ (，1)，g (x0) = 0．
当 x >x0 时，由于 g (x) 单调递增，则 g (x) >0，所以 g(x) 在 (x0，+∞) 上单调递增． 又 g(1) = 0，所以当 x0 1 可知当 0 < x < 1 时，g (x) < 0；当 x > 1 时，g (x) > 0．
所以当 x = 1 时，g(x) 取得极小值，也即为最小值，该最小值为 g(1) = 0．
所以 g(x) =f(x) - 1 ≥ 0，即f(x) ≥ 1，不等式成立． .............................5 分 ③当 a < 0 时，可 x →+∞时，g(x) →-∞ ,故f(x) ≥ 1 不恒成立，不符题意． 综上所述，a 的值为 0． ...............................................................6 分
（2）欲证f(x1 +x2) + ln(x1 +x2) > 2 - a，
只需证 a(x1 +x2)2 + (x1 +x2) - ln(x1 +x2) - a + ln(x1 +x2) > 2 - a，
即证明 a(x1 +x2)2 + (x1 +x2) > 2，............................................................7 分
因为 ax 1(2) +x1 - lnx1 - a = 0，ax2(2) +x2 - lnx2 - a = 0，
两式相减，得 a(x1 +x2) (x1 -x2) + (x1 -x2) - (lnx1 - lnx2) = 0，
整理得 分 所以，只需证明不等式
即证明 即证明
不妨设 0 h (1) = 0，
则 0 < t < 1 时，h(t) 单调递增，则 h(t) < h(1) = 0，

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所以，原不等式成立，故不等式f(x1 + x2) + ln(x1 + x2) > 2 - a 得证． 12 分
（二）选考题：共 10 分． 请考生在第 22，23 题中任选一题作答． 如果多做，则按所做的第一题 计分．
22． [选修 4 －4：坐标系与参数方程]（10 分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线 与圆的位置关系等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法；考查数学运算、推理论 证、直观想象等数学核心素养。
【解析】（1）直线 l 的一个参数方程为 为参数）． ....2 分 由上，直线 l 与 x 轴的交点坐标 Q (2，0(． ...............................................3 分 所以，圆 Q 的极坐标方程为 ρ = 4cosθ . .................................................5 分 （2）

由（1）可知，直线 l 的倾斜角为 45° ,圆 Q 的圆心为 Q (2，0(，半径为 2．
如图，易知 分
所以 △MON 的面积 分
说明：本小题亦可用几何关系求出点 O 到直线 l 的距离 d，用 求出面积；还可在直 角坐标系内用普通方程、在极坐标系内求出点 M，N 的坐标求解。
23． [选修 4 －5：不等式选讲]（10 分）
【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查均值不等式、不等式证明方法等基 础知识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）当 x <-1 时，f(x) =-3x + 1 ≤ 5 - x，解得 -2 ≤ x <-1；
当 -1 ≤ x ≤ 1，f(x) =-x + 3 ≤ 5 - x，得 -1 ≤ x ≤ 1；
当 x > 1 时，f(x) = 3x - 1 ≤ 5 - x，可得
综上所述，f(x) ≤ 5 - x 的解集为 分

（2）由（1）知，当 x <-1 时，f(x) =-3x + 1 > 4；当 -1 ≤ x ≤ 1 时，f(x) =-x + 3 ≥ 2；x > 1 时，f(x) =3x - 1 > 2，则f(x) 的最小值为 2，即 M = 2．
故 a + b = 2，0 < a < 2，0 < b < 2，..........................................................7 分
+ = + = + = + + (a + b) - 8 =
当且仅当 a = b = 1 取“= ”．

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所以 .................................................................................. 10 分
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