【新高考卷】名校教研联盟2025届高三2月开学考试 数学.docx

绝密★启用前(新高考卷)
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M={x|x²<2},N={-1,0,1,2}, 则M∩N=
A.{-1,2} B.{0,1,2} C.{-1,1} D.{-1,0,1}
2. 已知 , 则z²+z=
A.-4+6i B.-2+2i C.-4+2i D.-2+6i
3. 已知椭圆C: (a>b>0) 的焦距为2,且ab=√6, 则 C 的离心率为
B. D.
4. 乒乓球被誉为我国的“国球”,一个标准尺寸乒乓球的直径是40mm, 其表面积约为
A.3000mm² B.4000mm² C.5000mm² D.6000mm²
5. 已知函数f(x)=x³-ax²+x+1 没有极值点，则a 的取值范围是
A.(-√3,√3) B.[-√3,√3] C. (一∞, √3) D.[√3,+∞]

6. 已知α,β∈(0,π),且 ,cosa=sin βtan β, 则
A.α=β B.α+β=π C. D.
7. 已知一组样本数据x₁,x₂,…,x₆ 的方差为10,且5.设y,=x₁+(-1)'(i=1,2,…,6), 则样本 数据y₁,y₂,…,y₆ 的方差为
A.9.5 B.10.5 C.9.75 D.10.25
8. 甲、乙丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组.已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同 时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有
A.45 种 B.81 种 C.90 种 D.162 种
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二 、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数 , 则
A.f(x) 的最小正周期是2π B.f(x) 的值域是[-1,3]
C.y=f(x) 的图像关于点对 称 D.y=f(x) 的图像关于直线 对称
10. 已知点A(4,1),F₁,F₂ 分别为双曲线C 的左、右焦点， P 为 C 的右支上一点，则
A.|PA|+|PF|<6√2 B.|PA|+|PF₂|≥3√2

C.|PA|-|PF|≤-√2 D.|PA|-|PF₂|>-√2

11. 在 △ABC 中 ，AB=AC=5,BC=√50, 边 AB,AC 在平面α上的射影长分别为3,4,则边BC 在 α
上的射影长可能为
A.7 B.6 C.1 D.0
三 、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知向量a=(k,2),b=(1,1), 若b⊥(b-a), 则k= ,|a+b|=
13. 记S 为等差数列{an}的前n 项和，若a₂=3,S₅=25, 则 S₇=
14. 已 知a>0 且 a≠1, 函 数 在(0,+0∞)的最大值为- 3,则 f(x) 在(-∞,0)的最小值 为_
四 、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 . (13分)
记 △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已 知 2b=c.
( 1 ) 若cosB=sinC, 求 tan2B;
( 2 ) 若 a=√2, 求 △ABC 的面积.

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16 . (15分)
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形， E,F 分别为PB,PC
的 中 点 ，G 为线段AC 上一点，且CG3AG.
( 1 ) 证 明： EG// 平面BDF;
(2)若 PD⊥ 平面 ABCD, 且AD=2PD, 求二面角B-EG-D 的正弦值.

17 . (15分)
已知某客运轮渡最大载客质量为4000kg, 且乘客的体重(单位： kg) 服从正态分布N(60,100).
(1)记X 为任意两名乘客中体重超过70kg 的人数，求X 的分布列及数学期望(所有结果均精确到0.001);

(2)设随机变量X;(i=1,2,…,n) 相互独立，且服从正态分布N(μ,σ²), , 则 当n≥20 时，

可认为ξ服从标准正态分布N(0,1).若保证该轮渡不超载的概率不低于97.7%,求最多可运载多少名乘客.
附：若随机变量η服从正态分布N(μ,o²), 则 P(μ-σ<η<μ+σ)=0.6826; 若ξ服从标准正态分布N(0,1),
则P(ξ<2)=0.977;0.1587²≈0.0252,0.8413²≈0.7078,0.1587×0.8413≈0.1335.

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18. (17分)

已知抛物线C:y²=4x 的焦点为F,△PQR 各顶点均在C 上，且PF+QF+RF=0.

(1)证明： F 是△PQR 的重心；

(2)△PQR 能否是等边三角形?并说明理由；

( 3 ) 若P,Q 均在第一象限，且直线PQ 的斜率为 ,求△PQR 的面积.

19 . (17分)

已知函数
( 1 ) 若a=-log₂e,b=0, 求 f(x) 的极值；

( 2 ) 若a,b∈(0,1), 设x₁=1,xn+1=f(xn). 证明：

(i)xn