云南师范大学附属中学2025届高三下学期高考适应性月考卷（八）数学.docx

数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则（ ）
A． B． C．3 D．
2．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．某食品公司共有A，B，C三条生产线，产量占比为3：2：5，为检查新一批次食品添加剂使用量是否合格，用分层随机抽样方法进行调查现从这3000件食品中抽检5%，则不同的抽样方法共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
4．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．2600 B．2480 C．1660 D．1460
6．已知平面向，，，，， ，若，则的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．
7．网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶而必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（参号数据：，）
A．0.32元． B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元
8．在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面、已知菱形ABCD的边长为2，，P在菱形ABCD的内部及边界上运动，空间中的点Q满足，则点Q轨迹所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目婴水，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（ ）

A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
11．p为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．的离心率为
C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共IS分）
12．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
13．我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数，则它的焦点坐标为______．
14．如图，正五角星是一种蕴含美感的图形，在正五角星中可以找到很多对线段，它们的长度关系都符合黄金分割比，我们可以把正五角星看成五个顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成的图形，已知正五边形的边长，则该正五角星的边长AB长为______．

四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
近两年来，自行车的市场占有率在不断提升，随着人们的健康意识不断增强，骑自行车不仅仅是人们出行的交通方式，也渐渐成为一种新颖的运动，越来越多的人加入了骑行一族．在某地区随机调查了100位自行车骑行者的年龄分布情况，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．

（1）数据显示，该地区年龄在岁内的人口占比为12%，该地区自行车骑行率约为13%，从该地区任选一人，已知此人年龄在内，求此人是自行车骑行者的概率；
（2）对这100位自行车骑行者进行统计，骑行频率次/周的共有70人，其中年龄在40岁以下的占80%．请完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联．
年龄
骑行频率
年龄
合计
岁
岁
次/周

次/周

合计

附：，其中．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
16．（本小题满分15分）
如图，在平行六面体中，，，，，点P满足．

（1）证明：O，P，三点共线；
（2）求直线与平面PAB所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知，其中为自然对数底数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知有极值，求的所有极值之和的最大值．
18．（本小题满分17分）
平面上一动点满足．
（1）求P点轨迹的方程；
（2）已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并说明：为定值
19．（本小题满分17分）
材料一：有理数都能表示成（s，，且，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为
材料二：我们知道．当时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即；为提高精确度。可以用更高次的多项式逼近指数函数．
设对等式两边求导，
得
对比各项系数，可得：，，，…，；
所以，取，有，
代回原式：．
材料三：对于公比为的等比数列，当时，数列的前n项和
阅读上述材料，完成以下两个问题：
（1）证明：无限循环小数3.7为有理数；
（2）用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
B
C
D
A
【解析】
1．因为为纯虚数，
所以且，即故选C．
2．“，”为真命题，当时，，则，故选D．
3．3000件食品中，A，B，C三条生产线的生产量分别为900件、600件、1500件，
抽检总量为件，分层随机抽样，
分别从A，B，C三条生产线抽检，、件，
按照分步乘法计数原理，共有种方法，故选A．
4．配方可得，圆，点在圆O外，
所以，即，解得或，故选A．
5．因为为等差数列，所以，当时，，
所以，，所以，
公差为6；，且也为等差数列，
公差，
所以，故选B．
6．如图，令，，，由余弦定理得，

，，
因为，所以，
则C点在圆E的优弧AB上运动，
其中，，，，
则，所以，
所以故选C．
7．该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米，
则纸箱的体积，表面积，
成本为，
则，令，得，
则．当时，，当时，，
当时，P有最小值，
所以（元），故选D．
8．Q的轨迹所围成的几何体截面图（过平面ABCD）如图所示，

其中ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL区域内的几何体为半圆柱，
高为2，底面半径为1，体积为；
AFG，BEL，CKJ，DHI区域内的几何体为球的一部分，球心分别为A，B，C，D，
半径为1，，，
，
所以这四个区域的几何体组成一个完整的球，体积为；
ABCD区域内的几何体为棱柱，高为2，体积为，
所以Q的轨迹所围成的几何体体积为，故选A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号
9
10
11
答案
ABC
BCD

ACD
【解析】
9．因为在上单调递增，
所以，即移项得，故A正确：由基本不等式，取等，，故B正确；
，则，故C正确；
若，则，不一定成立，故D错误，故选ABC．
10．N为为AB的中点，则，
，所以N点的坐标为，故A错误；
由，可得，故B正确；，
又因为，，则，
所以，故C正确；
有向线段，，，
所以，故D正确，故选BCD．
11．如图，在中，

由正弦定理，，
则，即，
所以，，
最大值为，故A正确，B错误；
由题意可得，的．斜率不为0，设，联立方程
得，
恒成立，，，
设与的内切圆半径分别为，，
因为，
，所以，即，
，，，
所以，

即，，所以，C正确；
作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影，
设，，，
所以，，
则，
得，同理可得，
所以，故D正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号
12
13
14
答案
448

【解析】
12．展开式的通项为，
令，解得，故常数项为．
13．，将函数图象向左平移个单位，
得到的图象，即，它表示的曲线是以为焦点的抛物线，
则原函数图象的焦点坐标为．
14．如图，在等腰三角形ABC中，

，，取的角平分线交AC于点D，
则，，
则，且，设，
因为，即，解得，则，正五角星的边长为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）设A＝“此人年龄在[内”，B＝“此人是自行车骑行者”，
则．
（2）由频率分布直方图可得，这100位自行车骑行者中，
年龄岁的共有（人），
其中骑行频率次/周的有（人），
年龄岁的有26人，骑行频率次/周的有（人），
列联表如下：
骑行频率
年龄
合计
岁
岁
次/周
18
12
30
次/周
56
14
70
合计
74
26
100
零假设为：骑行频率与年龄之间无关联．
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为骑行频率与年龄之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
16．（本小题满分15分）
（1）证明：，所以，
而，
所以，即O，P，三点共线．
（2）解：连接，，，所以，
，，，
由余弦定理得，
同理可得，．
又为BD的中点，，．
，，即．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，
由（1）可得，P为线段三等分点，
所以，
，，，
设平面PAB的法向量为，
则可取．
设直线与平面PAB所成角为，
则，
直线与平面PAB所成角的正弦值为．
17．（本小题满分15分）
解：（1），
令，解得或．
①当，时，，在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，，在R上单调递增；
③当时，，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可得，当时，无极值，当时，
有两个极值，分别为，
，
，
令，，，
，令，得，
在上单减，在，上单增，在上单减，
当时，，，
，即为所求．
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2，
由双曲线的定义，P点轨迹是以，）为焦点的双曲线的左支，
设，则，，，
所以的方程为．
（2）如图，不妨设点P在第二象限，

①当的斜率不存在时，
，令，解得，则，此时，
在中，，，，即；
②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，
则，，
假设成立，即，
则有，
即．
又，，
又点P的坐标满足，即，
，
，假设成立，当时，有成立．
此时，由对称性可知，，而，
为定值．
19．（本小题满分17分）
证明：（1）
，
当时，，故为有理数．
（2）由题可得，，
取，有，
假设e为有理数，不妨令（，且，s与t互质），
等式两边同乘t!得：，
易得，为正整数，也为正整数，则亦为正整数，
但
，不可能为正整数，矛盾，
所以e为无理数．