高中数学椭圆教案.doc

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优学教育学科教师辅导教案
讲义编号 lk-zy

学员编号：lk-zy 年 级：高三 课时数：1
学员姓名：周颖 辅导科目：数学 学科教师：刘凯
课 题
椭圆
授课日期及时段
2013-1-16-11:30-13:30
教学目的
1.掌握椭圆的两个定义
2.掌握椭圆的性质
3.会利用椭圆的性质解题
教学内容

一，知识点罗列
1.椭圆的两种定义：
①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的动点P的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| ，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.
2 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；
焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中（一个三角形）
（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；
焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中
注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。
3 参数方程：焦点在x轴， （为参数）
4 一般方程：
5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）有以下性质：
坐标系下的性质：
① 范围：|x|≤a，|y|≤b；
② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；
③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；
（半长轴长，半短轴长）；
④椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
焦点到准线的距离（焦参数）
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
⑤焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；|PF1|==a+ey0，|PF2|==a-ey0 ，左加右减，上减下加
⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=
平面几何性质：
⑦离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越扁，是圆。
⑧焦准距；准线间距
⑨两个最大角
焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）的性质可类似的给出。
6．焦点三角形应注意以下关系：
(1) 定义：r1＋r2＝2a
(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2
(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |= c| y0 |=
(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)
7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆（a＞b＞0）的共焦点椭圆设为
8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 　　　　　　　标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.
9.弦长公式： （a,b,c为方程的系数

二，题型总结
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
例1 .椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
O
x
y
D
P

A

B
C
Q
A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能

例2.点P为为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：取得最值时的点坐标。

题型2 求椭圆的标准方程
例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.

考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
例4. 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．

题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
例5. 已知实数满足,求的最大值与最小值

考点3 椭圆的最值问题
题型1: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
例6.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
题型2.
的最值
若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。
例7. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。

考点4 直线与椭圆相交问题
题型1 直线与椭圆相交求弦长
(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。
(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。
（a,b,c为方程的系数）
例11.已知直线过椭圆的一个焦点，斜率为2，与椭圆相交于M、N两点，求弦的长。

题型2“点差法”解题。“设而不求”的思想。
当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。
步骤：1.设A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；
2.设为AB的中点。两式相减，
3.得出
注：一般的，对椭圆上弦及中点，，有
例12.已知椭圆， 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程

考点五.轨迹问题
这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。
1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。
2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式
3定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。
4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。
常用的参数有斜率k与角等。
例13：的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程：

课堂练习
1. 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
2. 已知为椭圆上的一点分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15

3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
5. 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ）
A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
6.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=
7.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点
则________________

8.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
9.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
10. 已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，
是原点，则四边形的面积的最大值是_________．

回家作业
1．椭圆的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．P是椭圆上一点，P到右焦点F2的距离为1，则P到相应左焦点的准线距离为（ ）
A． B． C． D．
4．若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为，这个椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
6．离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为 ___________ .
7．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．
8.设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于_____________
9.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=________