上海高考数学文科试题含答案.doc

2013年上海高考数学试题（文科）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式的解为 ．
【解答】
2．在等差数列中，若，则 ．
【解答】
3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则 ．
【解答】．
4．若，，则 ．
【解答】
5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是 （结果用反三角函数值表示）．
【解答】，故．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
【解答】
7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则 ．
【解答】，故．
8．方程的实数解为 ．
【解答】原方程整理后变为．
9．若，则 ．
【解答】，
10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则 ．
【解答】
作下底面圆心O’，联结OO’，AO’，直线OA与OO’所成角的大小为，
所以

11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．
【解答】7个数中，3个偶数，4个奇数，所以为偶数的概率是
12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为 ．
【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．
13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 ．
【解答】
14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是 ．
【解答】向量数量积的最小值在于两个向量的模相等，而方向恰好相反。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．函数的反函数为，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解答】
16．设常数，集合，．若，则的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解答】

17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
【解答】“好货”推得“不便宜”，“不便宜”不一定推得“好货”。答案：A
18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（ ）
（A）0 （B） （C）2 （D）
【解答】当x+y取得最大值时，点（x，y）必在第一象限。
，答案：D
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．
O’
D
【解答】由已知条件可知，正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，经计算得底面的面积为，所以该三棱锥的体积为。
设是正三角形的中心，由正三棱锥的性质可知，垂直于平面。延长交于，得，，又因为，所以正三棱锥的斜高。故侧面积为。
所以该三棱锥的表面积为
20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．
（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为元；
（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．
【解答】（1）生产千克该产品所用的时间是小时，所获得的利润为，所以，生产千克该产品所获得的利润为元。
（2）生产900千克该产品，获得利润为，。
设利润为元，则
故时，元．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，其中常数．
（1）令，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．
【解答】（1）。

所以，既不是奇函数，也不是偶函数
（2）根据平移之后，得到
令，得
因为恰含10个周期，所以，
当a是零点时，在上零点个数为21个；
当a不是零点时，也都不是零点，区间上恰有两个零点，故在上有20个零点。
22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
已知函数．无穷数列满足．
（1）若求，，；
（2）若，且，，成等比数列，求的值；
（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．
【解答】（1）
（2）
①当时，，所以，得（舍去）或。
②当时，，所以，得。
综合①②得或。
（3）假设这样的等差数列存在，那么。
由得（*）
以下分情况讨论：
①当时，由（*）得，与矛盾；
②当时，由（*）得，从而
所以是一个等差数列；
③当时，则公差，因此存在使得，此时，矛盾。
综合①②③可知，当且仅当时，构成等差数列。
23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．
（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；
（3）求证：圆内的点都不是“型点”．
【解答】：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；
（2）直线与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须；
直线与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则

直线与圆内部有交点，故
化简得，。。。。。。。。。。。。①
若直线与曲线C1有交点，则

化简得，。。。。。②
由①②得，
但此时，因为，即①式不成立；
当时，①式也不成立
综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆内的点都不是“C1-C2型点” ．