高考理科数学各地试题分类汇编.doc

高考理科数学各地试题分类汇编4
全国高考理科数学试题分类汇编4：数列

一、选择题
．（2013年高考上海卷（理））在数列中,,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
【答案】A.
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知数列满足,则的前10项和等于
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
．（2013年高考新课标1（理））设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )
A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
【答案】B
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是

(A) (B) (C) (D)
【答案】B
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列的公比为q,记
则以下结论一定正确的是( )
A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为
C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为

【答案】C

．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列的前项和为,已知,,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
．（2013年高考新课标1（理））设等差数列的前项和为,则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题WORD版））下面是关于公差的等差数列的四个命题:

其中的真命题为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于
A.-24 B.0 C.12 D.24
【答案】A
二、填空题
．（2013年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.
【答案】解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得
.
所以,
解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前项和或
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.
【答案】
．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数

可以推测的表达式,由此计算___________.
选考题
【答案】1000
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数 的值为_____________.
【答案】12
．（2013年高考湖南卷（理））设为数列的前n项和,则
(1)_____; (2)___________.
【答案】;
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当时,有如下表达式:
两边同时积分得:
从而得到如下等式:
请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:

【答案】
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则
【答案】
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.
【答案】
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列中,已知,则_____.
【答案】
．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:

照此规律, 第n个等式可为_______.
【答案】
．（2013年高考新课标1（理））若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.
【答案】=.
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.

【答案】
．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.
【答案】2,
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则___
【答案】63
三、解答题
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数,证明:
(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足;
(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足.

【答案】解: (Ⅰ) 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. .

综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕)
(Ⅱ) 由题知
上式相减:
.
法二:

．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.
(1)若,求及;(2)求证:对任意,;
(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.
【答案】:(1)因为,,故,

(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,

即只需证明
若,显然有成立;
若,则显然成立
综上,恒成立,即对任意的,
(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有
此时,
即
故,
即,
当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意;
若,则,
此时,也满足题意;
综上,满足题意的的取值范围是.

．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.
设数列,即当时,,记,对于,定义集合
(1)求集合中元素的个数 (2)求集合中元素的个数.
【答案】本题主要考察集合.数列的概念及运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.
(1)解:由数列的定义得:,,,,,,,,,,
∴,,,,,,,,,,
∴,,,,
∴集合中元素的个数为5
(2)证明:用数学归纳法先证
事实上,
① 当时, 故原式成立
② 假设当时,等式成立,即 故原式成立
则:,时,

综合①②得: 于是

由上可知:是的倍数
而,所以是
的倍数
又不是的倍数,
而
所以不是的倍数
故当时,集合中元素的个数为
于是当时,集合中元素的个数为
又
故集合中元素的个数为

．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.
(1)求; (2)若,求

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
;
(Ⅱ)由(1)知,当时,,
①当时,

②当时,

所以,综上所述:;
．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列满足:,.
(I)求数列的通项公式;
(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(I)由已知条件得:,又,,
所以数列的通项或
(II)若,,不存在这样的正整数;
若,,不存在这样的正整数.
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列的前n项和为,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.

【答案】解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,
由,得
,
解得,,
因此
(Ⅱ)由题意知:
所以时,
故,
所以,
则
两式相减得

整理得
所以数列数列的前n项和
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,,其中为实数.
(1)若,且成等比数列,证明:();
(2)若是等差数列,证明:.
【答案】证明:∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和
∴
(1)∵ ∴
∵成等比数列 ∴ ∴
∴ ∴ ∵ ∴ ∴
∴
∴左边= 右边=
∴左边=右边∴原式成立
(2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得:
∴对恒成立
∴
由①式得: ∵ ∴
由③式得:
法二:证:(1)若,则,,.
当成等比数列,,
即:,得:,又,故.
由此:,,.
故:().
(2),

. (※)
若是等差数列,则型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:,即而≠0,
故.
经检验,当时是等差数列.
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.

【答案】

．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值及最小项的值.
【答案】

．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有
【答案】(1)解:由,得.
由于是正项数列,所以.
于是时,.
综上,数列的通项.
(2)证明:由于.
则.

.
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
【答案】.(1) 解: ,.
当时,
又,
(2)解: ,.
①
当时, ②
由① — ②,得

数列是以首项为,公差为1的等差数列

当时,上式显然成立.
(3)证明:由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
②当时, ,原不等式亦成立.
③当时,

当时,,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有.
．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .
(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;
(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;
(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.

【答案】(I)
(II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以
因此,,.
(必要性)因为,所以.
又因为,,所以. 于是,.
因此,即是公差为的等差数列.
(III)因为,所以,.故对任意.
假设中存在大于2的项.
设为满足的最小正整数,则,并且对任意,.
又因为,所以,且.
于是,.
故,及矛盾.
所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2.
因此对任意,,所以. 故.
因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1.
．（2013年高考陕西卷（理））
设是公比为q的等比数列.
(Ⅰ) 导的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.
【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.
①
②.
上面两式错位相减:
.
③综上,
(Ⅱ) 使用反证法.
设是公比q≠1的等比数列, 假设数列是等比数列.则
①当=0成立,则不是等比数列.
②当成立,则
.这及题目条件q≠1矛盾.
③综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列不是等比数列.

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