第十四章--整式乘除及因式分解(知识点+题型分类练习).doc

整式乘除及因式分解
知识点梳理
一、幂的运算：
1、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
2、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
幂的乘方法则可以逆用：即 如：
3、积的乘方法则：（是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。
4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。
5、零指数；，即任何不等于零的数的零次方等于1。
二、单项式、多项式的乘法运算：
6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如： 。
7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即(都是单项式)。如：=。
8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
9、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如： =
10、完全平方公式：
三项式的完全平方公式：
11、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 如：
12、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：
三、因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
3、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。
如：对于任意自然数n，都能被动24整除。
四、乘法公式的变式运用
1位置变化，(x+y)(-y+x)
2、符号变化，(-x+y)(-x-y)
3、指数变化，(x2+y2)(x2-y2)
4、系数变化，(2a+b)(2a-b)
5、换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]
6、增项变化，(x-y+z)(x-y-z)
7、连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)
8、逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2

整式的乘法和因式分解
考点1、考查整式的有关概念
1．（2016•常德）若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2016•上海）下列单项式中，与a2b是同类项的是（　　）
A．2a2b B．a2b2 C．ab2 D．3ab
3．（2015•崇左）下列各组中，不是同类项的是（　　）
A．52与25 B．﹣ab与ba C．0.2a2b与﹣a2b D．a2b3与﹣a3b2
4．（2015•柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（　　）
A．2x2y2 B．3y C．xy D．4x
5.（2014•毕节）若与可以合并成一项，则的值是（ ）
A．2 B． 0 C．﹣1 D．1
6.（2012•梅州）若代数式﹣4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为　　．
7．（2013江苏）若2a-b=5,则多项式6a-3b的值是 ．
考点2、去括号、化简绝对值
1．（2012•济宁）下列运算正确的是（　　）
A. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x﹣1 B. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x+1
C. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x﹣2 D. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x+2
2．（2015•济宁）化简﹣16（x﹣0.5）的结果是（　　）
A．﹣16x﹣0.5 B．﹣16x+0.5 C．16x﹣8 D．﹣16x+8
3.（2016·佛山）化简的结果是( )．
A． B． C． D．
4.（2013•新疆）若a，b为实数，且|a+1|+=0，则（ab）2013的值是（　　）
A.0 B.1 C.-1 D.±1
5.若x的值为( )
A.2x-2z B.0 C.2x-2y D.2z-2x
6.（2012•广州）下面的计算正确的是（ ）
A. 6a－5a=1 B. a+2a2=3a3 C.－(a－b)=－a+b D.2(a+b)=2a+b
7.（2012•浙江）化简：
考点3、根据题意列代数式
1.（2014•盐城）“x的2倍与5的和”用代数式表示为 ．
2.（2010·嘉兴）用代数式表示“a、b两数的平方和”，结果为_______。
3.（2012•滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式 ．
4．（2012•浙江）某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人，两种都会的有7人。设会弹古筝的有人，则该班同学共有_______人（用含有的代数式表示）
5.（2013•安徽）某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加了15％，则5月份的产值是（ ）
A.（-10％）（+15％）万元 B. （1-10％）（1+15％）万元
C.（-10％+15％）万元 D. 1-10％+15％）万元
6.（2011•浙江）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A.4mcm B.4ncm
C.2（m+n）cm D.4（m－n）cm
考点4、计算
1.如果写成下列各式，正确的共有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A.7个　　 　B.6个　 　 　 C.5个　　 　D.4个
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.下面的计算正确的是（　　）
A．6a﹣5a=1　 　B.a+2a2=3a3 　C.﹣（a﹣b）=﹣a+b　 　D.2（a+b）=2a+b
4.下列运算正确的是（　　）
A.a+a=a2 B.（﹣a3）2=a5 C.3a•a2=a3 D.（a）2=2a2
5.下列运算正确的是( )
A.x+x=x2 B. x2÷x2x2 C. x·x2= x4 D.（2x2）2=6x6
6.下列计算正确的是 （ ）
A.x3·x2=2x6　 B.x4·x2=x8　 C.(-x2)3=-x6　 D.(x3)2＝x5
7.下列计算正确的是（ ）
A.a2＋a4＝a6 B.2a＋3b＝5ab C.(a2)3＝a6 D.a6÷a3＝a2
8.下列运算正确的是（ ）
A.= B. C. D.
9.下列计算正确的是 ( )
A.a3·a2=a6 B．a2＋a4=2a2　 　C.(a3)2=a6 D.(3a)2=a6　
10.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
12.下列运算正确的是 ( ) ．
A. B. C. D. =
13.下列计算正确的是 ( )
A．a3－a＝a2 B．(－2a)2＝4a2 C．x3·x-2＝x-6 D．x6÷x3＝x2
14.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
15.下列计算正确的是( )
A.2a 2＋a 2＝3a 4 B.a 6÷a 2＝a 3 C.a 6·a 2＝a 12 D.( －a 6)2＝a 12
16.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
17.下列运算正确的是（ ）
A.a2·a3a6 B.a3÷a2=a C.(a3)2=a9 D.a2+a3=a5
18.下列计算正确的是（ ）
A. B.3（a-2b）=3a-2b C.a4+a4=a8 D.a5÷a3=a2
19.下列各式计算正确的是（ ）
A.（a+1）2=a2+1 B.a2+ a3= a5 C.a8÷ a2= a6 D.3a2－2a2= 1
20.下列计算正确的是 ( )
A.3a-a = 2 B. C.． D.．
21.下列计算正确的是（ ）
A. B. C.÷= D.
22.下列计算正确的是（     ）
A.2a+3b=5ab B. C. D.
23.下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a=5a2 B．（2a）3=6a3 C.（x+1）2=x2+1 D．x2﹣4=（x+2x﹣2）
24.下列运算正确的是（ ）．
A． B. C. D.
25.下列运算中，正确的是( )
A.a3·a4=a12 B.(a3)4=a12 C.a+a4=a5 D.(a+b)(a—b)=a2+b2
26.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
27.（2014•台湾）计算多项式10x3＋7x2＋15x﹣5除以5x2后，得余式为何？(　　)
A． B.2x2＋15x﹣5 C.3x﹣1 D.15x﹣5
28.（2014•扬州）若□×3xy=3x2y，则□内应填的单项式是（　　）
A.xy B.3xy C.x D.3x
29.若，则n等于（　　）
A.10　 　B.5　 　C.3　　 D.6
30.已知，则（　　）
A.m=4,n=3 　 　B.m=4,n=1　 　C.m=1,n=3 　 　D.m=2,n=3
31.若3×9m×27m=311，则m的值为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
32.若，则=__________
33.已知2x+1×3x-1=144，则x=__________
34.如果，则．
35.如果(anb·abm) 3＝a9b15，那么mn的值是
36.已知am=2，an=3，则am+2n= ；
37.若，则
36.若，则= .
38．已知10m=3，10n2，则102m-n= ．
39.若,，则的值为（ ）
A. B. C. D.
40.已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是（ ）
A.-1 B.1 C.-5 D.5
41. .
42.( )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。
43.已知，求 ①；②

44.计算：
（1） 　 （2） （3）

（4） （5） （6）　

（7） （8） （9）

（10） （11） 4a2x2·（－a4x3y3）÷（－a5xy2）

考点5：因式分解求解
【基础应用】
1.解答题：将下列各式分解因式
提公因式法：
x4－x3y 12ab＋6b 3x（m－n）＋2（m－n）

3（x－3）2－6（3－x） y2（2x＋1）＋y（2x＋1）2 a2b（a－b）＋3ab（a－b）

y（x－y）2－（y－x）3 2a（x-y）- 3b（y-x） －2x2n－4x n

平方差公式
a2 －9 a2－4b2 －m2＋n2 x2－25 a2-144b2 16x2-25y2

4a2－9b2 （a＋b）2－64 (a+m)2-(a+n)2 m4－81n4 （2a－3b）2－（b＋a）2

完全平方公式
（1）
解：原式=＋2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
（2）
解：原式=＋2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
（3）
解：原式=2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
（4）
解：原式=（ ）＋2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
（5）
原式=2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
(6)
原式=2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
(7)
解：原式=（ ）＋2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）

解：原式=（ ）＋2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
（9）
解：=（ ）＋2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
（10）
解：原式=2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）
（11）
解：原式=＋2（ ）（ ）＋ ）=（ ）
（12）
解：原式=（ ）＋2（ ）（ ）＋（ ）=（ ）

a2－16a＋64 a2－6a＋9 －x2－4y2＋4xy

16－8（－）＋（－）2

综合应用
2x2-88 a2－2 ab3－4ab a3－ab2 82﹣2

a4－16a2 12a6－3a2b2 2－2m4

a3b－aba3－a 2x2+4x+2 x2y﹣2xy2+y3 5x2y＋10xy2－15xy

﹣x3y+2x2y﹣xy

4x3＋4x2＋x

3（x＋y）2－27a2（x﹣y）+16（y﹣x） m2（x－y）＋n2（y－x）（3m2－n2）2－（m2－3n2）2

（a－b）2－2（a－b）（a＋b）＋（a＋b）2

2.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A.x2+1 B.x2+2x﹣1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
3（2014•安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（　　）
A.a2+1 B.a2﹣6a+9 C.x2+5y D.x2﹣5y
4.下列式子变形是因式分解的是（　　）
A.x-5x+6=x（x-5）+6 B.x-5x+6=（x-2）（x-3）
C.（x-2）（x-3）=x-5x+6 D.x-5x+6=（x+2）（x+3）
5.把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A.a(a-4) B.(a+2)(a-2) C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4
6.下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
7.下列各因式分解正确的是（ ）
A.–x2+(–2)2=(x–2)(x+2) B.x2+2x–1=(x–1)2
C.4x2–4x+1=(2x–1)2 D.x2–4x=2(x+2)(x–2)
8. 分解因式的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
9．下列分解因式正确的是 （ ）
A.﹣+3=﹣（1+2） B.2﹣4+2=2（﹣2）
C.2﹣4=（﹣2）2 D.2﹣2+1=（﹣1）2
10.下列因式分解正确的是（ ）
A.x3－x＝x(x2－1) B.x2＋3x＋2＝x(x＋3)＋2 C.x2－y2＝(x－y)2 D.x2＋2x＋1＝(x＋1)2
11.下列分解因式正确的是 （ ）
A.﹣+3=﹣（1+2） B.2﹣4+2=2（﹣2） C.2﹣4=（﹣2）2 D.2﹣2+1=（﹣1）2
12.下列因式分解正确的是（ ）
A.x3－x＝x(x2－1) B.x2＋3x＋2＝x(x＋3)＋2 C.x2－y2＝(x－y)2 D.x2＋2x＋1＝(x＋1)2
【能力提高】
1.（2014•毕节）下列因式分解正确的是（ ）
A.2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1） B. x2+2x﹣1=（x﹣1）2 C.x2+1=（x+1）2 D.x2﹣x+2=x（x﹣1）+2
2.（2010•四川）把代数式分解因式，下列结果中正确的是
A. B. C. D.
3.（2014•湖南）下列因式分解中，正确的个数为（　　）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
4.若x2－y2＝20，且x＋y＝－5，则x－y的值是（　　）
A.5　　 　　 B.4 C.－4　 　D.以上都不对
5.若a－b=8,a2＋b2=82,则3ab的值为（ ）
A.9 B.－9 C.27 D.－27
6.已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　　）
A.10 B.6 C.5 D.3
7.已知x+y=﹣5，xy=6，则x2+y2=　 　．若，，则_____。
8.若，且，则　　　．分解因式：4﹣1=　 　．
9.已知，则。
10.（2010•宁波）、若，，则___________。
11.若则_ __。
12.已知，=_______。
13.如果成立，那么k=______________。
14.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A.x2+1 B.x2+2x﹣1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
15.若是一个完全平方式，那么m的值是__________。
16.要使16x2+1成为一个完全平方式，可以加上一个单项式。
17.若25x2+30xy+k是一个完全平方式，则k是（ ）
A.36y2 B.9y2 C.6y2 D.y2
18.二次三项式是一个完全平方式，则的值是
19.若9x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值是_______．
20.当m=___________时，多项式是一个完全平方式。
21.若多项式能写成一个多项式的平方的形式，则a的值为____________。
22.要使等式成立，代数式应是（ ）
A.2xy B.4xy C.—4xy D.—2xy
23.(2010•安徽)因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________．
24.（2011•山东）因式分解：=_________________
25.（2010•浙江）因式分解：2mx2－4mx＋2m＝_________________．
26.应用简便方法计算：
（1）2012－201 （2）2972 （3）10.32 （4）19992-2000×1998

（5）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 （6）

27.（2014•威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A.x2﹣1 B.x（x﹣2）+（2﹣x） C.x2﹣2x+1 D.x2+2x+1
28．（2015•临沂）多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是（　　）
A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2
29.(2010•遵义) 已知，则　　.
30.（2014•孝感）若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为　　．
考点6：计算求值
1． （2010•益阳）已知，求代数式的值．

2.（2010•福建）计算：.

3.（2014•济南）计算：

4.对于任意正整数n，一定是10的倍数。

5. 求证：257-512能被120整除

6. 证明：能被45整除。

7.已知能被整除，其商式为，求m、n的值。

8.当a、b的值为多少时，多项式有最小值，并求出这个最小值。

9.若一个三角形的三边长a，bc，满足，试判断三角形的形状。

考点7：化简求值
1.（2013•衡阳）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2），其中．

2.（2013•娄底）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x=﹣1，．

3.（2013•常德）先化简再求值：（+）÷，其中a=5，b=2．

4.（2013•巴中）先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．

5.先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x=4．

6.先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣．

7.先化简，再求值：(＋1) (－1)＋ (1－)，其中＝2012．

8.先化简，后求值．，其中

9.先化简，再求值：(＋3)2－(－1)( －2)，其中＝－1．

考点8、观察规律求解
1．（2015•临沂）观察下列关于x的单项式，探究其规律：
x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…
按照上述规律，第2015个单项式是（　　）
A．2015x2015 B．4029x2014 C．4029x2015 D．4031x2015
2.（2016•丽水）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式 ．

3.（2010·青岛中考）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．

4.（2013•张家界）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．

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