3.1生存模型与生命表教案资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,第三章 生存模型与生命表,一、,关于生存模型,（,1,）,通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金；,（,2,）,这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不可预知）；,（,3,）,被保险人在未来某个时期的生死是不确定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否，他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一起。,从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过程，这个过程有以下特征：,（1）,存在两个状态：生存和死亡；,（2）,对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分为生存者和死亡者；,（3）,生命个体可从,“,生存状态,”,转化到,“,死亡状态,”但不能相反；,（4）,任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；,（5）,生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型，用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出部分解释。,下面就是生存模型可给出回答的一些问题：,（1）,一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？,（2）,假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多少人？,（3）,如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定价问题！）,（4）,一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男性公民未来的生存时间有怎样的影响？,二、新生婴儿的生存分布,T,0,：一个刚出生的个体的寿命,下面引入生存分布概念。,假定,T,0,的分布函数和密度函数,生存函数（或生存分布）,定义：寿命X的生存函数（或分布）为,与分布函数的关系：,与密度函数的关系：,新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：,注：生存函数 的性质,例如：（,1,）一个,0,岁的人在,50,岁之后死亡的概率是 ；（,2,）而在,60,岁之前死亡的概率可表示成,（,3,）而在,50,岁到,60,岁之间死亡的概率可表示为,三、,岁个体的生存分布,一个刚出生的个体生存至,x,岁，记此时的个体用符号,(x),表示，假设,x,为整数。个体,(x),的未来生存时间为一随机变量，记为 ，则 。,又记 的整数部分为 ，小数部分为 则,T,x,的分布函数：,生存函数（生存分布）：,密度函数：,同时，的分布函数、生存函数及密度函数分别用,表示。,所以有，,其中 为参数，求 。,例,1,设生存分布函数为,四、未来生存时间的密度函数（一些国际通用精算表示法）,1,）个体,(x),在,x+1,岁仍然生存的概率；被称为,生存概率,。,注明 从定义中可以看出：,2,）个体,(x),在未来一年内死亡的概率；,称为,死亡概率,。,（一）未来一年的生存与死亡概率,1,）,:,个体,(x),活过年龄,x+t,岁的概率，即,(x),至少再活,t,年的概率；,2,）,:,个体,(x),未来,t,年内死亡的概率；,3,）,:,个体,(x),在年龄段（,x+u,x+u+t,死亡的概率，即,(x),活过,x+u,岁，但在接下来的,t,年内死亡的概率。特别地，,注明 从定义中可以看出：,（二）未来任意期限内的生存与死亡概率,定理,1,（,1,）生存概率,（,2,）对 生存概率与死亡概率有如下的关系：,（,3,）对 ，有,定理证明,:,(1),(2),由 的定义可知,又由条件概率公式，有,（,3,）对 ，,例,2,已知生存函数,计算 和 。,解,:,例,3,已知,18,岁的小王，再生存,10,年的概率为,0.95,，再生存,30,年的概率为,0.75.,则其现年,28,岁在,48,岁之前的死亡概率为。,解,:,已知,第二节 死亡力（或死亡效力）,寿命,X,的瞬时死亡率（或死亡力（度）定义为,当 为连续函数时，有下面关系式成立，即,Remark,：,注：,（,1,）,从以上关系式可以把 解释为一个活到,x,岁的个体恰好在此年龄时死亡的可能性（概率）。,（,2,）应满足的条件：,死亡力、密度函数及生存函数三者关系：,定理,和 可由死亡力函数表示，即,定理证明,：由死亡力的定义可知,解这个微分方程可知，存在常数,C,，使得满足,取,x=0,则,将这个关系式代入到 ，可得,所以当,x,=0,时，,C,=0,，由此可知,结论,（1）,（2）,（3）,死亡力与生存函数、密度函数的关系,证明：,死亡概率、生存概率与死亡力的关系结论：,三个函数之间转换的例子,求生存分布和死亡力。,例,4,设密度函数为,解：,根据死亡力函数的定义，对,，,例,5,设生存分布为如下形式，即服从指数分布（其中 为参数）,求出相应的死亡力。,解：,下面求,x,岁个体的分布函数和密度函数。,例,6,设密度函数为,例,7,已知当 时，,计算 和 。,提出者,参数的要求,De Moivre（1729）,Gompertz（1825）,Makeham（1860）,Weibull,（1939）,几种常见的死亡力函数,练习：,1,、验证函数 可作为生存函数，并给出,对应的死亡力，,T,0,的密度函数与分布函数,.,2,、设,3,、设,4,已知生存函数,计算 和 。,第三节 生命期望值,定义（两个期望生存时间）,其中，前者为,(x),个体寿命的期望值（,完全生命期望值,），后者为（,x,）个体生存整年数的期望值（,简单生命期望值,），且两者之间满足不等式,下面讨论这两个期望值的具体表达式：,定理,（,1,）和 与生存函数有如下的关系：,（,2,）和 的二阶矩满足下面的公式：,补充定理,对非负随机变量,及正整数,n,，若,，则有,其中，,定理的证明：,（,1,）由于 ，利用前述补充定理可得,又由于假定 是连续型随机变量，故在单点上的概率等于,0,，即,（,2,）,定理得证。,例,8,设密度函数为 ，,计算,。,可直接写出,解：由生存函数,例,9设 ，计算 。,解,例12,证明下面等式：,（,1,）,（,2,）,证明：因为 ，两边对,x,求导数，有,（,2,）因为,所以,对等式 的统计意义解释,事实上，,x,岁个体的未来生存整年数的期望可看成是由如下两部分之和构成：,（,1,）在年龄区间 的生存整年数的期望。因为个体,(x),生存至,x+1,岁时生存整年数为,1,年，否则为,0.,而个体（,x,）生存至年龄,x+1,岁的概率为 。因此，在此区间个体（,x,）的生存整年数的期望为 。,（,2,）在年龄区间 的生存整年数的期望。因为当个体,(x),活过,x+1,岁时生存整年数的期望为 ，否则为,0.,而个体（,x,）活过年龄,x+1,岁的概率为 。因此，个体（,x,）在年龄区间 的生存整年数的期望为 。,综上所述，将两部分结合起来便有下面结果：,部分习题,1.,试说明生存函数所应满足的条件为：,解 事实上，由分布函数的性质和分布函数与生存函数之间的关系直接可导出：,部分习题,又因为 是单调不减且左连续函数，所以 是单调下降且又连续函数。,2.,试描述死亡力函数应该满足的条件,首先应满足非负性，即对,事实上，,部分习题,其次，应满足：,事实上，,作业：,4.,在某特定的人口群体中，所有年龄的死亡力为,0.025,，计算：,（,1,）年龄为,10,岁的人在,12,岁前死亡的概率。,（,2,）年龄为,5,岁的人在,10-12,岁死亡的概率。,（,3,）新生婴儿的完全生命期望,（,4,）新生婴儿的简单生命期望,5,、设死亡力,试求,（,1,）随机变量,T,0,的分布函数与密度函数,（,2,）,本章中英文单词对照,死亡年龄,生命表,剩余寿命,整数剩余寿命,死亡效力,极限年龄,选择与终极生命表,Age-at-death,Life table,Time-until-death,Curtate-future-lifetime,Force of mortality,Limiting ate,Select-and-ultimate tables,