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新概念题目类型
一．解答题（共8小题）
1．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

2．（2012•舟山）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=　　　　　　；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　　　　　　度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．

3．（2011•宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

4．（2013•仙桃）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．

（1）判断与操作：
如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：
已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：
已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．

5．（2014•舟山）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．

6．（2014•慈溪市模拟）定义：如果一个等腰直角三角形的一个顶点为矩形的顶点，另两个顶点分别在矩形的边上，且任何两个顶点都不在矩形的同一边上，我们这样的等腰直角三角形为矩形的“内接优三角形”．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边CDBC上，∠AEF=90°，AE=EF，△AEF为矩形ABCD的内接优三角形．
（1）正方形是否存在内接优三角形？
（2）已知△AEF为矩形ABCD的内接优三角形．
①若AD=4，AB=7，求AF的长；
②设AB=a，AD=b（a＞b），问是否存在斜边长为b的内接优三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
③若△CEF的外接圆与直线AB相切，求此时的值．

7．（2013•慈溪市模拟）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．

（1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD=BE．
（2）①如图（2），当=1，且AB=AC时，AB2+AC2=　　　　　　BC2（填一个恰当的数）．
②如图（1），当k=1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；
③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．

一．解答题（共8小题）
1． ∠APB=90°； PA=2或．
2．（1）3：1 60
（2）∠BAB′=60° n=2
（3）θ==72 n=．
3．（1）真命题
（2）a：b：c=1：：；
（3）∠AOC的度数为60°或120°
4．（3）b：c的值为，，，，，，，，
5．（1）∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；
（2）∠ADC=∠ABC=90°
AC===2
∠BCD=∠DAB=60°
AC=2
6．（1）根据中点的定义可得BM=CM，然△BME和△CMD全等，
（2）①②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=BC，然后求出BC=AD，①AB2+AC2=　2.5　BC2；②结论仍然成立
③设EM=DM=a，表示出AE、AD，然后根据勾股定理列式表示出AB2、AC2，再求出AB2+AC2，再次利用勾股定理列式求出BE2+x2=CD2+x2=BC2，然后根据勾股比用PM表示出AM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PM=BC，然后分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况代入进行计算即可得解．
若△ABC是锐角三角形
AB2+AC2=BC2；
若△ABC是钝角三角形，
AB2+AC2=BC2．
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