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第四讲 零点问题和函数的综合
【主要知识点】
一、零点的概念
把使f（x）=0的实数x叫做函数f（x）的零点.（零点是一个数，不是一个点！！！）
二、方程的根与函数的零点
1、方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点.
2、如果y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续的，并且有f（a）·f（b）＜0（异号），那么，函数y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点.
三、零点的求法
1、代数法：求方程f（x）-0的实数根
2、几何法：即画出图像，利用函数的性质找出零点
题型一：已知函数零点所在区间问题
通法：代数法：直接按大
2、小顺序代入，以0为分界线
例1、函数f（x）=lnx- 2x 的零点所在的大致区间是（ ）
A.（1，2） B.（2，3） C.（1，1e）和（3，4） D.（e，+∞）
解析：∵f（1）=ln1- 21 ＜0；f（2）=ln2- 22＜0；f（3）=ln3- 23＞0
∴函数f（x）的零点所在区间为（2,3），选B.
题型二：函数中有未知数的零点所在区间问题
通法1：几何法：画出图像，根分布在两区间时只需考虑端点值（即区间最值）符号，即对应图像与x轴位置关系
例2、（1）若关于x的方程3x²-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（
3、1,3）内，求a的取值范围.
解析：画出大致图像，可得f（-2）＞0；f（0）＜0；f（1）＜0；f（3）＞0.
∴3×3²-5×3+a＜0；a＜0；3×1²-5×1+a＜0；3×（-2）²-5×（-2）+a＜0
综上，a的取值范围是（-12，0）.
通法2：二次项系数或零点个数未知时必须分类讨论，考虑因素为△和对称轴
例2、（2）已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a，求满足下列条件的实数a的取值范围.
（1）方程f（x）=0有一正根一负根；（2）函数y=f（x）在 [-1，1]上有零点.
解析：（1）已知a=0时，f（x）=2x-3，为一次函数，不可能有两个实
4、根.
∴①a＞0时，f（0）＜0，即-3-a＜0，∴a＞-3
②a＜0时，f（0）＞0，∴a＜-3
综上，a的取值范围是（-∞，-3）∪（0，+∞）.
（2）已知a=0时，f（x）=2x-3的零点x=32不在[-1,1]上.
∴①函数在[-1,1]上只有一个零点，此时：
△=4-8a（-3-a）≥0f（-1）f（1）=（a-5）（a-1）≤0 ，或△=4-8a（-3-a）=0-1≤-12a≤1
解得1≤a≤5或a=-3-72.
②函数在[-1,1]上有两个零点，此时：
a＞0△=4-8a（-3-a）＞0-1＜-12a＜1 f（1）≥0f（-1）≥0
5、 或a＜0△=4-8a（-3-a）＞0-1＜-12a＜1f（1）≤0f（-1）≤0
解得a≥5或a＜-3-72.
综上，实数a的取值范围是（-∞，-3-72）∪[1，+∞）.
题型三：特殊函数的零点问题
通法：几何法：移项使等号两边均为已学函数模型，画出图像，把零点转化为两函数图像交点（注意分类讨论！！！）
例3、若函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是______.
解析：令f（x）=ax-x-a=0，则ax=.设g（x）=ax，h（x）=x+a，画图得：
① 0＜a＜1时，g（x）和h（x）不可能有两个交点；
② a＞1时，已知g（x）与y轴的交点为（0，1），h（x）与y轴的交点为a.由图可得a＜1时无交点；a=1时有一个交点；a＞1时有两个交点.
综上a的取值范围是（1，+∞）.
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