苏教版九年级上册数学期末测试题.doc

江苏省南通市海门市2016届九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数中，为无理数的是（　　）
A．0.2 B． C． D．﹣5
2．下列算式中，正确的是（　　）
A．3a2﹣4a2=﹣1 B．（a3b）2=a3b2 C．（﹣a2）3=a6 D．a2÷a=a
3．一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱柱 D．圆锥
4．数据：2，5，4，5，3，4，4的众数与中位数分别是（　　）
A．4，3 B．4，4 C．3，4 D．4，5
5．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
6．在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
8．如图，AB是⊙O的直径，TA切⊙O于点A，连结TB交⊙O于点C，∠BTA=40°，点M是圆上异于B、C的一个动点，则∠BMC的度数等于（　　）

A．50° B．50°或130° C．40° D．40°或140°
9．如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）食堂离小明家0.4km；
（2）小明从食堂到图书馆用了3min；
（3）图书馆在小明家和食堂之间；
（4）小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min．
其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，点F在AB边上，E为射线AD上一点，正方形ABCD沿直线EF折叠，点A落在G处，已知点G恰好在以AB为直径的圆上，则CG的最小值等于（　　）

A．0 B．2 C．4﹣2 D．2﹣2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共4分）
11．反比例函数的图象在　　　　　　象限．
12．分解因式：（a+b）2﹣4ab=　　　　　　．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于　　　　　　度．

14．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有　　　　　　对全等三角形．

15．一个圆锥的侧面积为12πcm2，母线长为6cm，则这个圆锥底面圆的半径为　　　　　　cm．
16．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为　　　　　　．
17．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转40°，得到△A′B′C′，若点C′恰好落在边BA的延长线上，且A′C′∥BC，连接CC′，则∠ACC′=　　　　　　度．

18．已知关于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0的两根为x1，x2，且满足（2x1﹣3）（2x2﹣3）=29，则a的值为　　　　　　．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（1）计算：﹣2﹣1+|﹣2|

（2） 先化简，再求值：÷（﹣1），其中a=3．

20． 解不等式组，并求出所有正整数解的和．

21．已知：菱形OBCD在平面直角坐标系中位置如图所示，点B的坐标为（2，0），∠DOB=60°．
（1）点D的坐标为　　　　　　，点C的坐标为　　　　　　；
（2）若点P是对角线OC上一动点，点E（0，﹣），求PE+PB的最小值．

22．小明同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时，由于粗心，他算错了一个y值，列出了下面表格：
　x
…
﹣1　
0
1　
2
3　
…
　y=ax2+bx+c
…
5
3　
2
3
6
…
（1）请指出这个错误的y值，并说明理由；
（2）若点M（a，y1），N（a+4，y2）在二次函数y=ax2+bx+c图象上，且a＞﹣1，试比较y1与y2的大小．

23．如图，一枚棋子放在⊙O上的点A处，通过摸球来确定该棋子的走法．
其规则如下：在一只不透明的口袋中，装有3个标号分别为1，2，3的相同小球．充分搅匀后从中随机摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中随机摸出1个，若摸出的两个小球标号之积是m，就沿着圆周按逆时针方向走m步（例如：m=1，则A﹣B；若m=6，则A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣B﹣C）．用列表或树状图，分别求出棋子走到A、B、C、D点的概率．

24．“科学”号是我国目前最先进的海洋科学综合考察船，它在南海利用探测仪在海面下方探测到点C处有古代沉船．如图，海面上两探测点A，B相距1400米，探测线与海面的夹角分别是30°和60°．试确定古代沉船所在点C的深度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

25．如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，sin∠E=，求⊙O的半径．

26．码头工人每天往一艘轮船50吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
（3）若原有码头工人10名，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？

27．如图，已知在矩形ABCD中，BC=2CD=2a，点E在边CD上，在矩形ABCD的左侧作矩形ECGF，使CG=2GF=2b，连接BD，CF，连结AF交BD于点H．

（1）求证：BD∥CF；
（2）求证：H是AF的中点；
（3）连结CH，若HC⊥BD，求a：b的值．

28．如图，双曲线y=经过点A（1，2），过点A作y轴的垂线，垂足为B，交双曲线y=﹣于点C，直线y=m（m≠0）分别交双曲线y=﹣、y=于点P、Q．
（1）求k的值；
（2）若△OAP为直角三角形，求点P的坐标；
（3）△OCQ的面积记为S△OCQ，△OAP的面积记为S△OAP，试比较S△OCQ与S△OAP的大小（直接写出结论）．

江苏省南通市海门市2016届九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数中，为无理数的是（　　）
A．0.2 B． C． D．﹣5
【考点】无理数．
【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．
【解答】解：∵﹣5是整数，
∴﹣5是有理数；
∵0.2是有限小数，
∴0.2是有理数；
∵，0.5是有限小数，
∴是有理数；
∵是无限不循环小数，
∴是无理数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．

2．下列算式中，正确的是（　　）
A．3a2﹣4a2=﹣1 B．（a3b）2=a3b2 C．（﹣a2）3=a6 D．a2÷a=a
【考点同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；
B、积的乘方等于乘方的积，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

3．一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱柱 D．圆锥
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，易判断该几何体是一个圆柱．
【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体．
故选B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，主要考查学生空间想象能力．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

4．数据：2，5，4，5，3，4，4的众数与中位数分别是（　　）
A．4，3 B．4，4 C．3，4 D．4，5
【考点】众数；中位数．
【分析根据众数及中位数的定义，求解即可．
【解答】解：将数据从小到大排列为：2，3，4，4，4，5，5，
∴众数是4，中位数是4．
故选：B．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，如果数据个数是奇数，则最中间的那个数是这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．

5．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

6．在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵装有1个红球，2个白球，3个黑球，
∴球的总数=1+2+3=6，
∴从袋中任意摸出一个球，则摸出红球的概率=．
故选A．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商．

7．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行计算即可．
【解答】解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心相似比为，
∴点E的对应点E′的坐标为：（﹣4×，2×）或（﹣4×（﹣），2×（﹣）），
即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

8．如图，AB是⊙O的直径，TA切⊙O于点A，连结TB交⊙O于点C，∠BTA=40°，点M是圆上异于B、C的一个动点，则∠BMC的度数等于（　　）

A．50° B．50°或130° C．40° D．40°或140°
【考点】切线的性质．
【分析】先根据切线的性质求出∠BAT的度数，再根据三角形内角和定理求出∠B的度数，由等腰三角形的性质求得∠BOC的度数，由圆周角定理即可解答．
【解答】解：∵TA切⊙O于点A，
∴AT⊥AB，
∵∠BTA=40°，
∴∠B=90°﹣40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=50°，
∴∠BOC=80°，
∵∠BMC=×80°=40°或∠BMC=×（360﹣°80°）=140°．
故选D．
【点评】本题考查了切线的性质，解答此题的关键是熟知切线的性质、三角形内角和定理及圆周角定理，有一定的综合性．

9．如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）食堂离小明家0.4km；
（2）小明从食堂到图书馆用了3min；
（3）图书馆在小明家和食堂之间；
（4）小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min．
其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据观察图象，可得从家到食堂，食堂到图书馆的距离，从食堂到图书馆的时间，根据路程与时间的关系，可得答案．
【解答】解：由纵坐标看出：家到食堂的距离是0.6km，故①错误；
由横坐标看出：小明从食堂到图书馆用了28﹣25=3（min），故②正确；
∵家到食堂的距离是0.6km，家到图书馆的距离是0.4km，0.6cm＞0.4cm，
∴图书馆在小明家和食堂之间，
故③正确；
小明从图书馆回家所用的时间为：68﹣58=10（min），
∴小明从图书馆回家的平均速度是：0.4÷10=0.04（km/min），
故④正确；
正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象，获取信息是解题关键．

10．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，点F在AB边上，E为射线AD上一点，正方形ABCD沿直线EF折叠，点A落在G处，已知点G恰好在以AB为直径的圆上，则CG的最小值等于（　　）

A．0 B．2 C．4﹣2 D．2﹣2
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【分析】先根据题意画出图形，由翻折的性质可知AF=FG，AG⊥OE，∠OGE=90°，由垂径定理可知点O为半圆的圆心，从而得到OB=OG=2，依据勾股定理可求得OC的长，最后依据GC=OC﹣OG求解即可．
【解答】解：如图所示：

由翻折的性质可知：AF=FG，AG⊥OE，∠OAE=∠OGE=90°．
∵AF=FG，AG⊥OE，
∴点O是圆半圆的圆心．
∴OG=OA=OB=2．
在△OBC中，由勾股定理可知：OC===2．
∵当点O、G、C在一条直线上时，GC有最小值，
∴CG的最小值=OC﹣OG=2﹣2．
故选D．
【点评】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用、垂径定理，明确当点O、G、C在一条直线上时，GC有最小值是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共4分）
11．反比例函数的图象在　第一、第三　象限．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵反比例函数中k=1＞0，
∴此函数图象位于一三象限．
故答案为：第一、第三．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．

12．分解因式：（a+b）2﹣4ab=　a﹣b）2　．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】首先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（a+b）2﹣4ab
=a2+2ab+b2﹣4ab
=a2+b2﹣2ab
=（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2．
【点评】此题主要考查了完全平方公式分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．

13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于　70　度．

【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．
【解答】解：∵∠BOD=20°，
∴∠AOC=∠BOD=20°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠COE=90°﹣20°=70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出∠AOE和∠AOC的大小．

14．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有　3　对全等三角形．

【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．
【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和Rt△AOP≌Rt△BOP．
【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为：3．

【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

15．一个圆锥的侧面积为12πcm2，母线长为6cm，则这个圆锥底面圆的半径为　2　cm．
【考点】圆锥的计算．
分析】根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，进而求出即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为xcm，
∵一个圆锥的侧面积为12πcm2，母线长为6cm，
∴π×x×6=12π，
解得：x=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式：S侧=•2πr•l=πrl是解题的关键．

16．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为　y=（x﹣2）2﹣2　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据平移规律作答即可．
【解答】解：将抛物线y=x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣4+2．
即y=（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y=（x﹣2）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

17．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转40°，得到△A′B′C′，若点C′恰好落在边BA的延长线上，且A′C′∥BC，连接CC′，则∠ACC′=　30　度．

【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】先利用旋转的性质得∠CAC′=40°，BC=BC′，∠ACB=∠A′C′B，由于A′C′∥BC，则利用平行线的性质得∠A′C′B=∠CAC′=40°，所以∠ACB=40°，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BCC′=70°，然后计算BCC′﹣∠ACB即可．
【解答】解：∵△ABC绕点B逆时针旋转40°，
∴∠CAC′=40°，BC=BC′，∠ACB=∠A′C′B，
∵A′C′∥BC，
∴∠A′C′B=∠CAC′=40°，
∴∠ACB=40°，
∵BC=BC′，
∴∠BCC′=∠BC′C，
∴∠BCC′=（180°﹣40°）=70°，
∴∠ACC′=∠BCC′﹣∠ACB=70°﹣40°=30°．
故答案为30．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

18．已知关于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0的两根为x1，x2，且满足（2x1﹣3）（2x2﹣3）=29，则a的值为　6　．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（a﹣1），x1•x2=a2﹣7a﹣4，再把它们代入已知条件后整理得到得a2﹣4a﹣12=0，解得a1=6，a2=﹣2，然后分别把a的值代入原方程，根据判别式的意义确定a的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣2（a﹣1），x1•x2=a2﹣7a﹣4，
∵（2x1﹣3）（2x2﹣3）=29，即2x1x2﹣3（x1+x2）﹣10=0，
∴2（a2﹣7a﹣4）+6（a﹣1）﹣10=0，
整理得a2﹣4a﹣12=0，解得a1=6，a2=﹣2，
当a=6时，原方程变形为x2+10x﹣10=0，△＞0，方程有两个不等的实数根；
当a=﹣2时，原方程变形为x2﹣6x+14=0，△＜0，方程没有实数根；
∴a的值为6．
故答案为6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（1）计算：﹣2﹣1+|﹣2|﹣3sin30°
（2）先化简，再求值：÷（﹣1），其中a=3．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据二次根式的化简、负整数指数幂运算、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）先化简，再代入求值即可．
【解答】解：（1）原式=2﹣+2﹣﹣3×
=；
（2）原式=÷
=•
=﹣，
当a=3时，原式=﹣=﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算以及特殊角的三角函数值，是各地2016届中考的常见题型，要熟练掌握．

20．解不等式组，并求出所有正整数解的和．
【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．
【解答】解：
由①得x≥1；
由②得x＜4，
∴不等式组的解集是1≤x＜4，
∴不等式组的所有正整数解的和为1+2+3=6．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

21．已知：菱形OBCD在平面直角坐标系中位置如图所示，点B的坐标为（2，0），∠DOB=60°．
（1）点D的坐标为　（1，）　，点C的坐标为　（3，）　；
（2）若点P是对角线OC上一动点，点E（0，﹣），求PE+PB的最小值．

【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质；菱形的性质．
【分析】（1）作DF⊥OB于点F，在直角△ODF中利用三角函数求得DF和OF的长，则D的坐标即可求得，然后根据CD∥OB，则C的坐标即可求得；
（2）B关于OC的对称点是D，则DE的长就是PE+PB的最小值，作DH⊥y轴于点H，首先在直角△OGH中利用勾股定理求得DH和OH的长，然后在直角△HED中利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）作DF⊥OB于点F．
∵B的坐标是（2，0），
∴OB=2，
∴菱形OBCD中，OD=OB=CD=2，
在直角△ODF中，DF=OD•sin∠DOB=2×=，OF=OD•cos∠DOB=2×=1，
则D的坐标是（1，）．
则C的坐标是（3，）．
故答案是：（1，），（3，）；
（2）作DH⊥x轴于点H，连接DE．
在直角△OGH中，∠HOG=90°﹣∠DOB=90°﹣60°=30°．
GH=OD•sin∠HOG=2×=1，OH=OG•cos∠HOG=2×=．
则HE=2．
在直角△HEG中，DE===．
即PE+PB的最小值是．

【点评】本题考查了菱形的性质以及路径最短问题，根据菱形的对称性确定PE+PB最小的条件是关键．

22．小明同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时，由于粗心，他算错了一个y值，列出了下面表格：
　x
…
﹣1　
0
1　
2
3　
…
　y=ax2+bx+c
…
5
3　
2
3
6
…
（1）请指出这个错误的y值，并说明理由；
（2）若点M（a，y1），N（a+4，y2）在二次函数y=ax2+bx+c图象上，且a＞﹣1，试比较y1与y2的大小．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
（2）分三种情况讨论：①﹣1＜a＜1；②a=1；③a＞1；分别比较y1与y2大小．
【解答】解：（1）由函数图象关于对称轴对称，得
（0，3），（1，2），（2，3）在函数图象上，
把0，3），（1，2），（2，3）代入函数解析式，得，
解得，
函数解析式为y=x2﹣2x+3，
x=﹣1时y=6，
故y错误的数值为5．
（2）分三种情况讨论：
①﹣1＜a＜1时，M（a，y1）离对称轴的距离小于N（a+4，y2）离对称轴的距离，
所以y1＜y2；
②a=1时，M（a，y1）离对称轴的距离等于N（a+4，y2）离对称轴的距离，
所以y1=y2；
③a＞1时，M（a，y1）离对称轴的距离小于N（a+4，y2）离对称轴的距离，
所以y1＞y2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

23．如图，一枚棋子放在⊙O上的点A处，通过摸球来确定该棋子的走法．
其规则如下：在一只不透明的口袋中，装有3个标号分别为1，2，3的相同小球．充分搅匀后从中随机摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中随机摸出1个，若摸出的两个小球标号之积是m，就沿着圆周按逆时针方向走m步（例如：m=1，则A﹣B；若m=6，则A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣B﹣C）．用列表或树状图，分别求出棋子走到A、B、C、D点的概率．

【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与棋子分别走到A、B、C、D点的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，棋子走到A点的有3种情况（点数和为4），棋子走到B点的有2种情况（点数和为5），棋子走到C点的有2种情况（点数和为2或6），棋子走到D点的有2种情况（点数和为3），
∴P（棋子走到A点）==，P（棋子走到B点）=P（棋子走到C点）=P（棋子走到D点）=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24．“科学”号是我国目前最先进的海洋科学综合考察船，它在南海利用探测仪在海面下方探测到点C处有古代沉船．如图，海面上两探测点A，B相距1400米，探测线与海面的夹角分别是30°和60°．试确定古代沉船所在点C的深度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据题意得出：∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=1400km，则∠BCA=30°，即可得出BC=1400km，进而利用锐角三角函数求出DC的长．
【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意可得：∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=1400km，
则∠BCA=30°，
故AB=BC=1400km，
sin60°===，
解得：DC=700≈1212（km）．
答：古代沉船所在点C的深度约为1212km．

【点评此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出BC=1400km是解题关键．

25．如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，sin∠E=，求⊙O的半径．

【考点】切线的判定．
【分析】（1）首先得出∠OCA+∠CAD=90°，进而求出∠EAC+∠OAC=90°，即可得出答案．
（2）作CF⊥AE于F，根据角平分线的性质和三角函数求得AE=，DE=，进一步求得CF=CD=2，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可求得．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵OE垂直于弦AB，
∴∠OCA+∠CAD=90°，
∵CO=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠EAC+∠OAC=90°，
∴OA⊥AE，
即直线AE是⊙O的切线．
（2）作CF⊥AE于F，
∵∠EAC=∠CAB，
∴CF=CD，
∵AB=8，
∴AD=4，
∵sin∠E=，
∴=，=，
∴AE=，DE=，
∴CF=2，
∴CD=2，
设⊙O的半径r，
在RT△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5．

【点评】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，三角函数的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．

26．码头工人每天往一艘轮船50吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
（3）若原有码头工人10名，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）根据题意即可知速度v（单位：吨/天）与卸贺时间t（单位：天）之间是反比例函数关系，则可求得答案；
（2）由t=5，代入函数解析式即可求得v的值，即求得平均每天至少要卸的货物；
（3）由10名工人，每天一共可卸货50吨，即可得出平均每人卸货的吨数，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵50×8=400，
根据题意得：v=，
∴速度v（单位：吨/天）与卸贺时间t（单位：天）之间的函数关系为：v=；

（2）∵t=5，
∴v=，
解得：v=80，
答：平均每天至少要卸80吨货物；

（3）∵每人一天可卸货：50÷10=5（吨），
∴80÷5=16（人）
16﹣10=6（人）．
答：码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务．
【点评】此题考查了反比例函数的应用．解题的关键是理解题意，根据题意求函数的解析式．

27．如图，已知在矩形ABCD中，BC=2CD=2a，点E在边CD上，在矩形ABCD的左侧作矩形ECGF，使CG=2GF=2b，连接BD，CF，连结AF交BD于点H．

（1）求证：BD∥CF；
（2）求证：H是AF的中点；
（3）连结CH，若HC⊥BD，求a：b的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由矩形的性质可知∠G=∠DCB=90°，由BC=2CD=2a，CG=2GF=2b，可知，依据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知：△FGC∽△DCB，由相似三角形的性质可知∠FCG=∠DBC，由平行线的判定定理可知：BD∥CF；
（2）如图1所示：连接AC，交BD于点O．由矩形的性质可知：OC=OA，由平行线分线段成比例定理可知HF=AH；
（3）如图2所示：连接CH，CA，AC与BD交于点O．由勾股定理可知：FC=b，AC=a，由矩形的对角线的性质可知DB=AC=a，CO=AC=．由（2）可知HO是△AFC的中位线，由三角形中位线的性质可知：HO=．在△BCD中，利用面积法可求得CH=，最后在△COH中，由勾股定理得到：（）2+（）2=（a）2，从而可求得a：b=．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD、四边形ECGF均为矩形，
∴∠G=∠DCB=90°．
∵BC=2CD=2a，CG=2GF=2b，
∴．
∴△FGC∽△DCB．
∴∠FCG=∠DBC．
∴BD∥CF．
（2）如图1所示：连接AC，交BD于点O．

∵四边形ABCD为矩形，
∴OC=OA．
又∵FC∥BD，
∴HF=AH．
∴点H是AF的中点．
（3）如图2所示：连接CH，CA，AC与BD交于点O．

由勾股定理可知：FC==b，AC==a．
∵四边形ABCD为矩形，
∴DB=AC=a，CO=AC=．
∵HO是△AFC的中位线，
∴HO=FC=．
∵，
∴CH==．
在△COH中，由勾股定理可知：HO2+CH2=OC2，即（）2+（）2=（a）2．
整理得：a2=．
∴a：b=．
【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、相似三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

28．如图，双曲线y=经过点A（1，2），过点A作y轴的垂线，垂足为B，交双曲线y=﹣于点C，直线y=m（m≠0）分别交双曲线y=﹣、y=于点P、Q．
（1）求k的值；
（2）若△OAP为直角三角形，求点P的坐标；
（3）△OCQ的面积记为S△OCQ，△OAP的面积记为S△OAP，试比较S△OCQ与S△OAP的大小（直接写出结论）．

【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）直接把点A（1，2）代入双曲线y=，求出k的值即可；
（2）设P（﹣，m），再分∠AOP=90°，∠OAP=90°及∠APO=90°三种情况进行讨论；
（3）根据A（1，2）可得出C（﹣9，2），设P（﹣，m），则Q（，m），分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，再由反比例函数图象上点的坐标特点得出△AOM，△QON，△COH与△POK的面积，根据S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK即可得出结论．
【解答】解：（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），
∴k=1×2=2；

（2）设P（﹣，m），
∵A（1，2），
∴OA2=12+225，AP2=（1+）2+（2﹣m）2，OP2=（）2+m2，
当∠AOP=90°时，
∵OA2+OP2=AP2，即5+（）2+m2=（1+）2+（2﹣m）2，解得m=±3，
∴P1（﹣6，3），P2（6，﹣3）；
当∠OAP=90°时，
∵OA2+AP2=OP2，即5+（1+）2+（2﹣m）2=（）2+m2，解得m=，
∴P3（，），P4（，）；
当∠APO=90°时，此种情况不存在；

（3）∵A（1，2），
∴C（﹣9，2）．
设P（﹣，m），则Q（，m），
分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，
∵点A、Q在反比例函数y=的图象上，
∴S△AOM=S△QON=1．
∵点C、P在反比例函数y=﹣的图象上，
∴S△COH=S△POK=9．
S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK，
∴S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP，
∵梯形CHNQ与梯形AMKP的上底与下底相同，
∴只要比较HN与KM的大小即可，
∵HN﹣KM=（9+）﹣（1+）=8﹣，
∴当m=±2时，HN=KM，即S△OCQ=S△OAP；
当m＞2或m＜﹣2时，8﹣＞0，即S△OCQ＞S△OAP；
当﹣2＜m＜2时，8﹣＜0，即S△OCQ＜S△OAP．

【点评】