初中数学竞赛标准教程及练习19：因式分解.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（19）
因式分解
一、内容提要 和例题
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法
1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式
例1因式分解：①x4+x2+1　②a3+b3+c3－3abc
①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式
解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)
②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2
解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2
　　 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)
例2因式分解：①x3－11x+20　　②　a5+a+1
① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）
② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)
③ 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式
解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1
=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)
2． 运用因式定理和待定系数法
定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a　
⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x3－5x2+9x－6　②2x3－13x2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2，
∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数
±1，±3得商±1，±2，±，±，再分别以这些商代入原式求值，
可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，　　　
设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3），　（a是待定系数）
比较右边和左边x2的系数得　2a－1＝－13，　a=－6
∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。
例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y),　　用待定系数法，可设
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数，
比较右边和左边的x和y两项 的系数，得
　　解得
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)　这是关于x的二次三项式
　常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设
2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
三、练习19
1． 分解因式：①x4+x2y2+y4 　　②x4+4 　　 ③x4－23x2y2+y4
2. 分解因式： ①x3+4x2－9 　 ②x3－41x+30
③x3+5x2－18 　④x3－39x－70
3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 　　　　　②x3－3x2+3x+7　
　　　　　　③x3－9ax2+27a2x－26a3 　　　④x3+6x2+11x+6　
　　　　　　⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x3－7x+10　 ②x3－11x2+31x－21
③x4－4x+3 ④2x3－5x2+1
5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48　④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91
6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy 　②x2－y2+2x－4y－3
③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4
⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）
7. 己知：n是大于1的自然数　　求证：4n2+1是合数
8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5
　　　且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：当x=1时，f(x)的值

练习19参考答案：
1. 添项，配成完全平方式(仿例3) 2.拆中项，仿例1
3. 拆项，配成两数和的立方
①原式=(x+y)3+y3……③原式=(x-3a)3+a3
⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)3
4. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6
④x=时，原式=0，有因式2x－1
5. 看着是某代数式的二次三项式，仿例7
　④原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=……
6. 分组配方
③原式=(x2+1)2-(x+a)2…… ④把原式用乘法展开，合并，再分解
⑤以a=－b代入原式＝0，故有因式a+b
7. 可分解为两个非1的正整数的积
8. 提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式，
　3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)与f(x)比较系数……，f(1)=4