2015年小学数学六年级下册圆柱和圆锥锥(基础知识点+提高).doc

圆柱和圆锥
第一部分 基础部分
一、圆柱和圆锥的认识
1、 图形的形成
圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，也可以由长方形（或正方形）卷曲而得到；
‚圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的，圆锥也可以由扇形卷曲而得到。
2、高的条数：圆柱有无数条高；圆锥只有一条高
3、侧面展开图
圆柱：沿着高展开,展开图形是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，当底面周长和高相等时（h=2πR），侧面沿高展开后是一个正方形，展开图形为正方形。
‚圆锥：侧面展开得到一个扇形
4、 图形的形成：（1）圆柱：卷曲：也可以由长方形（或正方形）卷曲而得到；
‚旋转：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的
（2）圆锥：卷曲：也可以由扇形卷曲而得到；
‚旋转：以直角三角形的一条直角边为轴旋转得到
【例1】：下面（ ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm）

【易错题】一个圆柱的侧面沿高展开是一个长12.56CM，宽6.28CM的长方形，求这个圆柱的底面半径。

【例2】在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆柱体的是（   ）
【易错题1、把长为5cm.宽为3cm的长方形旋转成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是多少平方厘米？

2、 把两条直角边分别是5cm和3cm的直角三角形旋转成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？

【练习：】
一、选择
1、圆柱侧面积的大小是由（ ）决定的。
A 圆柱的底面周长 B 底面直径和高 C 圆柱的高。
2、 下面的材料中，（ ）能做成圆柱。
12cm

2cm
4cm
4cm
2cm
6.28cm

1号 2号 3号 4号 5号

A.1号、2号和3号 B.1号、4号和5号 C.1号、2号和4号

二、解答题
一个长为8m,宽为6m的长方形旋转成一个圆柱，它的侧面积是多少平方米？

二、 圆柱表面积的计算方法
①公式：圆柱的表面积＝ ＋
S表=S侧+S底×2=2πrh + 2πr2
②圆柱表面积计算公式的运用
运用1：已知圆柱的底面半径和高，求圆柱的表面积；
运用2：已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积；
运用3：已知圆柱的底面周长和高求圆柱的表面积。
拓展提升：
运用4：已知侧面积和高求圆柱的表面积
【例】一个圆柱的侧面积是94.2cm2，高是10cm，求它的表面积。
运用5：已知底面积和高求圆柱的表面积
【例】一个圆柱的底面积是12.56m2，高是5cm，求它的表面积。

【练习】：
1、一个圆柱的侧面积是62.8cm2，高是10cm，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？

2、一个圆柱的底面积是28.26cm2，高是10cm，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？

③根据实际情况计算圆柱的表面积
常见的圆柱解决问题：①、压路机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管（求侧面积）；②、压路机压过路面长度（求底面周长）；③、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；④鱼缸、厨师帽（求侧面积和一个底面积）；
练习：
1、 选择：在手工课上小明用纸板做一个圆柱形笔筒，要求出小明用了多少平方厘米纸板，实际上就是求这个笔筒的（ ）
A. 侧面积 B.侧面积+2个底面积 C.侧面积+1个底面积
2、 生活运用题：祈年殿是北京天坛公司的主要建筑，中央4根龙柱高19.2米。直径是1.2米，象征四季。如果把每根龙柱的表面刷一层油漆，粉刷的面积是多少平方米？

三、圆柱和圆锥的体积
1、圆柱：V柱＝Sh =πr2h
①圆柱体积公式的推导：
把圆柱平均分成若干个扇形，然后拼成一个近似的长方体，长方体的长等于圆柱（ ），长方体的宽等于圆柱（ ），长方体的高等于圆柱的（ ）；V柱＝ =
【体积公式推导的应用】
1、把一个圆柱底面平均分成若干个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体，这个长方体的长是6.28厘米，高是5厘米，求它的体积。

2、一个圆柱体的体积是立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ ()

②考试常见题型：
a 已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长
b已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积
c已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积
d已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，
e已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积
f、V钢管=
【例1】：计算下面各圆柱体的体积。
A、 底面积是1.25平方米，高3米。 B、底面直径和高都是8分米。
C、底面半径和高都是8分米。 D、底面周长是12.56米，高2米。

【例2】 求下面立体图形的体积，以及制作这么一个物体所用的铁皮面积。

2、圆锥：V锥=×底面积×高＝Sh ＝πr2h
圆锥体积的推导：（注意：等底等高的圆柱和圆锥。）
V锥= =
‚考试常见题型：
a 已知圆锥的底面积和高，求体积
b已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积
c已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积
【例】：1、求下列圆锥体积 
（1）底面积是7.8平方米，高是1.8米  （2）底面半径4厘米，高21厘米   
（3） 底面周长是12.56米，高4米

第二部分 典型题型总结
一、 巧求表面积
1、组合图形的表面积=
【例】如图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。

2、挖空问题
【例】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

3、 不规则物体的表面积和体积
【例】求下面物体的侧面积和体积（单位：厘米）

练习：1、一个底面直径是6厘米，高为8厘米的圆柱体，叠在底面直径是12厘米、高是12厘米的圆柱体上，求这个物体的表面积。

2、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。

3、求下图的侧面积和体积。（单位：米）

二、等量转换问题：
【例】两个底面积相等的圆柱，一个圆柱的高是7分米，体积是54立方分米，另一个圆柱的高5分米，另一个圆柱的体积是多少立方分米？
练习：
1、 一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是4.8米，用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚，能铺多少米长？

2、 把一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形容器灌满水，然后把水倒入一个底面半径是5厘米的圆柱形容器里，求圆柱形容器内水面的高度？
三、圆柱和圆锥的关系
（1）等底等高：V锥:V柱＝1:3；圆柱体积比等底等高圆锥体积多2倍；圆锥体积比等底等高圆柱体积少
（2）等底等体积：h锥:h柱＝3:1
（3）等高等体积：S锥:S柱＝3:1

方法总结：1、等底等高时：圆柱体积是圆锥体积的3倍
2、等体积等高（或底）时：圆锥的底（或高）是圆柱的3倍

【例1】一个圆柱体和一个圆椎体的底面积和高相等，已知圆柱体的体积是7.8立方米，那么圆椎体的体积是（　　）立方米．
【例2】一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？
【例3】一个圆锥的体积与它等底等高的圆柱的体积的和是24cm3，这个圆柱的体积是（　　）
【例4】一个圆柱体和一个圆椎体的底面积和体积相等，圆柱的高是12cm，圆锥的高是（ ）。
【例5】一个圆柱体和一个圆椎体的体积和高相等，圆锥的底面积是12平方米，圆柱的底面积是（ ）
练习：
1、把一段圆柱形的木料削成一个最大的圆锥，削去部分体积是圆锥体积的（　　）
2、一个圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积少54cm3，这个圆柱的体积是
（　 ）
3、一个体积是24立方米，底面积是8平方米的圆柱与一个圆锥等体积等高，圆锥的底面积是（ ）米，

四、比例扩大缩小问题
核心思想：运用公式解决比例问题
【例1】圆锥的底面积扩大2倍，高不变，它的体积（ ）
【例2】有两个底面半径相等的圆柱，高的比是2：5。第二个圆柱的体积是175立方厘米，第二个圆柱的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？
【例3】甲乙两个圆柱，底半径比是2：3,高的比是4：5,它们的体积比是多少？
练习：
1、圆锥的底面半径和高都缩小2倍，它的体积就（ ）
2、圆柱的底面直径扩大2倍，高缩小为原来的1/2，那么圆柱的侧面积（ ）
3、甲乙两个圆柱体积是5：6,高的比是2：3,求它们的底面积比。

五、表面积的变化
1、高的变化导致表面积的变化
【例】一个圆柱高20厘米，如果把高减少3厘米，它的表面积就减少31.68平方厘米，求原来圆柱的体积。
变式引申：一个圆柱高为15厘米，把它的高增加2厘米后表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的体积。

2、图形的切割和组合
核心思想：切一刀，增加 个面。
横切：横截面是 形；
‚竖切：横截面是 形。
【例1】一根圆柱形木料，底面直径是2dm，高是10dm，如果沿底面直径纵切成相等的两块，其中一块的表面积是多少？
【例2】一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是10厘米，现将它截成两个圆柱体小木块，则表面积要增加多少平方厘米？
【例3】把一根长1米的圆柱形钢材截成四段后，表面积比原来增加20平方分米，这根钢材原来的体积是多少？
练习：1、一个底面周长是9.42cm，高是5cm的圆柱，沿底面直径把它切割成两个半圆柱后，切割面的面积一共是多少平方厘米？

2、把一根直径20厘米的圆柱形木头锯成3段，表面积要增加多少?

3、 一根圆柱形钢材，截下1米。量的它的横截面的直径是20厘米，截下的体积是多少立方分米？

4、把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，表面积比原来增加9.6平方分米，这根钢材原来的体积是多少？

六、削成最大体积的问题：
正方体里削出最大的圆柱圆锥 圆柱圆锥的高和底面直径等于正方体棱长
长方体里削出最大的圆柱圆锥 圆柱圆锥底面直径等于宽（宽﹥高）圆柱圆锥高等于长方体高
【例1】一个圆柱体木块，底面直径和高都是10厘米，若把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【例2】把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，它的表面积和体积各是多少？ 

（下面2题）
【例3】一个长方体木块，长10厘米宽8厘米高4厘米，把它削成一个圆柱，求削成圆柱体积最大是多少？

练习：在一个长为12米，宽是8米，高是6米的长方体木块里削一个最大的圆柱，求这个圆柱体积最大是多少？

七、等积转换问题
【例】 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。问：瓶内现有饮料多少立方分米？

练习：
1、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为平方厘米，，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少？

2、一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

八、注水问题（1、水管每分钟流水的体积2、水流体积与盛器体积的比）
【例】自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米。一位同学去水池洗手，走时忘记关掉水龙头，4分钟浪费多少升水?
练习：游乐中心内一长方形儿童游泳池，长25m,宽12.5m,深1.2m，如果用直径24cm的进水管向游泳池里注水，水流速度按每分钟100米计算，注满一池水要多长时间？

九、浸水体积问题
1、完全浸没问题
【例】一个圆柱形玻璃缸，底面直径20厘米，把一个钢球放入水中，缸内水面上升了2厘米，求这个钢球的体积。
变式引申：一个圆柱形量桶，底面半径是5厘米，把一块铁块从这个量桶里取出后，水面下降3厘米，这块铁块的体积是多少？

2、 不完全浸没问题
【例1】有一个高和底面直径都是8厘米的圆柱形容器，里面装满了水，现在把长16厘米的圆钢垂直放入，使圆钢的底面和容器使圆钢的底面和容器的底面接触，这是有一部分水溢出，当把圆钢拿起后，容器中水的高度为6厘米，求圆钢的体积。
【例2】一个圆柱形容器，底面半径9厘米，里面装有3.6厘米深的水。现将一根底面半径3厘米，长15厘米的圆柱形铁条竖直插入这个容器底部（铁条未被完全淹没），这时水面的高度是多少？
练习：一个长10厘米，宽8厘米，高15厘米的长方体玻璃容器，里面盛了5厘米深的水。如果将一个长4厘米，宽1厘米，高为6厘米的长方体铁块放入水中，则水面上升多少厘米？