北师大版数学八年级上册第七章二元一次方程组导学案.doc

北师大版数学八年级上册第七章二元一次方程组导学案
【学习课题】 第1课时 二元一次方程与二元一次方程组
【学习目标】 1、理解二元一次方程的定义和二元一次方程的解。
2、会判断二元一次方程和二元一次方程的解。
3、会求简单的不定方程的解。
【学习重点】 1、会判断二元一次方程和二元一次方程的解。
2、会求简单的不定方程的解。
【候课朗读】 第一课时：7、8、9、10
【学习过程】（一）学习准备：
1、含未知数的等式叫 ，如：
2、若方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程，这样的方程叫 ，如：
3、满足方程左右两边未知数的值叫做方程的
4、若是关于一元一次方程的解，则=
注意等号对齐
5、方程是一元一次方程吗？ ；若不是，请你把它取名叫 方程
（二）解读教材：阅读教材P185——P187，试解决下列问题：
6、老牛与小马
分析：审题 A：数量问题 B：

C：设老牛驮了个包裹，
小马驮了个包裹。
7、二元一次方程：
评析：①二元一次方程的左右两边必须是 式；②方程中必须含 个未知数；③未知项的次数为 ，而不是未知数的次数为1
定义：像方程和等这类方程中，含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的 方程叫做 。
即时练习：下列方程是二元一次方程的是
①；②；③；
④；⑤；⑥
8、二元一次方程的解：
定义：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个
即时练习：（1）请找出是二元一次方程的解的是：
方程组的解应写成 的形式，以表示它们要同时取值才能使方程组成立

①；②；③。

（2）已知是二元一次方程的解，求的值。
9、二元一次方程组及方程组的解：
定义：含有 个未知数的两个 方程所组成的一组方程，叫二元一次方程组。
即时练习：下列是二元一次方程组的是（ ）
①；②；③；④；⑤。
定义：二元一次方程组中各个方程的 叫做这个二元一次方程组的解。
即时练习：在下列数对中：（1）是方程的解的是_______；是方程的解的是_______；既是方程的解，又是方程的解的是_______．（填序号）
（三）挖掘教材
10、方程是二元一次方程，则= ，= 。

11、若是二元一次方程，则的取值范围是( )
A. B. C D
12、二元一次方程的正整数解有（ ）组
A 1 B 2 C 3 D 4
（四）反思小结：
二元一次方程中含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程；它的形式可以写成：（其中，）；二元一次方程的解有 个。
【达标检测】
1、若是关于、的二元一次方程，则= ， = 。
2、若满足方程组的的值是1，则该方程组的解是________．
3、在（1）这三对数值中，_______是方程的解，_______是方程的解，因此_______是方程组的解．（填序号）
【学习课题】第2课时 用代入法解二元一次方程组（一）
【学习目标】 1、学会用代入消元法解二元一次方程组。
【学习重点】 会用代入法解二元一次方程组,。
【侯课朗度】 第1课时7、8、9、10
一、学习准备
1、下面方程中，是二元一次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下面4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、二元一次方程的解是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如：叫做用表示，叫做用表示。（1）你能把下列方程用表示吗？ 则= ，则= 。（2）你能把下列方程用表示吗？则= ，则= 。

我们只学过一元一次方程，想办法变成一元一次方程
二、解读教材
5、例1 解下列方程
解：把（2）代入（1），得
（注意把（1）中的换为+3时要加括号，因为+3这个整体是）

把求出的解代入原方程组，可以知道你解得对不对，最后写答语

=1
将=1代入（2），得=4
所以原方程组的解是
自己为方程标上序号
即时练习
（1） （2）

6、（1）上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“ ”。
（2）、主要步骤是：①将其中一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式；
③解这个一元一次方程；
④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。这种解方程组的方法称为代入消元法。简称代入法。
用代入法解二元一次方程组的步骤：
① 编号 ②表示
③代入 ④解方程
⑤代回求另一个未知数值 ⑥答语
7、例2
解：把方程（1）变形为=-2 (3)
把（3）代入（2），得

+1 =
=7
把=7代入（3），得=5
所以原方程组的解是
即时练习
（1） （2）

想一想，变那个方程我们代入时更方便
三、挖掘教材
7、怎样选择
解方程组

即时练习（1） （3）

四、反思小结
这节课我们学到了什么？
【达标检测】
1、把下列方程用表示，（1） 则 （2） 则
把下列方程用表示 （1）则 （2）则
2、解下列方程组
（1） （3）

【学习课题】第3课时 用代入法解二元一次方程组（二）
【学习目标】1、会熟练运用代入消元法解二元一次方程组
【学习重点】灵活用代入法解二元一次方程组,
【侯课朗度】代入消元法的概念及步骤，
一、 学习准备
1、把下列方程用表示，（1） （2）
把下列方程用表示 （1） （2）
2、解下列方程组（1）

变哪个方程呢？一般我们变未知数的系数较小的那个方程。

二、 解读教材
3、例1、
解：由方程（2）变形得（3）
把（3）代入（1）得
=3
把=3代入（3）得 =2
所以原方程组的解是
即时练习
（1） （2）

三、挖掘教材
4、运用
例2 即时练习：
解：设，则原方程组变为：

解方程组得
把代入，中解得
所以原方程组的解是
例3 已知是方程组的解，则a,b的值是多少？
解：把代入方程组中得
由（2）得
把代入1）得
所以，，
即时练习
（1）已知是方程组的解，则 a,b的值是多少？

三、 反思小结
1、解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元
2、解题步骤概括为三步即：①变、②代、③解、
3、由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式。
【达标检测】
1、解下列方程组
（1） （2）

（3） （4）

2、若已知是方程组的解，则 的值是多少？

【学习课题】 第4课时 用加减法解二元一次方程组（一）
【学习目标】1、会用加减法解二元一次方程组
2、掌握加减法解二元一次方程组的一般步骤
【学习重点】 会用加减法解二元一次方程组
【课时类型】 技能训练
一、学习准备：
1、用代入法解方程组
2、等式基本性质是：
二、解读教材
3、观察上题，两方程有何特点？除了代入消元法你还能有其他的方法消元吗？注意方程①中的5y与②中的-5y是相反数，再请注意：两个等式的两边也同时分别相加或相减，等式仍成立吗？
解：把两个方程的两边分别相加，得：_________,解得：x=_________
把x的值代入①，得__________,解得y=_____________
所以方程组的解为
4、例1 解方程组 即时练习：解方程组
解：②-①得：__________ ∴=________
把 代入①得：
∴原方程组的解是
注（1）知道②-①的确切含义吗？
（2）用①-②可以吗？
5、这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 即时练习：解方程组
加减法的步骤：①编号②观察确定要先消去 的未知数。③把选定的未知数的系数变成相等或互为相反数。④把两个方程相加（减），求出一个未知数的值。⑤代，求另一个未知数的值。⑥答语。
例2 解方程组
解：方程②×3，得9 ③
①＋③得： 解得：
把 代入①得
∴原方程组的解为
三、挖掘教材：
⑴当两个方程中某一个未知数的系数是相同或互为相反数时，直接把两个方程的两边相加或相减就可以消去一个未知数，达到消元的目的。
⑵当两个方程中某一个未知数的系数的绝对值成倍数时，需把其中一个方程的两边同时乘以一个适当的整数，让这个未知数的系数的绝对值相等。
⑶若两个方程中两个未知数的系数不成倍数时，需要把两个方程都乘以适当的书，以便某个未知数的系数的绝对值相等，这种情况需要先确定消哪一个未知数，一般先消去系数简单的。
例3、解方程组 即时练习：解方程组
解：①×3 得：
②×2 得：
剩下的工作你可以完成了吗？
用③代替①，用④代替②，原方程组化为：

四、反思小结：
加减法的基本思路是_________________
主要步骤为： 。
【达标检测】：用加减法解下列方程组。
⑴ ⑵ ⑶
【学习课题】第5课时 用适当的方法解二元一次方程组
【学习目标】1、能灵活选择“代入法”和“加减法”解二元一次方程组。
2、会解系数比较复杂的方程组。
【学习重点】 对百分比系数和小数，分数系数方程组的整理。
【课时类型】 习题学习
一、 学习准备：
1、 用两种方法解下列方程组。⑴
法一、 法2、

二、 典例示范。
草稿纸上化简过程如下：
去分母得：
去括号得：
合并得：
2、 例1、解方程组
[分析]解这个方程组的难度在于式子比较复杂，关键在于化简。
解：原方程组化简为：
草稿纸上去括号合并就可以了

先把系数化为整数

即时练习：解方程组① ②

提示：注意大数的处理
3、 例2、解方程组

三、 归纳总结
方程组中的方程系数比较复杂时，我们应该想办法利用等式性质先作处理，然后再利用两种消元方法解化简后的方程组。与同组的同学交流你的感想。
【达标检测】
用适当的方法解方程组。

1、 2、

3、 4、
【学习课题】 第6课时 三元一次方程（组）
【学习目标】 1、理解三元一次方程的定义和三元一次方程的解。
2、会求三元一次方程组的解。
3、掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想。
【学习重点】 1、会解简单的三元一次方程组。
2、进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法。
【候课朗读】 本课时3、4、5
【学习过程】（一）学习准备：
1、 什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？
2、 解二元一次方程组的基本思路是 ，基本方法有 和 。
（二）阅读：是二元一次方程吗？你认为它应该是 。
3、含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程。
4、含有三个未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组。
注意事项：①区分未知数的次数与含未知数的项的次数。②组成三元一次方程组的方程不一定都是三元一次方程。
如：
即时练习：下列是三元一次方程组的是（ ）
①②③
5、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的指导思想是“消元”，具体方法是代入法和加减法。
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程。
（三）典例示范
6、 解方程组
解：（1）+（3），得（4）
转化成二元一次方程组
（2）+（3），得（5）
由（4）和（5）组成方程组，得
（5）－（4）得  
把 代入（4），得  
∴  
再转化为一元一次方程。
把 代入（1），得
∴       
∴ 是原方程组的解。
试一试：解方程组，请先说一说解决方法，再做一做。
① ②

（四）反思小结：解三元一次方程组的基本思路是 ，基本步骤是：

【达标检测】
解下列方程组
① ②

【资源链接】已知 ， ，求 的值。
【学习课题】第 7 课时 习题课
【学习目标】1、会熟练解二元一次方程（组）。
2、会求二元一次方程的特解。
3、会求二元一次方程（组）中待定字母的值。
【学习重点】1、会求二元一次方程的特解。
2、会求二元一次方程（组）中待定字母的值。
【侯课朗读】二元一次方程的相关概念
【学习过程】
一、 课前准备
1、 叫做二元一次方程。
2、 叫做二元一次方程的解。
3、 叫做二元一次方程组。
4、 叫做二元一次方程组的解。
5、解二元一次方程组的基本思想是 ，基本方法有 和 。
二、典型例题
例1、二元一次方程的正整数解有 。
解：因为方程的解都为正整数，所以：
y=1时， x=10（符合题意）；y =2时， x =8（符合题意）；
y =3时， X =6（符合题意）；y =4时， x =4（符合题意）；
y=5时， x=2（符合题意）；y=6时， x=0（符合题意）
所以方程的正整数解为：；；；；。
例2、若（2x-y）(x-2y)=11,且x. y都是正整数，求x, y.

例3、已知关于x, y的方程组的解也满足2x-3y=11,求m的值，并求方程组的解。

【达标检测】1、下列方程，，，，中二元一次方程有 个。
2、若是关于和的二元一次方程，则= ，= 。
3、已知是方程组的解，则= ，= 。
。4、解下列方程组。
⑴（两种方法解） （2）

5、（2007，山西）若 则x+y=__________.

6、已知 和 是方程ax2 +by+3=0的两个解,求a. b的值。

7、（2006，济南）若是方程3x-3y=m和 5x+y=n的公共解，则m2-3n=_________.

8、（2007，武昌）如果方程组的解x, y相等，则k的值为___________.

9、已知且-1＜xy＜0, 求k的取值范围。

【学习课题】第8 课时 列二元一次方程组解应用题——鸡兔同笼
【学习目标】能找出实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。
【学习重点】将题目中的等量关系进行转化，列出二元一次方程组。
【候课朗读】
一：学习准备 ： 1. 回忆列一元一次方程解应用题时的常用步骤： 、 、 、 、 、 。
2．二元一次方程组的解法有：________________、__________________。
3．解方程组① ②
二．解读教材
4. .典型例题：
例1：阅读课本P229完成“雉兔同笼” 题的分析：

A题型： B等量关系： 鸡头+兔头=
C：设鸡有x只，兔有y只。 D 列
则鸡头有 兔头有
鸡脚有 兔脚有 鸡脚+兔脚=

请你完成本题的标准解答

5．即时练习1. （ 只写分析）若两个数中,较大数的3倍是较小数的8倍,较大数的一半与较小数的差是4,那么较大的数是多少？
分析 A题型： B等量关系;
C设 D列方程组：

例2：以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺；若将绳四折测之,绳多一尺，绳长,井深各几何？
分析：题目大意是
。
A题型： B等量关系： + =
D 列

C设绳长x尺，井深y尺 + =
解：
三．挖掘教材
6．即时练习2. 4辆小卡车和5辆大卡车一次共可以运货物27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共可以运货物51吨,问小卡车和大卡车每辆每次可运货物多少吨？
分析 A题型： B等量关系;
C设 D列方程组：
四、反思小结
今天，我们学习了列方程组解应用题，应注意的是：
⑴解应用题的格式。
⑵解应用题时，等量关系如何去找？
【达标检测】
7．今有鸡兔若干,它们共有24个头和74只脚,则鸡兔各有（）
A.鸡 10兔14 B. 鸡11兔13 C. 鸡12兔12 D. 鸡13兔11
8．一队敌人一队狗,两队并成一队走,脑袋共有八十个,却有二百条腿走,请君仔细数一数，多少敌军多少狗？

9．某制衣厂某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件,该车间的加工能力是：每天能单独加工童装45件或成人装30件。
（1）该车间应安排几天加工童装,几天加工成人装，才能如期完成任务？
（2）若加工童装一件可获利80元, 加工成人装一件可获利120元, 那么该车间加工完这批服装后，共可获利多少元？

11．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅,经过测试,同时开放1个大餐厅,2个小餐厅,可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅,1个小餐厅,可供2280名学生就餐。
(1)求1个大餐厅,1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校5300名学生就餐?请说明理由。
.

【学习课题】第 9 课时 列二元一次方程组解应用题——增收节支
【学习目标】能找出实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。
【学习重点】用列表的方式分析题中的各量关系,加强学生列方程组的技能训练。
【候课朗读】
一。学习准备
1.利润=__________________________。
2.阅读课本P231，完成“总产值、总支出”题的分析：
A题型： B等量关系： 去年（总值）-去年（总支）=
C：设去年总产值x万元，总支出y万元。 D 列
则今年总产值 万元，
总支出 万元 今年（总值）-今年（总支）=
解：

二．解读教材
3.典型例题
例1：医院用甲,乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0．5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质.那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析：
A题型：交叉数量型关系 B等量关系： 甲（蛋白质）+乙（蛋白质）=
C：设甲原料x克，乙原料y克。 D 列
则甲原料含蛋白质 乙原料含蛋白质
甲原料含铁 乙原料铁 甲（铁）+乙（铁）=
解：

三．挖掘教材
4.有甲,乙两种商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共获利46元，价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共获利44元，则两种商品的进价各为多少？
A题型：交叉数量型关系 B等量关系： 甲（调整前的利润）+乙（调整前的利润）=
C：设甲种商品的进价为x元， D 列
乙甲种商品的进价为y元。
则： 甲（调整前的利润） 元 甲（调整后的利润）+乙（调整后的利润）=
乙（调整前的利润） 元
甲（调整后的利润） 元
乙（调整后的利润） 元
解：

四．反思小结
5．请你写出今天学习的收获（至少两条）：⑴
⑵
【达标检测】
6．某厂第一季度产值为m万元,第二季度比第一季度增加20%,则两季度产值共有（ ）
A.（m+20%）万元 B.(m+1)20%万元 C.m(1+20%)2万元 D.2.2m万元
7．某校八年级三班,四班共有95人,体育锻炼的平均达标率为60%，如果三班的达标率为40%，四班的平均达标率为78%,则三班有___人，四班有________人.
8．某商店准备用两种价格分别为每千克18元和每千克10元的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格是每千克15元。现在要配制这种杂拌糖果100千克，需要两种糖果各多少千克？

9．某同学的父母用甲,乙两种形式为其存储一笔教育准备金10000元，甲种年利率为2.25%，乙种年利率为2.5%,一年后,这名同学得到本息和共10243.5元,问其父母为其存储的甲,乙两种形式的教育准备金各多少钱？

【学习课题】 第10课时 列二元一次方程组解应用题—— 里程碑上的数
【学习目标】1：利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
2：初步体会到方程组解决实际问题的一般步骤。
【学习重点】 体验列方程组解决实际问题的过程，理解题意，找出适当的等量关系，并列出方程组。
【课时类型】 技能训练
一、 学习准备：
1、一个两位数，十位数字为a，个位数字为b,则这两个数表示为 。
2、一个三位数，百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三数表示为 。
二、解读教材 。
3、奇怪的数字 阅读教材P234引例，完成下列填空：
问题（1）：小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上 行驶。 设小明在12.00时看到的十位数字是x个位数字是y，那么
问题（2）：在12.00时小明看到的数字可表示为 。根据两个数字和是7，可列出方程为 。
问题（3）：在13.00小明看到的数字可表示为 。故12.00～13.00间摩托车行驶的路程为 。
问题（4）：在14.00小明看到的数字可表示为 。故13.00～14.00间摩托车行驶的路程为 。
问题（5）：12.00～13.00与13.00～14.00两段时间内摩托车的行驶路程 ，相应的方程为 。
问题（6）：你能列出方程组并解之吗？

4、两位数的应用题
有一个两位数，数值是数字和的5倍，如果数值加9，其和为这个两位数颠倒过来的两位数，求原来的两位数。
分析：审题A：数字问题 B：数值＝５×数字和
Ｃ：设个位数为，
十位数字为。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　数值＋９＝两位数颠倒过来
写出标准解答过程：

三、 挖掘教材：
5、数值问题：数的表达及调整：
表达为 。（为一位数，为一位数）

表达为 ，调整后为：
两位数

①
表达为 。（为两位数，为一位数）

表达为 ，调整后为：

三位数
②
表达为 。（为两位数，为两位数）

表达为 ，调整后为：

③四位数
6、阅读教材P35例1，回答下列问题：
分析：审题A：数字问题 B、
C、设较大的两位数为，
较小的两位数为。
写出标准解答过程：

四、反思小结
通过对上述两个问题的解决，你认为列二元一次方程组解决问题应该注意些什么问题？步骤是怎样的呢？

【达标测评】
1、一个两位数，减去他的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1。这两位数是多少？

3、 小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341。原来两个加数是多少？

【学习课题】第 11 课时 二元一次方程与一次函数
【学习目标】1、初步理解二元一次方程与一次函数的关系。
2、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
【学习重点】1、用图象法解二元一次方程组。
2、二元一次方程组与一次函数的关系。
3、从图象等信息，获得确定一次函数表达式的方法。
【学习过程】
一、学习准备：
1、形如 （其中为常数且）的函数称为一次函数；当时，函数的关系式为_________此时，是的_________函数。
2、一次函数 (k≠0)是一条与直线 (k≠0)________的直线，_________反映直线的倾斜程度，是直线与轴交点的______________。
3、二元一次方程的一般表达式是_______________（其中为常数，且）。
二、解读教材：
4、方程的解有多少个？写出其中几个。
5、在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，并检验它们在一次函数的图象上吗？
6、你能在直线上任取一点，它的坐标是方程的解吗？
7、经过你的认真思考，你发现以方程的解为坐标的点组成的____________与一次函数的图象___________。
猜一猜：一次函数与的图象的交点坐标与方程组的解是什么关系？
做一做：
每个二元一次方程都可以看成一次函数，反之，亦然。
8、在同直线坐标系中画出直线，并找出交点坐标。
9、快速解方程组
10、你的猜想正确吗？你发现了什么？

11、若直线与的交点在第4象限，求的取值范围。

12、在平面直角坐标系中，如果点在连结点（0，8）和（-4，0）的线段上，求的值。

l1
4
2
0
-3
4
2
x
l2
y

13、 已知，如右图中两直线的交点坐标
可以看作方程组_________________的解，
请将你的思路讲给组员听。

14、 一次函数的图象过点
（1，3），（-2，-3），求这个一次函数解析式。

15、已知一个一次函数的图象经过点（-3，-2），（-1，6）两点，
（1）求此一次函数的解析式。
（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。

16、已知直线（＜0）与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求常数的值。

反思小结：
1、求函数解析式的一般过程，可以简单称为：一列、二代、三解、四还原。
2、利用图象求函数解析式，一般先找准图象上特殊点的坐标。
3、必须熟悉函数的性质，即的意义。