电势差与电场强度的关系知识要点和常见题型.doc

第6节　电势差与电场强度的关系
【知识要点】
要点一 公式U＝Ed的适用范围和电场强度表达式的比照
公式U＝Ed虽然是由匀强电场导出来的，但该结论具有普遍意义，尽管该公式一般只适用于匀强电场的计算，但对其他非匀强电场亦可用于定性判断．下表是电场强度的三个公式比照：
公式 区别
物理含义
引入过程
适用
范围
E＝
是电场强度大小的定义式
F∝q，E与F、q无关，反映的是电场的性质
任何电场
E＝k
是真空中点电荷场强的决定式
由E＝和库仑定律导出
点电荷形
成的电场
E＝
是匀强电场中场强的决定式
由F＝qE和W＝qU导出
匀强电场
要点二 公式E＝U/d的理解和如何把公式应用到非匀强电场中
1．公式E＝反映了匀强电场中电场强度与电势差之间的关系，由公式可知，电场强度的方向就是电场中电势降低最快的方向．
2．公式中d可理解为电场中两等势面之间的距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．
3．对于非匀强电场，用公式E＝可以定性分析某些问题．例如E越大处，等差等势面距离d越小．因此可以断定，等势面越密的地方电场强度也越大．
4．E＝适用于匀强电场的计算，但对于某些非匀强电场问题，有时也可以进展定性地分析.

【问题探究】
1.电场强度、电势和电势差的区别与联系是什么？
描述电场的物
理量及意义
电场强度E
电势φ
电势差UAB
电场的力
的性质
电场的能
的性质
电场中两点间对电荷做功的本领
对电场中的
电荷的描述
静电力F
电势能Ep
静电力做功W
相互关系
F＝qE
Ep＝qφ
W＝qUAB
W＝－ΔEp，U＝Ed
由表中可以看出，电场强度是描述电场的力的性质的物理量，可以理解为电场强度，就可以知道任意电荷在该点的受力情况；同理，φ时，可得任意电荷在该点的电势能；UAB时，可得到在AB间移动任意电荷时静电力所做的功．
2．电场线是直线的电场有哪些常见情况？
(1)点电荷电场(如图1－6－3所示)

图1－6－3

(2)等量异种电荷连线(如图1－6－4所示)

图1－6－4
(3)匀强电场(如图1－6－5所示)

图1－6－5
可见，一条电场线是直线，不一定是匀强电场．
只有在匀强电场中可以直接应用U＝Ed，在非匀强电场中只能对有关问题进展定性分析.

【例题分析】
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
【例1】 图1－6－6所示是匀强电场中的一组等势面，假设A、B、C、D相邻两点间距离都是2 cm，则该电场的场强为________ V/m，到A点距离为1.5 cm的P点电势为________ V.

图1－6－6
答案　　－
解析　因为电场是匀强电场，所以可用E＝求解，但必须明确d是指A、B两点在电场线方向上的距离，且各单位必须用国际单位制中的单位．
所以E＝＝＝ V/m＝ V/m
UBP＝Esin 60°＝×0.005× V＝2.5 V
φP＝－2.5 V
二、非匀强电场中的电场线
【例2】 (1)如图1－6－7是一非匀强电场，某一电场线上A、B、C三点＝，比拟UAB和UBC的大小．

图1－6－7
(2)如图1－6－8所示，在同一幅等差等势面图中，为什么等势面越密的地方场强越大？

图1－6－8
答案　(1)UAB>UBC　(2)见解析
解析　(1)由电场线分布可知，AB段的任一点的场强都大于BC段任一点的场强，故AB段场强的平均值E1大于BC段场强的平均值E2，又UAB＝E1·；UBC＝E2·，故UAB>UBC.
(2)在同一幅等差等势面图中，我们往往把每个相邻等势面间的电势差取一个定值，如果相邻等势面的间距越小(等势面越密)，则场强E＝U/d就越大.
【对点练习】
1.以下公式适用于任何电场的是(　　)
A．W＝qU　　B．U＝Ed　　C．E＝　　D．E＝k
2．如图1－6－9所示是一个匀强电场的等势面，

图1－6－9
每两个相邻等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是(　　)
A．竖直向下，E＝100 V/m
B．水平向左，E＝100 V/m

C．水平向左，E＝200 V/m
D．水平向右，E＝200 V/m
3．如图1－6－10中

图1－6－10
a、b、c是一条电场线上三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以断定(　　)
A．φa>φb>φc B．Ea>Eb>Ec
C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec
4．如图1－6－11所示

图1－6－11
的匀强电场中有a、b、c三点，＝5 cm，＝12 cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角．一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从a移到b，静电力做功为W1＝1.2×10－7 J．求：
(1)匀强电场的场强．
(2)电荷从b移到c，静电力做的功．
(3)a、c两点间的电势差．

【常见题型】
题型一 利用匀强电场中电场线和等势面的关系求解问题
匀强电场中有a、b、c三点，在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°.电场方向与三角形所在平面平行．a、b和c点的电势分别为(2－) V、(2＋) V和2 V．该三角形的外接圆上最低电势、最高电势分别为(　　)
A．(2－) V、(2＋ ) V　　　　　B．0 V、4 V
C．(2－) V、(2＋) V D．0 V、 V
[思维步步高] 作出三点位置关系图象．在匀强电场中电场线和等势面的分布情况是什么样的？直角三角形内各个边之间的数值关系是什么？如何找出等势线从而找出电场线？
[解析]　如右图所示，

根据匀强电场的电场线与等势面都是平行等间距排列，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势均匀降落，取ab的中点O，即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为2 V，故Oc为等势面，MN为电场线，方向为MN方向，，UON∶UOP=2∶，故UON=2 V，N点电势为零，为最低电势点，同理M点电势为4 V，为最高电势点．
[答案]　B
[拓展探究]如图1所示，

图1
在地面上方有一个匀强电场，在该电场中取点O作为圆心，以R＝10 cm为半径，在竖直平面内做一个圆，圆平面平行于匀强电场的电场线，在O点固定一个电荷量为Q＝－5×10－4 C的电荷．当把一个质量为m＝3 g，电荷量为q＝2×10－10 C带电小球放在圆周上的a点时，它恰好能静止不动，则匀强电场的电场线跟Oa线夹角为________．假设将带电小球从a点缓慢移到圆周上最高点b，外力做功W＝________ J.
[答案]　arctan　9×10－3
[解析]　分析带电粒子的受力，粒子受到自身的重力，方向竖直向下，圆心处电荷的吸引力和匀强电场的静电力，三个力处于平衡状态，根据三力平衡之间的关系求出相应的角度在移动电荷的过程中，圆心处电荷对电荷不做功，有静电力做功和重力做功．
[方法点拨]
确定电场线可以用等势面，根据是电场线和等势面垂直；同样，判断等势面也可以用电场线，理由一样，这是高考在电场知识的考察的主要方向之一.
题型二 公式E＝的理解
匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，

图2
AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图2所示．电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V．设场强大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点静电力所做的功为W，则(　　)
A．W＝8×10－6 J，E>8 V/m
B．W＝6×10－6 J，E>6 V/m
C．W＝8×10－6 J，E≤8 V/m
D．W＝6×10－6 J，E≤6 V/m
[思维步步高] D点电势跟A、B两点间的电势有什么关系？怎样根据这个关系求出D点的电势？从D移动到C静电力做功和什么因素有关？怎样求解静电力做的功？电场线的方向怎样确定？AB方向是不是电场线方向？
[解析]　电场是匀强电场，所以AB中点处D点的电势是AB间电势的中间值，为10 V，DC间的电势差为8 V，静电力做功W＝qUDC＝8×10－6 J；由图及各点电势可知，电场线不平行于AB，根据E＝，其中d为沿着电场线方向的距离，所以电场强度E>＝8 V/m.
[答案]　A
[拓展探究]a、b、c、d是匀强电场中的四个点，

图3
它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在的平面平行．a点的电势是20 V，b点的电势是24 V，d点的电势是4 V．如图3所示，由此可知，c点的电势为(　　)
A．4 V B．8 V
C．12 V D．24 V
[答案]　B
[解析]　匀强电场中，ab之间的电势差等于dc之间的电势差，可知c点电势为8 V.
[方法点拨]
在匀强电场中，电势差和电场强度存在E＝，但要注意的是d不是两点之间的距离，而是两点所处等势面的距离，或者说是两点沿着电场线方向的距离.
【课后作业】
一、选择题
1．以下说法正确的选项是(　　)
A．匀强电场中各处场强相等，电势也相等
B．等势体各点电势相等，场强也相等
C．沿电场线方向电势一定越来越低
D．电势降低的方向就是电场线的方向
2．以下关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是( 　)
A．在一样距离上的两点，电势差大的其场强也必定大
B．场强在数值上等于每单位距离上的电势降落
C．沿着电场线方向，任何一样距离上的电势降落必定相等
D．电势降低的方向必定是电场强度的方向
3．以下图中，A、B、C是匀强电场中的三个点，各点电势φA＝10 V、φB＝2 V、φC＝6 V，A、B、C三点在同一平面上，以下各图中电场强度的方向表示正确的选项是(　　)

4．如图4所示，匀强电场场强E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场线夹角为60°，则UBA之值为(　　)

图4
A．－10 V　　　B．10 V　　　C．－5 V　　　D．－5 V
5．如图5所示，

图5
A、B、C三点都在匀强电场中，AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，把一个电荷量q＝10－5 C的正电荷从A移到B，静电力做功为零；从B移到C，静电力做功为－1.73×10－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向为(　　)
A．865 V/m，垂直AC向左
B．865 V/m，垂直AC向右
C．1 000 V/m，垂直AB斜向上
D．1 000 V/m，垂直AB斜向下
6．如图6所示，

图6
在沿着x轴正方向的匀强电场E中，有一动点A以O点为圆心、以r为半径逆时针转动，θ为OA与x轴正方向之间的夹角，则O、A两点之间的电势差为(　　)
A．UOA＝Er
B．UOA＝Ersin θ
C．UOA＝Ercos θ
D．UOA＝
7．如图7所示，

图7
在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且MA边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B移动到M点，再从M点移动到A点，静电力做功为(　　)
A．0.16×10－6 J B．0.12×10－6 J
C．－0.16×10－6 J D．－0.12×10－6 J
二、计算论述题
8．如图8所示，

图8
MN板间匀强电场E＝2.4×104 N/C，方向竖直向上．电场中A、B两点相距10 cm，AB连线与电场方向夹角θ＝60°，A点和M板相距2 cm.
(1)此时UBA等于多少？
(2)一点电荷Q＝5×10－8 C，它在A、B两点电势能之差为多少？假设M板接地，A点电势是多少？B点电势是多少？

9.

图9
在一个匀强电场中有A、B、C三点，AB长为5 cm，AC长为3 cm，BC长为4 cm，如图9所示．电场强度方向平行于纸面，电子在静电力作用下由C运动到A，动能减少120 eV，质子在静电力作用下由C运动至B，动能增加120 eV，求该匀强电场的大小和方向．
10．如图10所示的电场，

图10
等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面的电势已在图中标出．现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动．问：
(1)小球应带何种电荷？电荷量是多少？
(2)在入射方向上小球最大位移是多少？(电场足够大)
参考答案
【对点练习】
1.答案　AC
2.答案　B
解析　电场线和等势面的关系是相互垂直的，所以电场线是水平方向的，又因为电势随着电场线方向逐渐降低，所以电场强度方向水平向左．根据E＝＝＝100 V/m.
3.答案　A
解析　一条电场线可以判断电势的上下，但是不能判断场强的大小．因为一条电场线无法确定疏密程度．
4.答案　(1)60 V/m　(2)1.44×10－7 J　(3)6.6 V
解析　(1)设a、b间距离为d，由题设条件有W1＝qUab＝qEd，所以E＝＝ V/m＝60 V/m.
(2)W2＝qE·cos 60°＝4×10－8×60×12×10－2×0.5 J＝1.44×10－7 J
(3)电荷从a移到c静电力做功：W＝W1＋W2，又W＝qUac，所以Uac＝＝ V＝6.6 V
【课后作业】
一、选择题
1.答案　C
2.答案　C
3.答案　D
4.答案　C
5.答案　D
解析　把电荷q从A移到B，静电力不做功，说明A、B两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中直线AB即为等势线，场强方向应垂直于直线AB，可见，选项A、B不正确．
UBC＝＝ V＝－173 V
B点电势比C点低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，场强大小E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m
6.答案　C
解析　OA之间沿电场线方向的距离是d＝rcos θ，根据U＝Ed＝Ercos θ，选项C正确．
7.答案　C
二、计算题
8.答案　(1)－1 200 V　(2)6×10－5 J　－480 V　－1 680 V
解析　(1)在匀强电场中等势面与电场线垂直，且φA大于φB，所以UBA＝φB－φA为负值．又因为在匀强电场中E＝，则UAB＝E·dAB.题目中AB连线与电场线夹角60°，则AB连线与等势面夹角为30°，dAB＝xAB·sin 30°＝xAB＝5 cm＝0.05 m，UAB＝2.4×104×0.05 V＝1 200 V，则UBA＝－1 200 V.
(2)正电荷在电势高处电势能大，电势能差为：ΔEp＝EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8 C×1 200 V＝6×10－5 J．假设M板接地，M板电势为0，A点电势比零低，UMA＝φM－φA＝EdMA＝480 V，则φA＝－480 V，φB＝－480 V－1 200 V＝－1 680 V.
9.答案　5.0×103 V/m　场强方向垂直AB的直线斜向上
解析　电子由C运动到A，减少的动能转化为电子的电势能，因电子带负电，则可知C点电势高于A点，两点间电势差为120 V．质子由C点移到B点，减少的电势能转化为动能，则C点电势高于B点，两点间电势差亦为120 V，由此可知A、B两点位于同一等势面上．

因为该电场为匀强电场，根据电场线与等势面的关系可知，场强方向垂直AB的直线斜向上，如右图所示，场强方向可用CD来表示．由条件得，所以场强大小为 V/m.
10.答案　(1)正电　　(2)
解析　(1)作电场线如以下图(a)所示，由题意，只有小球受到向左的静电力，静电力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上．如图(b)所示，只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动．所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图(b)知qE＝mg.相邻等势面间的电势差用U表示，所以E＝，所以q＝＝.

(2)由图(b)知
F合= = mg(因为qE=mg)
由动能定理合· =
所以