第十一章三角形典型题.doc

第十一章三角形典型题
第十一章三角形典型题
11.1与三角形有关的线段
题型一：三角形中线与周长的应用
例1：如图11-9所示，AD是△ABC的中心，已知△ABC的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ABC的周长为（ ）
A、19cm B、22cm C、25cm D、31

变式训练：在△ABC中，AC=5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA=＿＿＿＿
题型二：三角形面积的综合应用
例2：如图11-10所示，D为△ABC中AC边上一点，AD=1，DC=2，AB=4，E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC的面积的2倍，则BE的长度为多少？

变式训练：如图所示，S△AOD=3，S△AOB=4，S△COD=6，求S△BOC.

题型三：应用三角形面积求线段的长
例3：如图11-11所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，且AD=4。若点P在边AC上移动，则BP的最小值是＿＿＿＿＿＿

变式训练：如图所示，AD,CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长。

题型四：三角形三边关系与绝对值的综合应用
例4：若a，b，c为△ABC的三边长，化简｜a-b-c｜+｜b-c-a｜+｜c-a-b｜

变式训练：已知a,b,c是△ABC的三边长，化简｜+b-c｜+｜a-b-c｜-｜b-a-c｜-｜c+b-a｜

题型五：应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题
例5：如图11-12所示，点P是△ABC内一点，试说明AB+AC＞PB+PC

变式训练：如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）

题型六：利用中线解决三角形面积问题
例6：张爷爷家有一块三角形的花圃，如图11-13所示，张爷爷准备将其分成面积相等的四部分，分别种上红、黄、白、蓝四种不同颜色的花，请你设计五种不同的种植方案，供张爷爷选择。

变式训练：如图所示，在△ABC中，D,E,F分别为BC，AD，CE的中点，S△ABC=16cm2，则阴影部分的面积是（ ）
A、8cm2 B、6cm2 C、4cm2 D、2cm2

11.2与三角形有关的角
题型一：应用三角形内角和定理解决三角板组合问题
例1：一幅三角板有两个直角三角形，按如图11-31所示的方式叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A、165° B、120° C、150° D、135°

变式训练：一幅分别含有30°和45°角的两个直角三角板拼成如上图所示的形式，其中∠C=90°，∠B45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A、10° B、15° C、25° D、30°
题型二：三角形内角和与角平分线的综合应用
例2：如图11-33所示，已知∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，∠A=50°，求∠BOC的度数。

变式训练：如图所示，已知△ABC两内角的平分线AO，BO相较于点O，若∠AOB=140°，求∠C的度数。

题型三：三角形外角性质与角平分线的综合应用
例3：在△ABC中，∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O，试说明∠BOC=90°+∠A。

变式训练：如图（1）所示，在△ABC中，∠1=∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F。（1）试探索∠DEF与∠B，∠C之间的关系；（2）如图（2）所示当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在（1）中探索得到的结论是否成立？（不需要证明）

题型四：三角形高线与角平分线的综合
例4：如图11-35所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C= 45°，求∠DAE与∠AEC的度数。

变式训练：如图所示，在△ABC中，AD是高，BE交于点P，∠BAC=30°，∠C=70°，求∠BEC和∠BPA的度数。

题型五：三角形内角和定理的推论的实际应用
例5：一个零件的形状如图11-36所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和32°，现测得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？

变式训练：如图所示，其中的圆是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道PA和QB，要求PA与QB所在的直线互相垂直。为了检验PA与QB是否垂直，小李同学早水池外的平地上选定一个可直达点P和Q的点C然后测得∠P=25°，∠C=45°，∠Q=20°，则PA与PB是否垂直？为什么？

题型六：利用外角性质判定角的关系
例6：如图11-37所示，在△ABC中，角平分线AD，CF交于点I。（1）∠BIC与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
（2）∠CIA与∠ABC的大小有什么关系？为什么？

变式训练：如图所示，已知D为△ABC内任一点，试说明∠BDC＞∠ABD

题型七：有关三角形的探究题
例7：下面是有关三角形内，外角平分线的探究，阅读后按要求作答。
探究1：如图11-38（1）所示，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+∠A(不要求证明)
探究2：如图11-38（2）所示，O是∠ABC与∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎么样的数量关系，请说明理由；
探究3：如图11-38（3）所示，O是∠DBC与∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎么样的数量关系？

变量训练：如图所示，△ABC是一张三角形纸片，点D，E分别是△ABC边上的两点，沿直线DE折叠。

研究（1）：如果折成图（1）的形状，则∠BDA＇与∠A的关系是＿＿＿＿＿＿

研究（2）：如果折成图（2）的形状，猜想∠BDA＇，∠CEA＇和∠A的关系，并说明理由。（提升：四边形的内角和为360°）。

探究（3）：如果折成图（3）的形状，猜想∠BDA＇，∠CE＇A和∠A的关系，并说明理由。

11.3多边形与其内角和
题型一：复杂图像中角度的确定
例1：如图11-61所示，试说明∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°。

变式训练：如图所示，DE∥BC∥FG，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。

题型二：多边形的割角问题
例2：一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880°，则原多边形的边数是多少？

变式训练：如图所示，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，则所得任一多边形内角和度数不可能是（ ）
A、720° B、540° C、360° D、180°
题型三：利用不等式确定多边形的边数
例3一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算一个内角，则这个内角是多少度？他求的是多边形的内角和？

变式训练：一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求：（1）这个多边形的边数；（2）除去的呢个内角的度数。

题型四：多边形内角和与外角和的实际应用
例4：如图11-62所示，小敏从O点出发，前进10m到达点A1后，向右转30°前进10m到达A2，再向右转30°前进10m到达A3，…这样一直走下去，当她第一次回到出发点O时一共走了＿＿＿＿m

变式训练：如上图所示，小明从点O出发，沿直线前进10米后向左旋转n°（0＜n＜90），再沿直线前进10米向左转相同的度数…，照这样走下去，小明发现：当第一次回到了出发点且转向出发点的方向时，共转了24次，则小明每次转过的角度n的值为（ ）
A、B、15 C、 D、36

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