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时间序列分析课件理论与案例介绍
第9章 时间序列分析

证券市场价格波动有统计规律吗？
在实际的社会经济生活中，人们经常会接触按时间顺序记录的数据，其中广受公众关注的，除了反映经济总量的国内生产总值GDP的增长或衰退以外，可能就要属股票市场价格的变动了。受各种经济和非经济因素的影响，证券市场上股票的价格总是处于频繁变动之中。不论是股票投资者、证券经营企业，还是政府主管部门，都在密切关注股票市场价格的变动情况，都在分析股票市场价格变动的趋势。
股票市场价格在频繁变动之中，例如上海证券交易所的上证指数从1990年12月至2001年7月的变动情况如图所示：

上证指数SHZS）日收盘时间序列图
通过对股票市场价格变动系列数据的观测，我们希望从以下几个方面对股票市场价格变动的规律有更深入的认识：
1、股票市场价格变动的总体趋势是上升还是下降？
2、股票市场价格变动的程度究竟有多大？
3、股票市场价格的波动有波峰也有波谷，这种峰谷交错的变动有规律可循吗？
4、由于受信息披露和资金供求的影响，股票市场价格的变动在一年中的各个时期并不相同，这种差异是否有数量规律性？
5、股票市场价格变动可能是多种因素综合形成的，能否从数据中将各种因素划分开分别加以研究？
6、能否从股票市场价格变动的规律预测其变动的可能趋势？
很明显，如果能够从以上各个方面对股票市场价格变动的数量规律有深刻的认识，这对股票投资者、经营者和管理者都是很有意义的。
(资料来源：史代敏：《中国股票市场波动及效率研究》，西南财经大学出版社。本书作了修改。)

按时间顺序观测的系列数据，表现了现象发展变动的过程，包含了丰富的信息。科学地分析这些信息，有利于认识事物变化的规律性，而不恰当的分析方式很可能得出错误的结论。
显然，很需要有一些专门研究按时间顺序观测的系列数据的分析方法，这就是统计学中的时间序列分析。

根据社会经济现象在不同时间下的数量表现来研究它的发展变化过程，认识它的发展规律并预测其发展变化趋势，为科学的预测和决策提供依据。本章将重点介绍编制时间数列的方法和进行时间数列的分析。
9.1 时间序列的对比分析
一、时间序列的概念
时间数列是将社会经济现象的某一指标在不同时期或时点上的指标数值按时间的先后顺序加以排列而形成的数列，又称为动态数列。例如，为了说明改革开放以来中国的经济发展状况，总是把香港地区从1988年-2003年经济发展的数据按年度顺序排列起来。象这样形成的随时间记录的数据序列称为时间序列，有时也称为动态数列。
任何一个时间序列都具有两个基本要素：一是被研究现象所属的时间范围；二是反映该现象一定时间条件下数量特征的数值，即在不同时间上的统计数据。时间序列中每一项数据反映了现象在各个时间上达到的规模或水平，也称为相应时间上的发展水平。
【例9.1】表9.1所列出的是中国1990年至2002年国内生产总值、人口、消费等数据：

表9.1 香港1988-2003年生产总值

年 份
本地生产总值(按当年价格计算)
本地生产总值及上年
人均本地生产总值
(按当年价格计算)
(亿港元)
(亿美元)
比较的实际增长(%)
(港元)
(美元)
1988
4572
586
8.0
81251
10409
1989
5271
676
2.6
92695
11884
1990
5876
754
3.7
103010
13225
1991
6772
872
5.6
117741
15151
1992
7913
1022
6.6
136423
17623
1993
9128
1180
6.3
154687
19996
1994
10298
1333
5.5
170622
22078
1995
10963
1417
3.9
178078
23019
1996
12109
1566
4.3
188163
24329
1997
13445
1737
5.1
207194
26762
1998
12799
1652
-5.0
195585
25253
1999
12461
1606
3.4
188622
24313
2000
12883
1654
10.2
193299
24811
2001
12699
1628
0.5
188835
24213
2002
12474
1599
1.9
183790
23566
2003
12198
1567
3.2
179308
23027

对时间序列进行分析的目的，一是，它可以描述社会经济现象的发展变化过程和结果；二是，它可以研究社会经济现象的发展趋势和发展速度；三是，对时间数列进行长期趋势测定，对以揭示社会经济现象发展变化的规律性；四是，利用时间数列资料可预测社会经济现象。
二、时间序列的速度分析
在一个时间序列中，各时间上的发展水平按时间顺序可记为。在对各时间的发展水平进行比较时，把作为比较基础的那个时期称为基期，相对应的发展水平称为基期水平；把所研究考察的那个时期称为报告期，相对应的发展水平称为报告期水平。时间数列的速度分析，就是将时间数列的指标数值进行对比，经过对比而得到的指标称为速度分析指标。包括：发展速度、增长速度、平均发展速度和平均增长速度等指标。
1、 发展速度
时间序列中报告期水平及基期水平之比，称为发展速度，说明现象报告期水平较基期水平的相对发展程度。

由于所选基期的不同，发展速度分为环比发展速度和定基发展速度。
报告期水平及前一期水平之比，即（），称为环比发展速度。报告期水平及某一固定基期水平（或称最初水平）之比，即 （），称为定基发展速度。
环比发展速度及定基发展速度的关系是：各环比发展速度的连乘积，等于相应时期的定基发展速度；相邻的两个定基发展速度之商，等于相应时期的环比发展速度，即
(9.1)
(9.2)
【例9.1】表9.2为中国海关出口商品总额及发展速度、增长速度的有关数据。
表9.2 中国海关出口商品总额 单位：亿美元
年份
出口商品总额
（亿美元）
逐期增长量
（亿美元）
环比发展速度
（%）
环比增长速度
（%）
定基发展速度
（%）
定基增长速度
（%）
1990
620.91
—
—
—
100.00
—
1991
718.43
97.52
115.71
15.71
115.71
15.71
1992
849.40
130.97
118.23
18.23
136.80
36.80
1993
917.44
68.04
108.01
8.01
147.76
47.76
1994
1210.06
292.62
131.90
31.90
194.88
94.88
1995
1487.80
277.74
122.95
22.95
239.62
139.62
1996
1510.66
22.86
101.54
1.54
243.30
143.30
1997
1827.92
317.26
121.00
21.00
294.39
194.39
1998
1837.09
9.17
100.50
0.50
295.87
195.87
1999
1949.31
112.22
106.11
6.11
313.94
213.94
2000
2492.03
542.72
12784
27.84
401.35
301.35
2001
2661.55
169.52
106.80
6.80
428.65
328.65
2002
3255.96
594.41
122.33
22.33
524.39
424.39
资料来源：《中国统计年鉴》2003，中国统计出版社。

读者可以验算，表9.2中以1990年为基期，1991年至2002年出口商品总额的环比发展速度的连乘积为524.39%，及以1990年为基期的2002年定基发展速度相等。2000年的定基发展速度401.35%除以1999年的定基发展速度313.94%，等于2000年出口商品总额的环比发展速度127.84%。
2、 增长速度
由增长量及基期水平对比可计算增长速度，说明报告期水平较基期水平增长的相对程度。

发展速度分为环比发展速度和定基发展速度，相对应的增长速度也可分为环比增长速度和定基增长速度，其关系为：

环比增长速度=环比发展速度—1

定基增长速度=定基发展速度—1

及发展速度不同，增长速度说明报告期水平在扣除了基期数据以后，较基期增长的相对程度。显然，当增长速度为正值时，表示报告期水平在基期水平基础上的增长速度；当增长速度为负值时，表示报告期水平在基期水平基础上降低的程度。
应当指出，环比增长速度的连乘积并不等于相应时期的定基增长速度，若要由环比增长速度计算定基增长速度，只能先将环比增长速度加1转换为环比发展速度，通过环比发展速度连乘计算定基发展速度再减1，才能求得定基增长速度。例如从表9.2中可以看出所计算的环比发展速度及环比增长速度的关系以及定基发展速度及定基增长速度的关系。
3、 平均发展速度和平均增长速度
平均速度是指各个时期环比速度的序时平均数。平均发展速度是现象逐期发展的平均程度，相对应地，平均增长速度是现象逐期增长的平均程度，二者的关系是：
平均增长速度 = 平均发展速度-1
平均增长速度可能为正值，也可能为负值，为正值时表明现象在该段时期内平均来说是递增的；为负值时表明现象在该段时期内平均来说是递减的。
需要强调，平均增长速度不能由各期的环比增长速度直接求得，而只能通过及平均发展速度的数量关系，即由平均发展速度减1去计算求得。
平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数，通常采用几何平均法去计算。这是由于现象发展的总速度并不等于各期环比发展速度之和，而是等于各期环比发展速度的连乘积，所以各期环比发展速度的序时平均数，不能在速度代数和基础上按算术平均方法去计算，而只能在速度连乘积基础上按几何平均法去计算。若以（）表示各期环比发展速度，以代表平均发展速度，则按几何平均计算平均发展速度的计算公式为：
(9.3)
【例9.2】表9.3中计算中国1990—2002年出口商品的平均发展速度：
因为各期环比发展速度的连乘积等于定基发展速度为：

由于各期环比发展速度的连乘积等于定基发展速度，所以平均发展速度也可由定基发展速度去计算，如上例中：

若以（）表示各期水平，则有
(9.4)
也就是说只要知道最末水平和最初水平，就可直接计算平均发展速度。例如中国1990—2002年出口商品的年平均发展速度也可用以下方法计算：

可以看出，用几何平均法计算平均发展速度的特点是着眼于期末水平，不论中间水平变化过程怎样，只要期末水平确定，对平均发展速度的计算结果没有影响。或者说用几何平均法计算平均发展速度隐含着一个假定：从时间序列的最初水平出发，以计算的平均发展速度代替各期的环比发展速度，计算出的期末水平及实际的期末水平相一致。所以计算平均发展速度的几何平均法也称为“水平法”。
平均发展速度表明的是在基期水平基础上的发展状况，在运用平均发展速度的时候应注意及基期水平联系起来分析。因为如果基期水平很低，尽管计算的平均发展速度较高，实际的发展水平还是较低，反之亦然。也就是说高速度可能掩盖低水平，低速度也可能隐含高水平。此外，由于平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均，可能会掩盖各期特殊发展的情况，所以应当把平均发展速度及各环比发展速度结合起来进行分析。
9.2 时间序列及其构成因素
一、时间序列的趋势因素
影响现象发展变化的因素，按性质不同大致可归纳为四大类：客观事物随着时间推移而发展变化，是受多种因素共同影响的结果。在诸多影响因素中，有的是长期起作用的，对事物的发展变化发挥着决定性作用；有的只是短期起作用，或者只是偶然发挥非决定性的作用。例如，公司产品的销售量可能受经济增长、企业经营不断改进等长期稳定因素的影响，同时也可能受偶然自然灾害、新的政策出台等非长期因素影响。在分析时间序列的变动规律时，事实上不可能将每一个影响因素都一一划分开来分别去作精确分析。但是我们可以按照对现象变化影响的类型，将众多影响因素划分为若干种时间序列的构成要素，然后对这几类构成要素分别进行分析，以揭示时间序列变动的规律性。影响时间序列的构成要素通常可归纳为四种：即长期趋势（Trend）因素、季节变动(Seasonar Fluctuation)因素、循环变动(Cyclical Variation)因素、不规则变动(Irregular Variation)因素。
图9.1中反映的时间序列就是一个包含了长期趋势因素、季节变动因素、循环变动因素、不规则变动因素的时间序列。

图9.1 包含四个要素的时间序列的图例

1. 长期趋势因素
长期趋势因素是指在较长时间内比较稳定的、经常起作用的根本性因素。它具有长期性、稳定性、经常性和根本性的特点。例如科技进步对生产力发展的影响就具有上述特点，科技进步是影响生产力发展的长期趋势因素。如果现象只受长期趋势因素的影响，则其发展变化必然是逐渐上升或逐渐下降的。例如中国改革开放以来经济持续增长，表现为国内生产总值逐年增长的态势；又如人口总量的变化通常呈现出某种长期的趋势。长期趋势的图形如图9.2A和图9.2B所示：

图9.2A 长期趋势（1） 图9.2B 长期趋势（2）

2. 季节变动因素
季节因素是引起现象在较短时间（一年、一季度、一月、一周、一天）内出现周期性变动的因素。其变动特点是在一年或更短的时间内随着时序的变更，使现象呈周期重复的变化。例如，羽绒服的销售量，随着春、夏、秋、冬四季的交替变化而呈现出的周期性变化；气温在一天内由低到高、由高到低的变化等，都属于季节因素作用的结果。图9.3就是一年内随季节变动的一种态势的图形。季节因素在短时间内对现象的影响是显著的，但最多在连续一年的时间内，季节因素对现象发展的正负影响就可以被综合或抵消，

图9.3 季节变动的图形
3. 偶然因素
偶然因素是指在目前科学技术条件下还不能预测或控制的因素。它具有局部性、临时性、非决定性和影响方向不确定性的特点。它对现象发展变化的影响，有的在短时间内是明显甚至是巨大的，且不易综合抵消，但对现象的正负影响在较长时期内一般是可以综合抵消的。例如，自然灾害、战争、政治事件等的影响。
4. 循环变动因素
循环因素是指使现象发生周期较长的、涨落起伏交替变动的因素。它及季节因素的影响有明显的不同．也不同于使现象朝着单一方向持续发展的长期趋势因素。它使得现象变动的周期通常在一年以上，甚至七、八年，十来年，备期始末亦难确定是何年何月，上下波动的程度也不尽相同。例如，由于生产关系改革滞后所引起的周期经济危机就是循环变动，生产关系就是一种循环因素。循环变动及季节变动也不同，循环变动的周期长短很不一致，不象季节变动那样有明显的按月或按季的固定周期规律，循环变动的规律性不甚明显。例如图9.4就是若干年中循环变动态势的一种图形：

图9.4 循环变动的图形

二时间序列构成因素的组合模型
形成时间序列变动的四类构成因素，按照它们的影响方式的不同，可以设定为不同的组合模型，其中最常用的有乘法模型和加法模型。
若以Y表示时间序列的指标数值；T表示长期趋势成分；S表示季节变动成分；C表示循环变动成分；I 表示不规则变动成分；用下标t 表示时间（t=1,2,…n），n为时间序列的项数。乘法模型和加法模型的表现形式为：
（9.5）
乘法模型是假定四个成分对现象发展的影响是相互的，长期趋势成分取及时间序列原始指标数值Y相同计量单位的绝对量，以长期趋势为基础，其余成分则均以比率（相对量）表示。
(9.6)
加法模型是假定四个因素的影响是独立的，每个成分均以及时间序列原始指标数值Y相同计量单位的绝对量来表示。
需要说明，时间序列组合模型中包含了四类成份，这是时间序列的完备模式，但是并不是在每个时间序列中这四类成分都同时存在。一般说来，在时间序列中长期趋势是经常存在的，季节变动因素和循环变动因素则不一定存在。当季节变动成分或循环变动成分不存在时，在乘法模型中S或C取值为1，在加法模型中S或C取值为0。时间序列分析的任务之一，就是对序列中的这几种构成要素进行统计测定和分析，从中划分出各种要素的具体作用，揭示其变动的规律和特征，为认识和预测事物的发展提供依据。要分别研究各种构成因素的变动规律以及对时间序列的影响，就需要从时间序列中把各种构成因素分解出来。只有这样，才能识别某种构成因素是否存在，也才能分别描述各种构成因素的变动规律。
9.3 时间序列趋势变动分析
时间序列的长期趋势是就一个较长的时期而言的，一般地说分析长期趋势所选的时期越长越好。对长期趋势的测定和分析，是时间序列分析的重要工作，其主要目的有三个：一是为了认识现象随时间发展变化的趋势和规律性；二是为了对现象未来的发展趋势作出预测；三是为了从时间数列中剔除长期趋势成分，以便于分解出其他类型的影响因素。时间序列趋势的测定方法有许多种，最常用的有移动平均法和趋势模型法。
一、测定长期趋势的移动平均法
移动平均法的基本原理，是通过移动平均消除时间序列中的不规则变动和其他变动，从而揭示出时间序列的长期趋势。所谓移动平均，是选择一定的用于平均的时距项数N，采用对序列逐项递移的方式，对原序列递移的N项计算一系列序时平均数，由这些序时平均数所形成的新序列，一定程度上消除或削弱了原序列中的由于短期偶然因素引起的不规则变动和其他成分，对原序列的波动起到一定的修匀作用，从而呈现出现象在较长时期的发展趋势。

【例9.3】表9.3为某市某客运站旅客运输量及其三项移动平均和五项移动平均的计算结果：

表9.3 某市某客运站旅客运输量 单位：万人公里
年份
季度

客运量

三项移动平均
五项移动平均
移动平均值
逐期增长
移动平均值
逐期增长
2000年
一
100
—
—
—
—

二
95
97.7
—
—
—

三
98
100.0
3．0
102．0
—

四
107
105.0
5．0
103．0
1．0
2001年
一
110
107.3
2．3
105．4
2．4

二
105
107．3
0．0
108．8
3．4

三
107
109．0
1．7
112．0
3．2

四
115
115．0
8．0
113．0
2．0
2002年
一
123
117．7
2．7
116．0
3．0

二
115
119．3
1．6
119．6
3．6

三
120
120．0
0．7
—
—

四
125
—
—
—
—

在表9.3中，三项移动平均和五项移动平均的结果都表现出一定的周期性波动，这是因为移动平均值序列还受到季节波动的影响。为消除季节变动也可对原序列作四项移动平均，结果见表9.4。
表9.4 某客运站旅客运输量四项移动平均计算表 （单位：万人公里）
年 份
季度
客运量
四项平均
移正平均
逐期增长
2000年
一
100

100．00
102．50
105．00
107．25
109．25
112．50
115．00
118．25
120．75
—
—

二
95
—
—

三
98
101．250
—

四
107
103．750
2.500
2001年
一
110
106．125
2.375

二
105
108．250
2.125

三
107
110．875
2.625

四
115
113．750
2.875
2002年
一
123
116．625
2.875

二
115
119．500
2.875

三
120
—
—

四
125
—
—

利用Excel可以方便地计算移动平均数，方法是在Excel工作表中输入客运量数据（例如C2：C13中），在“工具”中的“数据分析”点击“移动平均”，输入数据区域“C2：C13”，若是四项移动平均，在“间隔”中输入“4”，在“输出区域”中输入指定的区域（如D2），点“确定”，即得到四项移动平均的结果。由于四项移动平均结果的数据位于相邻两时期的中间，为使数据及有关时期相对应，还需要作移正平均，只需对四项移动平均的结果再作“间隔”为“2”的移动平均即可。

用Excel作四项移动平均的窗口如图9.5所示：

图9.5 Excel四项移动平均对话框

Excel中四项移动平均的输出形式如表9.5所示：

表9.5 Excel四项移动平均输出结果

注意Excel中的移动平均值不是放在被移动平均的中间时期的位置，而是为了预测的需要放在被平均数据的最后一期，应将其调整到适当的位置。
由以上实例可以看出，移动平均法具有如下特点：
(1) 移动平均对原序列有修匀或平滑的作用，使得原序列的上下波动被削弱了，而且平均的时距项数N越大，对数列的修匀作用越强。如表9—6中三年移动平均的不规则变动较原序列明显削弱了，但平均值的逐期增长量还不很规则；五年移动平均进一步削弱了不规则变动，逐期增长量更接近于一个常数。
(2) 移动平均时距项数N为奇数时，只需一次移动平均，其移动平均值作为移动平均项数的中间一期的趋势代表值；而当移动平均项数N为偶数时，移动平均值代表的是这偶数项的中间位置的水平，无法对正某一时期，则需再进行一次相邻两项平均值的移动平均，这样才能使平均值对正某一时期，这称为移正平均，也称中心化的移动平均数。
(3) 当序列包含季节变动时，移动平均时距项数N应及季节变动长度一致（如4个季度或12个月），才能消除其季节变动；若序列包含周期变动时，平均时距项数N应和周期长度基本一致，才能较好地消除周期波动。
(4) 移动平均以后，其序列的项数较原序列减少，当N为奇数时，新序列首尾各减少（N—1）/ 2项；N为偶数时，首尾各减少N / 2项。所以移动平均会使原序列失去部分信息，而且平均项数越大，失去的信息越多。所以移动平均的项数不宜过大。
二、测定长期趋势的线性趋势模型法
时间序列的长期趋势可分为线性趋势和非线性趋势。当时间序列的长期趋势近似地呈现为直线，每期的增减数量大致相同时，则称时间序列具有线性趋势。线性趋势的特点是其逐期变化量或趋势线的斜率基本保持不变。当时间序列在各时期的变动随时间而异，各时期的变化率或趋势线的斜率有明显变动但又有一定规律性时，现象的长期趋势将不再是线性的，这时现象的长期趋势可能是非线性趋势。对于线性趋势和非线性趋势可以时间为解释变量，分别用不同的模型去拟合。
线性趋势的模型法，是利用以时间t作为解释变量的线性回归的方法对原时间序列拟合线性方程，消除其他成分变动，从而揭示出序列长期线性趋势的方法。线性趋势方程的一般形式为：
(9.7)
其中： 为时间序列的趋势值；t为时间的标号；a为截距项，是当 t =0时 的初始值；b为趋势线的斜率，表示当时间 t 变动一个单位时，趋势值的平均变动数量。
通常可以利用第8章中最小二乘法估计线性趋势方程的参数，即
(9.8)
其中：n为时间序列中数据的项数；Y为时间序列中各项的数值，即各时间的实际观测值。
【例9.4】对表9.3中旅客运输量，可作线性趋势方程拟合。由第8章的最小二乘法估计参数的公式，可得

所以，线性趋势方程为：

线性趋势方程拟合的计算也可以利用Excel去实现，在Excel工作表中（例如在B2：B13）输入客运量数据Y，并输入时间序号t（如在A2：A13中输入1、2、12），在“工具”的“数据分析”中点“回归”，在对话框的“Y值输入区域”输入“B2：B13”，在“X值输入区域”输入“A2：A13”，在“输出区域”中输入指定位置（例如C1），点“确定”即得回归结果，输出的形式如表9.6所示。

表9.6 Excel趋势方程拟合结果

各时期的实际观测值及模型拟合值的图形，如图9.6所示

图9.6实际观测值及模型拟合值的图形
由EXCEL输出结果中可见，可决系数为，估计的斜率系数的t统计量为7.49，明显大于t统计量的临界值，P值为0.09E-05，这说明“旅客运输量”的线性趋势是较为明显的。

模型拟合的趋势方程具有延伸外推的功能，可用于对未来时期现象的趋势值作出预测。例如上例中，可预测该客运站2003年一季度（t=13）的客运量为：
=93.727 + 2.503×13 =126.266(万人公里)
三、测定长期趋势的非线性趋势模型法
事实上，现象的长期趋势并不一定呈现为线性趋势，也就是说现象变动的变化率或趋势线的斜率在较长时期中不一定保持不变。有规律的非线性趋势，常呈现为某种形态的曲线变化，又称为曲线趋势。
非线性趋势变动的形式多种多样，例如可能为抛物线型、指数曲线型、修正指数曲线型、Gomperte曲线型、Logistic曲线型等等，各种型式曲线的拟合方法各不相同。这里只介绍较常用的抛物线型和指数曲线型。
1、抛物线型
当现象的长期趋势近似于抛物线形态时，可拟合为如下二次曲线方程：
(9.9)
其中：为时间序列的趋势值；t为时间的标号；a、b、c为参数。
拟合抛物线型的曲线方程，需要估计其参数a、b、c，可将t和分别视为两个自变量，按多元回归的方式用最小二乘法去估计其参数。
【例9.5】表9.7中的Y为某企业各季度某种产品销售量，由图9.7销售量的散点图可以观察出近似于抛物线，可用抛物线方程拟合其长期趋势。

表9.7 某企业某种产品销售量及有关数据 单位：万件
序号t
时 间
年/季
销售量Y

-5
1997/1
928
25
-4
1997/2
2845
16
-3
1997/3
3238
9
-2
1997/4
4942
4
-1
1998/1
4555
1
0
1998/2
6278
0
1
1998/3
6485
1
2
1998/4
6852
4
3
1999/1
6849
9
4
1999/2
7317
16
5
1999/3
7023
25

为了计算的简化，可以如表9.7那样将时间序号t设定为以中点为原点，即取最中间的时间序号为0，则中点以前的时间序号分别为-1、-2 …，中点以后的时间序号分别为1、2 …。也可直接以t和为解释变量，用Excel中多元回归分析的方法估计抛物线型的趋势方程的参数。对于本例，可在Excel工作表中输入“销售量”（如D3：D13中）、“t值”（如B3：B13中），并生成“值”（如C3：C13中）。在“工具”的“数据分析”中选“回归”，在对话框的“Y值输入区域”输入“D3：D13”，在“X值输入区域”输入“B3：C13”（注意这里涵盖了“t值”和“值”），在“输出区域”中输入指定位置（如E1），点“确定”即得回归结果，输出形式如表9.8所示。

表9.8 抛物线型趋势的估计

也就是说拟合的该企业某种产品销售量的二次曲线方程为：

销售量原始数据及抛物线拟合曲线的图形如图9.7所示：

图9.7 抛物线拟合曲线的图形
从表9.8中还可看出，此非线性回归的可决系数为0.9715，修正的可决系数为=0.9644。而且，F统计量为156.474，对应的P值为657E-07；估计的“t”和“”系数的t统计量分别为15.6131和-5.4017，其绝对值均大于t统计量临界值，对应的P值分别为2.82E-07和 0.000645。这说明该企业产品销售量的抛物线趋势是明显的。
当需要预测1999年四季度该种产品销售量时，时间t = 6 ，代入曲线方程，可估计1999年四季度该产品销售量为

2、指数曲线型
当现象的长期趋势每期大体上按相同速度递增或递减变化时，长期趋势模型可拟合为如下指数曲线方程：
(9.10)
其中：为时间序列的趋势值；t为时间标号；a、b为参数。

指数曲线的特点是各期环比增长速度大体相同，或者说时间序列的逐期趋势值按一定的百分比递增或衰减。式（9.10）中，a、b为未知参数，若b > 1，逐期增长率随t的增加而增加；若b < 1，逐期增长率随t的增加而降低。
为了估计参数a、b，可将式（9.11） 两端取对数：
(9.11)
设定 则有 = A + Bt
利用时间序列的数据，运用最小二乘法可估计出lg a和lg b，再取反对数即可得参数a、b的估计值。
【例9.6】表9.9为某市年末人口数量变化，可以看出其环比增长率近似于常数，可用指数曲线方程拟合其长期趋势。为说明计算过程，把有关数据列也在表9.9中。

表9.9 某市年末人口数量变化 单位：万人
序号t
年份
年末人口数
环比增长 %

1
1994
58.00

4.0604
2
1995
59.45
2.50
4.0851
3
1996
60.92
2.47
4.1096
4
1997
62.40
2.43
4.1336
5
1998
63.93
2.45
4.1578
6
1999
65.50
2.46
4.1821
7
2000
67.09
2.43
4.2060
8
2001
68.73
2.44
4.2302
9
2002
70.42
2.45
4.2545

用回归分析的方法计算或用Excel运算（其回归分析的过程及统计检验从略），可得系数A和B的估计结果：
A=4.0366 B=0.02421
取反对数 a=60.90 b=1.02463
所得趋势方程为
或者
长期趋势模型的拟合，需要判断现象发展的基本规律和态势，要求选择最适合的函数形式，事实上这是比较困难的。在对实际的时间序列拟合其长期趋势方程时，通常可参考以下的一些作法：
进行定性分析。首先应对所研究的现象的客观性质进行研究，分析其一般的发展规律，从而对现象长期趋势的性质作出基本的判断。
1、 描绘散布图。根据时间序列的观测值描绘散布图，从散布图的基本态势，判断现象随时间变化的大体类型。
2、 分析序列的数据特征。如果序列各项数据的K次差大致为一常数，一般来说可考虑配合K次曲线；若序列的环比发展速度大体为一常数，或序列的对数一次差大体为一常数，可考虑配合指数曲线。
3、 分段拟合。现象的实际变化可能非常复杂，各个阶段可能有不同的变化规律，这时可将序列分段考察，分别拟合不同的曲线趋势。
4、 最小偏差分析。当序列有多种曲线可供选择时，可将多种曲线的拟合结果加以比较，分别计算各种曲线的偏差或估计的均方误差，以估计的均方误差最小的曲线为宜。计算估计的均方误差的方法为：
(9.12)
其中：n为序列项数；k为曲线参数的个数; Yt为序列观测值；为估计的趋势值。
9.4 季节变动分析
一、季节变动分析的意义
季节变动分析是对时间数列进行整理和分析．从而消除长期趋势因素和偶然因素等对现象发展的影响．使现象问受季节因素的影响而产生的波动显现出来的分析方法。测定季节变动的目的在于掌握季节变动的周期、幅度等规律，以便预测未来，及时采取措施；克服其不良影响，更好地组织生产经营活动．提高经济效益。测定季节变动要求具有至少连续三年的分季或分月的资料，按年计算的资料是不能测定季节变动的。
二、季节变动分析的方法
测定季节变动的方法很多，从是否考虑长期趋势的影响看可分为两种：一是不考虑长期趋势的影响，根据原始时间序列直接去测定季节变动；二是根据剔除长期趋势后的数据测定季节变动。
1. 原始资料平均法
当时间序列的长期趋势近似于水平趋势时，测定时间序列的季节变动可以不考虑长期趋势的影响，直接用原始资料平均法。原始资料平均法也称为同期（月或季）平均法。这是对原始时间序列数据不剔除长期趋势因素，直接计算季节比率的方法，其基本步骤为：
（1） 计算各年同期（月或季）的平均数（i = 1，…，12月或i = 1，…，4季），其目的是消除各年同一季节数据上的不规则变动。
（2） 计算全部数据的总平均数，找出整个序列的水平趋势。
（3） 计算季节比率Si ，即
(i=1,2,…12月或i=1,2,3,4季度) (9.13)
可见，季节比率实际上是各年的同期平均数相对于整个序列平均水平变动的程度，也称为季节指数，可用相对比率或百分比表示。在乘法模型中，季节比率有一个特性，这就是其总和等于季节周期L(=12或=4)，或平均等于1，即
(9.14)
【例9.7】设某地1999年至2001年的空调销售量分季资料，如表9.10所示．试测定其季节变动。

表9.10 某公司空调销售 单位：万台
季度
年份
一
二
三
四
合计
平均
1999
1.4
4.0
9.0
1.0
15.4
3.850
2000
1.6
6.1
10.2
1.4
19.3
4.825
2001
1.8
7.0
12.3
1.5
22.6
5.650
同季平均
1.6
5.7
10.5
1.3
19.1
4.775
季节比率%
0.335
1.194
2.199
0.272
4.000
1.000
注：各月平均值为60.58.

上表中，因各季节比率之和刚好为4．000，故不需要调整。如果这个和不等于4或400％，则应进行调整，调整的方法参见上例。从上表中还可以看出，空调的销售量受季节因素影响显著．三季度销售最多，为正常销售量的219．9％，四季度销售最少，只有正常销售的27．2%。二、三季度是空调销售的旺季．一、四季度是淡季。以季节比率为依据，就可以有效地安排今后的销售工作。按月资料可类似地计算各月的季节比率。
必须指出，用这种方法是假定没有长期趋势因素的影响，它并没有消除长期趋势因素的影响，当季节因素影响显著、长期趋势又不明显时，用这种方法能大致反映季节因素的