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《高等几何》复习题
一、填空题
1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；
2、线坐标 (1,2,1) 的直线的齐次方程为： ；
3、直线上的无穷远点坐标为： （2,-3,0） ；
4、设(AB,CD)=，则点偶 AC 调和分割点偶 BD ；
5、两个射影点列成透视的充要条件是 保持公共元素不变 ；
6、写出德萨格定理的对偶命题： 三线形对应边的交点共线，则对应点连线共点。
7、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应
8、求射影变换的自对应元素的参数 1
9、平面上4个变换群，射影群仿射群、相似群、正交群的大小关系为：
射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群。
10、二次曲线的点坐标方程为，则其线坐标方程为是 .
11、经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.
12、共线三点的简比是 仿射 不变量.
13、平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一 仿射变换 .
14、已知OX轴上的射影变换式为，则原点的对应点
15、 =0代表点 (1,1,0)、(1,-1,0) 的方程.
16、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则 A(BC,DE) = -1
17、对合由 两对不同的对应元素 唯一决定.
18、二阶曲线就是 两个射影线束对应直线交点 的全体.
19、方程表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0）
20、罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做 分散 直线.
21、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；
22、直线上无穷远点坐标为： （5，-1，0）
23、已知,则 3 , -2
24、过点A(1,,2)的实直线的齐次方程为：
25、两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二 阶 曲线.
26、不在二阶曲线C上的点P关于C的调和共轭点的轨迹是一条直线, 称为P的 极 线.

二、选择
1、下列哪个图形是仿射不变图形？( D )
A.圆, B.直角三角形, C.矩形, D.平行四边形
2、=0 表示( C )
A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点,
B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点,
C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点,
D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点.
3、两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( B )
A.一次, B.两次, C.三次, D.四次.
4、下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A )：
A. 三角形的垂心， B. 梯形， C.平面内无三线共点的四线有六个交点， D.椭圆
5、二次曲线按射影分类总共可分为( B )
A.4类， B.5类，C.6类， D.8类
6、设(1)，(-1)，()为共线三点，则 A .
A.1， B.2， C.3， D.4
7、已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)= D .
A.-4， B-3， C.-2， D.-1
8、若共点四直线a,b,c,d的交比为 ab,cd)=-1，则交比 (ad,bc)= B .
A.1， B.2， C.3， D.4
9、点坐标为(1,0,0)的方程是 A .
A.u1=0， B. u2=0， C. u2=0， D. u4=0
10、证明公理体系的和谐性常用 C .
A. 公理法， B. 反证法， C. 模型法， D. 演绎法
11、一点列到自身的两射影变换,其中为对合的是 B
A.，，； B.，，
C.，，； D.，，
12、下列哪个名称或命题属于射影几何学 ( C )
A. 三角形三条高线共点, B. 直角三角形, C. Desargues定理, D. 梯形.
13、满足条件 ( C ) 的一维射影变换必为对合变换.
A. 有一个自对应点, B. 有两个自对应点,
C. 有两个对合点, D. 有三个对合点.
14、一维射影变换f如果满足f-1=f, 则称之为 ( A ) 变换.
A. 对合, B. 简单, C. 线性, D. 非奇.

三、判断
1、仿射对应不一定保持二直线的平行性.（ × ）
2、两直线能把射影平面分成两个区域.（ √ ）
3、当正负号任意选取时，齐次坐标表示两个相异的点.（ × ）
4、若一维射影变换的一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则它一定是对合.（ √）
5、配极变换是一种非奇线性对应.（ √ ）
6、共线四点的交比是仿射不变量. （ √ ）
7、平行四边形的射影对应映像仍然是平行四边形. （ × ）
8、直线上的三点,,的单比(ABC)= 0. （ × ）
9、共线三点的简比是射影不变量. （ × ）
10、Desargues定理是自对偶命题. （ × ）
11、二直线所成角度是相似群不变量. （ √ ）
12、二维射影对应有3对对应点唯一确定. （ × ）
13、若交比 (P1P3, P2P4)=2, 则 (P1P2, P3P4)=-1. （ √ ）
14、一维射影变换如果有一个自对应点则必定为对合变换. （ × ）

四、计算、作图
1、求点 (1,-1,0) 关于二阶曲线的极线方程.
解：极线方程 (1,-1,0)=0, 即
2、求仿射变换式使直线x＋2y－1＝0上的每个点都不变，且使点 (1,-1)变为 (-1,2).
解：设所求仿射变换为
在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取 (1,0)、(3,-1), 在仿射变换下，此二点不变。
而点(1,-1)变为(-1,2), 把它们分别代入所设仿射变换式，得
, ,
由以上方程联立解得：＝2，=2,=-1, =-, =-2, =
故所求的仿射变换为：
3、求射影变换的固定元素。
题四5图
A
C
a
b
c
B
E
F
D
G
d
解：固定元素的方程为, 特征方程为=0, 即(1+u)(1-u)2=0
解得u=1 , u = -1.
将u = -1代入固定点方程组，即得固定点为(1,0,0)
将u=1代入固定点方程组，得x1=0这一点列上的每一点都是固定点。

4、求对合对应, 使得 3, 5 分别对应与2,1.
解： 设所求变换为 kx′=Ax, 则 A=. 依题
=A , 解得 A= =
= .
由于 -2k1+k2= 3k2-5k1, 所以, 可取 k1=8, k2=14, 从而得 A = , 即所求变换为
.

5、已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)= -1. (画图，写出作法过程和根据)
作法过程：
1. 设a,b,c交于点A，在c上任取一点C,
2. 过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，
3. BD与EF交于G ,
4. AG即为所求的d.
根据：完全四点形的调和共轭性.

6、 平面上经过A(-3,2) 和B(6,1) 两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比 (ABP)
解：设P点的坐标为 (x0,yo),
（分割比）， 且P在直线x+3y-6=0上， , 解得λ=1, 即P是AB中点，且(ABP) = -1.

7、 已知仿射平面上直线L的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求
(1) L的齐次坐标方程； (2) L上无穷远点的坐标； (3) L上无穷远点的方程。
(1) (2) (1,1/2,0) (3) =0

8、 在直线上取笛氏坐标为 2,0,3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？
解：(i) 由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）=

(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有，即3x2－7x=0，
∴当x=0及x=时两种坐标相等。

9、 求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。
解：设射影变换的方程为：, 由题意知：a+,
, 6a+3b+2c+d=0 , 得到：
故射影变换方程为：
二重元素满足： 得=7/3或=1

10、 求由两个射影线束，，所构成的二阶曲线的方程。
解：由题意 , , 由上式得 , 故所求方程即为.
11、求直线=0关于+2-6=0之极点。
解：设P0 ()为所求, 则=
解线性方程组 得 ,
即 (3,-1,-1) 为所求极点的坐标.

12、求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。
解：化为齐次式
x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入
得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2=
∴ 无穷远点坐标为(2，1，0)

13、求仿射变换 的不变点.
解：由 得 解此方程，得不变点为

14、求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比.
解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，
则(2，1，-1)+μ1(1,-1,1)相当于(1，0，0)
∴
得 μ1=1
又 (2，1，-1)+μ2(1,-1,1)相当于(1，5，-5)
∴
得 μ2=-
所求交比为

15、试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束
x1-λx3=0与x2-x3=0 (=)所决定的.
解：∵= (1) 将x1-λx3=0, x2-x3=0中的，λ，代入(1)得
, x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化简，即得所求的二阶曲线方程

16、求两对对应元素，其参数为1，02，所确定的对合方程。
解 设所求为 a+b)+d=0 ①
将对应参数代入得： a+（1+）b+d=0 ②
（0+2）b+d=0 ③
从①②③中消去a,b,d得 =0
即++-2=0为所求

17、给定点A、B，作出点C，使(ABC)=4.
作法：∵ (ABC)=，∴ ,即 =3 . 在AB延长线上，作点C，使BC=AB

18、过定点P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点.
作法：(利用代沙格定理) 任取线束S，设束中两条直线交a于AC，交b于A′，C′；连直线PC，PC′分别交线束S的第三条直线于B，B′；
直线BA和B′A′的交点Q与点P的连线，即为所求的直线.

19、如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线.
作法：过P点任引两直线，使与Γ分别交于A、B及C、D，
设Q=AC×BD，R=AD×BC，那么直线QR即为所求的极线.

20、已知四直线 ,,, 的方程顺次为-+=0，+-=0, -=0，-=0, 求证四直线共点，并求(,)的值。
题四19图
Γ
P
解：因为 =0且=0
所以 ,,, 共点. 四直线与x轴（=0）的交点顺次为
A(1,0,-2),B(2,0,3),C(00,1),D(1,0,5),非齐次坐标为
A(-,0),B(,0),C(0,0),D(,0)，所以 (,) =（AB，CD）==

21、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：
与 且 .
解：射影对应式为。
由两线束的方程有：, 将它们代入射影对应式并化简得，. 此即为所求二阶曲线的方程。

22、 求射影变换, 使得 (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (0,0,1) 分别对应 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1).
解： 设所求变换为 kx′=Ax, 则
=A
由于 =, 故 A=
由于 (0,0,1)对应 (1,1,1), 故 = , 故 =
故 k1=1, k2=1, k3=-1. A= , 所求变换为
kx′=x

23、求一维射影变换, 使 -1,0,1 分别变为 0,1,3.
解： 由于交比不变, 所以 (-1 0, 1 x) = ( 0 1, 3 x′). 即
x′=3(x+1)/(3-x).

24、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。
解：每三点不共线的五个点，两两连线， 完全5点形。
对偶：每三线不共点的五条线，两两相交，完全5线形。 ？对偶图形就是自己
题四24图

五、证明题
1、设(AB,CD)=(BC,DA)求证 (AB,CD)=2.
题五2图
A
D
F
B
C
M
G
T
S
H
Q
P
证明：(AB,CD)= = =
所以 (AB,CD)= , (AB,CD) -1 = 1, (AB,CD) =2, 证毕.

2、如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS与QP的交点M在直线GH上。
在三点形BTS与三点形DQP中 对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点， 由德萨格定理的逆定理知， 对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上

题五3图
P
S
B
Q
R
B1
A
C
C1
A1
3、 设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线.
证明：在△ABC及△PQR中，
∵AP、BQ、CR共点S.
∴对应边的交点C1=AB×PQ，
B1=CA×RP, A1=BC×RQ三点共线

4、将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。
证明(按以下程序作业)：
第一步：任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形。 故可将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)。
第二步：在图乙中，正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，
第三步：由A′作B′C′边上的高线A′S，∵△A′B′C′是正三角形，由对称性可知K′，N′在A′S上.同理J′、M′与P′L′也分别在过点B′、C′所作的高线上，因为△A′B′C′的三高线共点，所以六边形J′K′L′M′N′P′的三对顶点的连线共点. 正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立.

题五5图
A1
A2
A4
A3
A5
A6
L
M
N
P
Q
5、叙述Pascal定理的内容并予以证明。
定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对边的交点共线。
证明：设简单六点形, 其三对对边的交点分别为L,M,N,
L=, M=, N=.
以,为中心，分别连接其他四点，则由定理得到
设, 则
,
所以，. 由于两个点列底的交点，故有

所以LM, , 三线共点，但=N, 即L,MN 三点共线。

6、叙述并证明Brianchon定理。
定理：外切于非退化二级曲线的简单六线形，其三对对顶点的连线共点。
证明：设简单六线形a1a2a3a4a5a6, 其三对对顶的连线分别为l, m, n.
l为交点a1a2, a4a5的连线, m为 A23,A56的连线, n为 A34,A61的连线,
题五6图
a1
a2
a3
a4
a5
a6
l
m
n
p
q
以a1,a3为基线，分别与其他四线相交，则由定理得到 a1(a2a4a5a6) a3(a2a4a5a6),
设交点a1a6与a4a5的连线为p, 交点a5a6与a3a4的连线为q,
则a4a5 : (a2a4a5a6) (l,a4,a5,p), a5a6 : (a2a4a5a6) (m,q,a5,a6),
所以，(l,a4,a5,p) (m,q,a5,a6), 由于两个线束公共线a5 a5, 故有
(l,a4,a5,p)(m,q,a5,a6),
所以交点lm, a4q, pa6三点共线，但交点a4q, pa6连线为n , 故l, m, n 三线共点。

P60, 透视表达形式不太好, 没有体现透视中心. 透视轴可由对应元素体现. 我想, (a,b,c,d)(A,B,C,D), (a,b,c,d)(A,B,C,D), 比较好

题五7图
P
S
B
Q
R
A
C
B′
C′
A′
7、 如图, 若△ABC的边分BC、CA、AB分别过共线3点P、Q、R, 顶点B、C各在一定直线上.
求证, 顶点A也在一定直线上.
证明：取动点A′、B′、C′如图, B′C′、C′A′、A′B′分别过共线P、Q、R. 顶点B、C所在定直线交点为S.
针对△ABC与 △A′B′C′利用Desargues定理知,
BB′、CC′、AA′共点. 故AA′也过S.
A′在定直线AS上. 证毕.

8、设(AB,CD)= -1, O为CD的中点, 则OC2=OA·OB.
证明：O为CD中点, 有OD= -OC, 由(AB,CD)= -1, 得=-1 即
AC·BD+AD·BC=0
把所有线段都以O点做原点来表达
(OC-OA)(OD-OB)+ (OD-OA)(OC-OB)=0,
去括号，移项，分解因子，得
2(OA·OB+OC·OD)=(OA+OB)(OC+OD), 2(OA·OB- OC2)=(OA+OB)·0,
∴ OA·OB-OC2=0 即 OC2=OA·OB

9、 试证明, (AB,CD)(AB,EF)=(AB,CF)(AB,ED).
证明: (AB,CD)(AB,EF)= = = (AB,CF)(AB,ED).
C
10. (蝴蝶定理)过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF, 连结EF, CD交AB于G, H. 求证：GO=OH.
A
B
O
D
F
G
H

E

证明: 因为等弧上的圆周角相等, 因此, E(AF,CB)= D(AF,CB).
因此 (AG,OB)=(AO,HB).

Þ GO =OH.

11