第章数的开方教案.doc

第章数的开方教案
第11章 数的开方
课程内容标准
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示．
2.了解平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会用平方、立方的运算求某些数的平方根与立方根，会用计算器求一个非负数的算术平方根与任意一个数的立方根．.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．
4.能估计无理数的大小，培养估算能力，会进行简单的实数运算．
单元教学分析
§11.1 平方根与立方根
1.注意与平方、立方运算的联系与转化；
2.注重对基本概念的理解与应用，熟悉必要的数学语言；
3.重视计算器的使用与对估算的教学，防止对学生提出繁难的数字计算要求；
4.注意把握好对已出现无理数的处理.
§11.2 实数与数轴
1.让学生感知无理数的存在，数系扩展的必要.
2.初步理解和接受实数与数轴上的点一一对应的思想.
3.理解和接受有理数范围内相关概念和运算法则的自然延伸.

11.1.1 平方根（1）
教学内容
教科书P.2——P.3的内容
教学目标：
1、理解平方根的概念；
2、认识平方与开平方的关系；
3、会用平方根的概念求某些数的平方根。
教学重点：平方根的概念和开平方运算。
教学难点：平方根的概念；利用平方根和平方的关系解题。
教学过程：
一、复习引入
1、我们将要学习的第12章叫：数的开方，那什么叫“数的开方”呢？我们已学过哪些数的运算?
(加、减、乘、除、乘方5种)
2、你能写出这些运算的符号吗？请举例说明。如一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算? (面积25平方米，运算是乘方运算)
3、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)
二、创设问题情境，解决问题
1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？这里该用哪种运算呢？
通常这类不易直接列算式计算的问题，我们常用方程解决：设边长为xcm，则有x2=25，显然应取x=5。这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25。
2.提出问题，探索解决问题的办法
(1)平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
问：有了这个规定以后，a是什么数? （让学生思考、交流后回答：a是非负数，即：a≥0）
(2)在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根、问：25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25? (因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根)
从上述解决问题过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗? (根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根)
三、范例
1、例1、求100的平方根
提问：1)你能仿照上述问题解决的方法，求出100的平方根吗? （让学生讨论、交流后回答）
(2)你能正确书写解题过程吗? （请一位同学口述，教师板书）
(3)l0和－l0用±10表示可以吗?
2、试一试（要求学生正确口述解答过程，与时纠正）
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3)的平方根是什么?
(4)0.81的平方根是什么? (5)－4有没有平方根?为什么?
3、通过点评，小结平方根的性质：只有非负数才有平方根。
4、请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答，然后交流小结（写在练习本上）
四、求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算与平方运算互为逆运算。
例2、将100开平方
分析：根据开平方的概念，“将100开平方”就是“求100的平方根”！你能解答吗？
五、课堂练习：
1、练习1 说出下列各数的平方根：1、64 2、0.25 3、
2、将下列数开平方：①16 ②0.64 ③
六、小结
1、什么叫平方根?
2、什么数才有平方根？为什么？
3、什么叫开平方？
七、作业
教学后记：

11.1.1 平方根（2）
教学内容
教科书P.3——P.4的内容
教学目标：
1、了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。
2、了解开方运算与乘方运算是逆运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根。
3、会利用开方运算求某些非负数的平方根。
教学重点：算术平方根概念和开平方运算。
教学难点：算术平方根意义与性质运用。
教学过程：
一、创设问题情境
1、什么是平方根？求出36，1.44，各数的平方根
2、我们知道：只有非负数才有平方根，那么：一个正数如果有平方根，那么有几个？它们之间的关系如何？
0的平方根有几个？是什么数？
二、算术平方根的概念与其应用
1、算术平方根概念。
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－。因此正数a平方根可以记作±，a称为被开方数。例如表示3的算术平方根，±表示3的平方根。
提问：(1)有了这个规定之后，a是什么数? 是什么数?
让学生讨论、交流，归纳得到结论：a是非负数；是非负数，即≥0（a≥0）。也就是说，当式子有意义时，它一定表示一个非负数，即a≥0时它有意义。例：有意义吗?
(2)算术平方根与平方根有什么联系和区别?
我们知道，求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根。例如100的算术平方根是＝10，100的平方根是±＝±l0。
2、范例
例1、将下列各数开平方：(1)49 (2)1.69
按照题(1)的方法，解决题(2)，让学生明确开方运算与平方运算是互为逆运算，能够利用这个互逆运算关系求出某些非负数的算术平方根，进而求出平方根。
问题：在例l，例2中，他们通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的，如果被开方数比较复杂，如，等，那么如何进行计算呢?
例2、用计算器求下列各数的算术平方根：1、529 2、1225 3、44.81
教学要点：(1)让学生动手操作，并交流计算结果，总结用计算器求一个非负数的算术平方根按健顺序、(2)阅读课本解题过程。
补例（视情况选用）例3、若3x－5有平方根，求x的取值范围。
例4、若某数的平方根a+2是和a－18，求a和这个数。
例5、已知y=++3，求x+y的值
例6、若+=0，求x、y的值。
三、 课堂练习：
四、小结
1、什么叫算术平方根?
2、算术平方根与平方根有什么联系和区别?
3、式子中a应该满足什么条件?
4、用计算器求一个非负数的算术平方根，其按键顺序如何?
五、作业
教学后记：

11.1.2 立方根
教学内容
教科书P.5——P.6的内容
教学目标：
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根、
2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。
3、会用计算器求立方根。
教学重点：立方根和开立方概念，求一个数的立方根。
教学难点：立方根性质与运用
教学过程：
一、创设问题情境，引入立方根概念
现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少?与“平方根”类似，让学生讨论和研究以下问题：
问题1 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题?
问题2 你能找一个数，使这个数的立方等于216吗?
问题3 从这里可以抽象出一个什么数学概念?
交流概括：P5立方根概念
二、试一试
让学生讨论以下问题
1、27的立方根是什么? 2、－27的立方根是什么? 3、0的立方根是什么?
让学生对以上问题逐一作答，教师作正确判断，并请同学自己也编三道求立方根的题目，并给出解答。
根据以上题目的答案，回答以下问题：
1、正数有几个立方根？ 2、0有几个立方根？ 3、负数有几个立方根? 4、从以上问题中你发现了什么?
(每一个数只有一个立方根)
三、立方根和开立方
1、立方根的性质：任何数(正数、负数或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个。
2、数a的立方根，记作，读作“三次根号a”。a称为被开方数，3称为根指数。例如x3=6，则x是6的立方根，即x=；而23＝8，则2是8的立方根，即＝2。
数a的平方根和立方根相同吗?
学生讨论后回答，教师归纳为：0的平方根和立方根都是0，不为0的数的平方根和立方根不同。
3、求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
四、例题
例1、求下列各数的立方根：(1)64 (2)－125 (3)－0.008
教学要求上可以借助立方运算来求立方根，2、可以用立方运算来检验开立方是否正确；3、按照第一小题的方法，要求学生解决题(2)和题(3)
让学生讨论、研究以下问题；
1、表示2的立方根，那么()3等于多少呢? 又等于多少呢?
2、表示a的立方根，那么()3等于多少呢? 又等于多少呢?
例2、用计算器求下列各数的立方根；
(1)1331 (2)-343 (3)9.263(精确到0.01)
教学要点：(1)指出用计算器求一个有理数的立方根，只需要按书写顺序按键。若被开方数为负数，“一”号的输入可以按(－) ，也可以按－ 、(2)对于第(2)小题，可引导学生用减号代替负号，或将被开方数加上括号试一试，看看是否计算出相同的结果、
五、 课堂练习：
六、小结
1、什么叫立方根?如何用根号表示一个数的立方根?
2、什么叫开立方?如何求一个数的立方根?举例说明、
3、()3等于什么? 等于什么?
4、正数，0，负数的立方根有何特点?
七、作业
教学后记：

11.2　　实数（1）
教学内容
教科书P.8——P.9的内容
教学目标：
1、了解实数的意义，能对实数进行分类。
2、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数。
3、会估计两个实数的大小。
教学重点：无理数与实数概念。
教学难点：理解无理数。
教学过程：
一、创设问题情境，导入实数的概念
问题l 用什么方法求？其结果如何?
问题2 你能利用平方关系验算所得结果吗?
问题3 验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题?
问题4 如果用计算机计算，结果如何呢?
让学生阅读P15页计算结果，并指出；在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说不是有理数．有兴趣的同学可以看一看第18页的阅读材料．
问题5 那么，是怎样的数呢?
1．回顾有理数的概念．
(1)有理数包括________和___
(2)请你随意写出三个分数，将它化成小数，看一看结果。
(3)由此你可以得到什么结论?
(任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数)
2．无理数的概念
与有理数进行比较，计算的结果是无限不循环小数，所以不是有理数。
提问：还有没有其他的数不是有理数?为什么?
无限不循环小数叫做无理数．例如、、、∏、都是无理数．
有理数与无理数统称为实数．
二、试一试
问题1 按照计算器显示的结果，你能想像出在数轴上的位置吗?
问题2 你能在数轴上找到表示的点吗?
请同学们准备两个边长为1的正方形纸片，分别沿它的对角线剪开，得到四个什么三角形?
如果把四个等腰直角形拼成一个大的正方形，其面积为多少?其边长为多少?
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是．利用这个事实，我们容易画出表示的点，如图所示．
三、反思提高
问题1 如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?
问题2 如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?
让学生充分思考交流后，引导学生归结为：如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满。
数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数(有理数或无理数)也都可以用数轴上的点来表示，即实数与数轴上的点一一对应。
四、范例
例1．试估计＋与∏的大小关系。说明：正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行。
提问：若将本题改为：试估计－（＋）与－∏的大小关系，如何解答?
让学生动手解答，并请一位同学板演，教师讲评．
五、课堂练习：
六、小结
1．什么叫做无理数?实数?
2．有理数和数轴上的点一一对应吗?为什么?无理数呢?实数呢？
七、作业
教学后记：

11.2 实数(2)
教学内容
教科书P.10——P.11的内容
教学目标：
1．了解有理敷的相反数和绝对值等概念、运算法则以与运算律在实数范围内仍然适用．
2．能利用运算法则进行简单四则运算．
教学重点：实数的运算与大小比较。
教学难点：实数的大小比较与运算技巧。
教学过程：
一、创设问题情境，导入新知
1．复习提问
(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律．
(3)平方差公式?完全平方公式?
(4)有理数a的相反数是什么?不为0的数a的倒数是什么?有理数a的绝对值等于什么?
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较，运算法则与运算律仍然适用。
二、范例
例1．计算：－｜2－3｜(结果精确到0.01)
分析：对于实数的运算，通常可以取它们的近似值来进行。提问：用什么手段取它们的近似值?
例2．计算:
(＋1) －1)　　　　(+1)2
三、课堂练习： P11页练习l(2)、2，
让四位同学板演，教师根据学生的具体解答情况作出正确判断，并分析发生错误的原因．
四、小结
由学生完成如下小结：
1．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．
2．实数的运算法则 a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
a×b＝b×a (a×b)×c＝a×(b×c) (a＋b)×c＝ac＋bc
五、作业：P15页复习题2
教学后记：

第6课时 小结与复习
教学内容
教科书P.14——P.16的内容
教学目标：
1、进一步巩固实数的开方的有关概念。
2、进一步巩固实数的运算法则和运算定律。
3．进一步巩固用估算方法来比较两数的大小，利用结算方法求无理数的范围。
教学重难：本章概念的理解与灵活运用知识解题。
教学过程：
一、复习数的开方的有关概念和开方运算
让学生阅读数的开方的相关内容并回答以下问题：
1．什么叫平方根、算术平方根、立方根?
2．开方运算和乘方运算有什么联系?举例说明．
练习：
2．用计算器求下列各式的值：
－
3．一个圆柱的体积是10m3，且底面圆的直径与圆柱的高相等，求这个圆柱的底面半径(∏取3.14，结果保留2个有效数字)。
二、复习估算法
问题l：你在生活中使用过估算的方法吗?举例说明。
问题2：你能比较下列各组里两个实数的大小吗?
（1）－∏，－3.1415926　　（2）,5
问题3：你能计算：∏＋－1－2(结果精确到0.01)吗?
三、复习实数的有关概念
问题l：什么叫做无理数?什么叫做实数?
(无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数)
问题2：实数可以怎样分类?
1．按正负数分类，实数可以分为正实数、负实数、0；
2．按有理数、无理数分类。
问题3：你能在数轴上找到表示的点吗?
问题4：无理数与数轴上的点一一对应吗?
问题5：有理数与数轴上的点一一对应吗?
问题6：实数与数轴上的点一一对应吗?
练习：P22页复习题5、6。
五、知识结构图
让学生表述自己对本章学习内容的理解，通过对本章内容归纳总结，引导学生建立知识结构图：
六、作业
P15复习题
教学后记：

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