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专题二 初速为零的匀变速运动的比例式
设t =0开始计时，以T为时间单位。则
（1）1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…… = 1∶2∶3∶……
可由，直接导出
（2）1T内、2T内、3T内……位移之比s1∶s2∶s3∶……= 12∶22∶32∶……
可由直接导出
（3）第一个T内，第二个T内，第三个T内……位移之比，sI∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1）
推证：由位移公式得

可见，sI∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1） 即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等时间内位移的比等于连续奇数的比.
如一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，达顶端时速度为零，历时3s，位移为9 m，求其第1 s内的位移.
分析：反过来看，物体初速为零，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5，可知，以
某初速上滑时第1 s内的位移为总位移的，即位移为5 m.
以上例子还可求出中间时刻的瞬时速度，即整个过程的平均速度，也可求运动的加速度（取后一段研究），负号表示a与的方向相反. 当然还可求出初速度，由得

（4）通过连续相同的位移所用时间之比
……=……
推证：由知通过第二段相同位移所用时间
同理

则……=……

例1、一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m／s，试求（1）第4 s末的速度；（2）运动后7 s内的位移；（3）第3 s内的位移
分析：物体的初速度v0=0，且加速度恒定，可用推论求解.
解：（1）因为所以，即∝t
故
第4s末的速度
（2）前5 s的位移

由于s ∝t 2
所以
故7 s内的位移

（3）利用sI∶sⅢ= 1∶5知
第3s内的位移sⅢ=5sI=5×0.6 m=3 m

例2、一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s内的位移为s1 ，最后3s内的位移为s2，已知s2－s1=6 m；s1∶s2=3∶7，求斜面的总长.
分析：由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.
解：由题意知
解得s1=4.5 m s2=10.5 m
由于连续相等时间内位移的比为l∶3∶5∶……∶（2n－1）
故sn=（2n－1）sl
可知10.5 = （2n－1）4.5
解得n =
又因为s总 = n2s1
得斜面总长s总 = ×4.5=12.5 m
评注：切忌认为物体沿斜面运动了6 s，本题中前3 s的后一段时间与后3s的前一段时间是重合的。

例3、一列车由等长的车厢连接而成. 车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通过他的时间为2s，则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少?
分析：此题若以车为研究对象，由于车不能简化为质点，不便分析，故取车为参考系，把车的运动转化为人做匀加速直线运动。
解：据通过连续相等的位移所用时间之比为
……得

所以所求时间△t=4 s
另解：一般解法如下：
设每节车厢长为s，加速度为a，则人通过第一节车厢的时间
则人通过前4节车厢的时间为
人通过前16节车厢的时间为
故所求时间。
评注：运动学题目的解法多种多样，但总有一些解法比较简单，希望在掌握基本解法的基础上多考虑一些不同的解题方法。
练习：
1.2009年3月29日，中国女子冰壶队首次夺得世界冠军，如图1－2－7所示，一冰壶以速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(　　)
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶ D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
2．一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零．若设斜面全长L，滑块通过最初L所需时间为t，则滑块从斜面底端到顶端所用时间为(　　)
A.t B.t C.t D．2t
3．一辆车由静止开始作匀变速直线运动，在第8 s末开始刹车，经4 s停下来，汽车刹车过程也是匀变速直线运动，那么前后两段加速度的大小之比a1：a2和位移之比x1 ׃ x2分别是( )
A、a1：a2=1：4 ，x1 ׃ x2=1：4 B、a1：a2=1：2，x1 ׃ x2=1：4
C、a1：a2=1：2 ，x1 ׃ x2=2：1 D、a1：a2=4：1 ，x1 ׃ x2=2：1
4．骑自行车的人沿着直线从静止开始运动，运动后，在第1 s、2 s、3 s、4 s内，通过的路程分别为1 m、2 m、3 m、4 m，有关其运动的描述正确的是
A．4 s内的平均速度是2.5 m/s B．在第3、4 s内平均速度是3.5 m/s
C．第3 s末的瞬时速度一定是3 m/s D．该运动一定是匀加速直线运动
5．一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2 m，那么它在第三段时间内的位移是(　　)
A．1.2 m　　　　　　　　 B．3.6 m
C．6.0 m D．10.8 m
6.一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是1 s、2 s、3 s，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是(　　)
A．1∶22∶32,1∶2∶3 B．1∶23∶33,1∶22∶32
C．1∶2∶3,1∶1∶1 D．1∶3∶5,1∶2∶3

7.物体作初速度为零的匀加速直线运动，若将全程时间分成1 : 3两段，则在这两段时间内通过的位移之比和平均速度之比分别应为（ ）
A．1 : 7，1 : 3 B．1 : 9，1 : 5
C．1 : 15，1 : 7 D．1 : 15，1 : 5
8.如图所示，光滑斜面AE被分成四个相等的部分，一物体由A点从静止释放，下列结论中不正确的是　( 　)
A．物体到达各点的速率
B．物体到达各点所经历的时间:
C．物体从A到E的平均速度
D．物体通过每一部分时，其速度增量
9.一列火车由等长的车厢组成，车厢之间的间隙忽略不计。一个人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动开始计时，测量第一节车厢通过他所用的时间为2s.
求：(1)10s内总共有多少节车厢通过他的面前？
(2)第4节车厢完全通过他用了多长时间？第5节车厢到第8节车厢完全通过他又用了多长时间？
(3)第1节车厢末端、第5节车厢末端通过他时，瞬时速度之比是多少？

10.如图，光滑斜面长为L=9m,小球从斜面底端A点以某一初速度上滑，3s后到达顶端B点速度恰好减为零。
求：小球刚滑上斜面后第1s内的位移

11.如一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，达顶端时速度为零，历时3s，位移为9 m，求其第1 s内的位移.

12.从斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍下照片，如图所示，测得sAB=15cm，sBC=20cm，试求：
（1）小球的加速度
（2）拍摄时B球的速度vB=？
（3）拍摄时sCD=？