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两个计数原理
一 两个计数原理
1.分类计数原理：做一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
例 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有 种
练习 一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有___种.

2.分步计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
例1 一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法.

例2一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__种.

练习1从分别写有0,1，2，3，…，9十张数字的卡片中，抽出两张，数字和为奇数的卡片共有___种不同的抽法。数字和为偶数的卡片共有___种不同的抽法.

练习2 从，，，这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有___个，其中不同的偶函数共有____个.18,6

3两个原理的综合应用
例1 如图10-1-2所示，从A地到B地有3条不同的道路,从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.
(1)从A地到C地共有多少种不同的走法？（14）
(2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法？（196）
(3)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种走法？（182）
(4)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种走法？（122）

例2如下图的街道上，从A到B不走回头路，则有_____不同的走法.（15）

例3某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花_____元钱.（2100）

练习1如图，从有　　　　种不同走法． （6）

练习2在3000到8000之间有_____个无重复数字的奇数.（1232个）
分两类；一类是以3、5、7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有3种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数位有8×7种方法，所以共有3×4×8×7=672个.
另一类是首位是4或6的四位奇数，也可以3步完成，共有2×5×8×7=560个.
由分类计数原理得共有672+560=1232个.
练习3有一角、二角、五角人民币各一张,一元人民币3张,五元人民币2张,一百元人民币2张,由这些人民币可组成_____种不同的非零币值.（287）

练习4 用0，1，2，3，4，5可以组成___个无重复数字且比2000大的偶数（120）.

二 涂色问题
例1如图：某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有________种（180）

例2如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求邻
的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　）A

A．72种 B．48种 C．24种 D．12种

练习1如图所示,用五种不同的颜色,给图中标有①，②，③，④的各个部分涂色，每部分只能涂一种颜色，且相邻部分要涂不同色，那么不同涂色的方法种数为 _____.（240）

练习2用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有___种不同的涂色方法.（260）

练习3将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则不同的涂色方法有_____种. （72）

三 模型法（投信法）

（1）可重复问题
例1  有5名同学报名参加4个课外活动小组，若每人限报1个，共有____种不同的报名方法.

例2 有5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有_____种可能.

例1将三封信投入4个邮箱，不同的投法有　　　　种.

例2有 3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有_____种不同的报名方案.

例3有数学、物理、文学3个课外活动小组,6个同学报名,每人限报一组,一共有___种报名的方法.

（2）无重复问题
例1把4张不同的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有__种.

练习1 五个工程队承建某个工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有___种.（96）

练习2 从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4中蔬菜中选3中，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法有___种.（18）

四 间接法和排除法
例1已知集合以集合， 则以集合为定义域，以集合为值域能构成_____个不同函数.（14）

例2从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值.（17）

练习1 用数字，组成四位数，且数字，至少都出现一次，这样的四位数共有____个.（14）

练习2用，，，十个数字，可以组成有重复数字的三位数个数为____.（252）