平面向量的基本概念.pdf

平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念1.1.向量的概念：向量的概念：我们把既有大小大小又有方向方向的量叫向量。2.2.数量的概念：数量的概念：只有大小只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3.有向线段有向线段：带有方向有方向的线段线段叫做有向线段。4.有向线段的三要素：有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别；有向线段与向量的区别；（1 1）相同点：）相同点：都有大小和方向（2 2）不同点）不同点：有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6.6.向量的表示方法：向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；7.7.向量的模：向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的模模，记作|AB|.8.8.零向量、单位向量概念零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量零向量，记为：0 0。长度为 1 的向量称为单位向量单位向量。9.9.平行向量定义平行向量定义：方向相同或或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0 0与任一向量平行.即：0 0 。说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作.10.10.相等向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量相等向量.A(起点)B（终点）a说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有 向线段的起点无关.11.11.共线向量与平行向量关系：共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。（2）共线向量是可以相互平行的。例例 1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量 （4）零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。例例 2.2.下列命题正确的是（）A.与共线，与共线，则与c c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选 C.BAOCDEF例例 3.3.如右图所示，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 相等的向量。OCOBOA,解：按照向量相等的定义可知：DOCBOA OBDCEO OCABEDFO 向量的加法运算及其几何意义向量的加法运算及其几何意义向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾首尾相接，从头指尾”）3.三角形法则的来由三角形法则的来由如图，已知向量 a a、.在平面内任取一点A，作ABa a，BC，则向量AC叫做 a a 与的和，记作a a，即 a aACBCAB，规定：a a +0-=0-=0 0 +a a4.向量加法的向量加法的字母公式：字母公式：ABBCAC5.平行四边形法则平行四边形法则图 1 如图 1,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的对角线就是 aOC与 b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则平行四边形法则.6.平行四边形法则与三角形法则的区别：平行四边形法则与三角形法则的区别：（1）平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点和两个分向量的起点是同一起点。ABCa+ba+baabbaba+ba（2）三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7.7.一般结论一般结论当 a a,b b 不共线时,|a a+b b|b|且 a 与 b 同向，则 ab D.对于任意向量 a、b,必有|a+b|a|+|b|平面向量的加法运算平面向量的加法运算1、用三角形法则和平行四边形法则分别画出 ba2、下列命题中正确的是()A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若a a，b b满足|a a|b b|且a a与b b同向，则a ab b D.对于任意向量a a、b b,必有|a a+b b|a a|+|b b|3、已知正方形的边长为 1，=a a，=b b，=c c,则|a a+b b+c c|等于()ABBCACA.0 B.3 C.D.2224、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是arbrA、与为平行向量 B、与为模相等的向量 arbrarbrC、与为共线向量 D、与为相等的向量arbrarbr5、在四边形中，若，则四边形的形状一定是()ABCDACABADuuu ruuu ruuu rABCD(A)平行四边形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形6、已知正方形的边长为 1，则等于()ABCDAB uuu raBC uuu rbAC uuu rcabc (A)0 (B)3 (C)(D)22 27、如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）ab(A)(B)(C)(D)ab1a b=22ababbaba