平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目).pdf

平行线分线段成比例平行线分线段成比例知识梳理知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论平行线分线段成比例定理及其推论1.1.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果，则，.1l 2l 3lBCEFACDFABDEACDFABACDEDFl3l2l1FEDCBA2.平行线分线段成比例定理的推论：平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则DEBCADAEDEABACBCABCDEEDCBA3.平行的判定定理：平行的判定定理：如上图，如果有，那么。BCDEACAEABADDEBC专题讲解专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例例 1】如图，且,若，求的长DEBCDBAE510ABAC，AEEDCBA【例例 2】如图，已知，若，求证：./ABEFCDABaCDbEFc111cab.FEDCBA【巩固巩固】如图，垂足分别为、，和ABBDCDBDBDAC相交于点，垂足为.证明：.BDEEFBDF111ABCDEFFEDCBA【巩固巩固】如图，找出、之间的关系，并证明你的结论.ABDSBEDSBCDSFEDCBA【例例 3】如图，在梯形中，过对角线交点作 ABCDABCD129ABCD，O交于，求的长。EFCDADBC，EF，EFOFEDCBA【巩固巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形中，分ABCDADBCADaBCbEF，别是的中点，交于，交于求的长。ADBC，AFBEPCEDFQPQ.QPFEDCBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例例 4】（2012 年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在中，是的中点，是上一点，且，ABCMACEAB14AEAB连接并延长，交的延长线于，则_.EMBCDBCCD（2）如图（2），已知中，与相交于，则ABC:1:3AE EB:2:1BD DC ADCEF 的值为（）EFAFFCFDA.B.1 C.D.25232(1)MEDCBA(2)FEDCBA【例例 5】（2011 年河北省中考试题）如图，在中，为边的中点，为ABCDBCE边上的任意一点，交于点.ACBEADO（1）当时，求的值；1A2AECAOAD（2）当时，求的值；1 1A3 4AEC、AOAD（3）试猜想时的值，并证明你的猜想.1A1AECnAOAD【例例 6】（2013 年湖北恩施中考题）如图，是的中线，点在上，ADABCEADF是延长线与的交点.BEAC（1）如果是的中点，求证：；EAD12AFFC（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、EAD12AFAEFCEDEADEAEDCBAO.不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.DFEDCBA【巩固巩固】（天津市竞赛题）如图，已知中，是边上的中线，是上的一点，ABCADBCEAD且，延长交于。求证：。BEACBEACFAFEFFEDCBA【例例 7】（宁德市中考题）如图，中，为边的中点，延长至，ABCDBCADE延长交的延长线于。若，求证:。ABCEP2ADDE3APABPEDCBA【巩固巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，中，若分ABCBCa11DE，别是的中点，则；ABAC，1112D Ea若分别是的中点，则；22DE、11D BE C、22132 24aD Eaa若分别是的中点，则；33DE、22D BE C、331 372 48D EaaaEnDnE3D3E2D2E1D1CBA.若分别是的中点，则_.nnDE、-1-1nnD BE C、nnD E 专题三、利用平行线转化比例【例例 8】如图，在四边形中，与相交于点，直线 平行于，且ABCDACBDOlBD与、及的延长线分别相交于点、和.ABDCBCADACMNRSP求证：PM PNPR PSlSRPNMODCBA【巩固巩固】已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，ABCDEFBDEF的延长线交于求证：ACEFGEGGFGFECDBA.【例例 9】已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对PABCMNBPCP边、于、，求证：ACABDE1ADAEDCEBPNMEDCBA【例例 10】在中，底边上的两点、把三等分，是上的中ABCBCEFBCBMAC线，、分别交于、两点，求证：AEAFBMGH:5:3:2BG GH HM MHGFECBA【例例 11】如图，、为边上的两点，且满足，一条MNABCBCBMMNNC平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.ACABAMANDEF求证：.3EFDEFNMEDCBA【例例 12】已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连ABCD/ABCDMAB接、，且与交于点，与交于.ACBDMDMCACMDEDBMCF（1）求证：/EFCD（2）若,，求的长.ABaCDbEFFEMDCBA.【巩固巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形中，ABCDADBC,，若，且梯形与梯形的周长相396ADBCAB，4CD EFBCAEFDEBCF等，求的长。EFFEDCBA【例例 13】（山东省竞赛题如图，的对角线相交于点，在的延ABCDYOAB长线上任取一点，连接交于点，若,求的值。EOEBCFABaADcBEb，BFOFEDCBA【例例 14】已知等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且，过ABCEDBCACCECD、分别作的垂线，交斜边于，EDAEABLK求证：BLLKLKEDCBA过手练习过手练习.【习题习题 1】如已知，求证：.DEAB2OAOC OEADBCDOECBA【习题习题 2】在中，的延长线交的延长线于，求证：ABCBDCEDEBCP.AD BPAE CP【习题习题 3】如图，在的边上取一点，在取一点，使，ABCABDACEADAE直线和的延长线相交于，求证：DEBCPBPBDCPCEPEDCBA专题讲解专题讲解1选择题（1）如图 5-27，ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，下列条件中，能判定 DEBC 的是（）图 5-27ABABAEACADDBECAEADCDACAEABADABAEACBDPEDCBA.（2）如图 5-28，与交于点 P，PAa，ABb，BCc，PDd，DEe，EFf，321/lll4l5l则 bf（）图 5-28AabBbdCae Dce（3）如图 5-29，ABC 中，则 OEOB（）21ACAEABAD图 5-29ABCD21314151（4）如图 5-30，已知 BNAM，NDMC，那么有（）图 5-30A BNMPNDAPDPDPCPBPACD以上答案都不对MCNDPBPA（5）如图 5-31，H 为ABCD 中 AD 边上一点，且 AHDH，AC 和 BH 交于点 K，则 AKKC 等于（21）.图 5-31A12B11 C13D232填空题（1）如图 5-32，梯形 ABCD 中，ADBC，延长两腰交于点 E，若 AD2，BC6，AB4，则_，_；ECEDDCDE图 5-32（2）如图 5-33，梯形 ABCD 中，DCAB，DC4，AB7，且 MNPQAB，DMMPPA，则MN_，PQ_；图 5-33（3）如图 5-34，梯形 ABCD 中，ABCD，M 为 AB 中点，分别连结 AC、BD、MD、MC，且 AC与 MD 交于 E，BD 与 MC 交于 F，则 EF 与 AB 的位置关系是_；.3如图 5-35，ABC 中，M 为 AC 的中点，E 为 AB 上一点，且，连结 EM 并延长，交ABAE41BC 的延长线于 D，求证：BC2CD4如图 5-36，在ABC 中，EFCD，DEBC，求证：DBADFDAF5如图 5-37，ABC 中，AFFD15，BDDC，求：AEEC.6如图 5-38，M 为ABCD 的边 BC 的中点，F 为 DC 边上的点，BF 交 AM 于 N，交 AC 于 E，且AN3MN，求 FCAB 的值7如图 5-39，已知 D 是ABC 中 AB 边上一点，DEBC 交 AC 于 E，连结 CD，过 E 作 EFCD交 AB 于 F，求证：AD 是 AF 和 AB 的比例中项8如图 5-40，已知ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，F 为 BC 中点，过 F 作 BC 垂线交 AB 于E，BD6cm，DC4cm，AB8cm，求 AE、BE 的长.9如图 5-41，已知ABC 中，ACB90，13，BC12cm，FEBC 于 E，BFCSAFCS求 EB 的长10如图 5-42，已知：ABCD 对角线交于 O，OEBC 于 E，交 AB 的延长线于 F，若ABa，BCb，BFc，求 BE 的长参考答案参考答案1（1）A（2）D（3）A（4）B（5）C.2（1），（2）5，6（3）平行31213提示：过点 C 作 CNDE 交 AB 于 N4略511067略8，93cm32cm34cm32010cabc2