1、曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度从前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不均域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过某匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要对曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲面积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的中心积分的概念，给出计
2、算方法，这就是本章的中心内容，此外还要介绍内容，此外还要介绍Green公式、公式、Gauss公式和公式和Stokes公式，这些公式揭示了存在于各种积分之公式，这些公式揭示了存在于各种积分之间的某种联系。间的某种联系。2023/5/241重点重点第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法Green公式、公式、Gauss 公式公式曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件难点难点第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算基本要求基本要求 正确理解曲线积分和曲面积分概念正确理解曲线积分和曲面积分概念熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法熟练掌握曲线积分与曲面积
3、分的计算方法2023/5/242掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、性质、计算方法上的异同性质、计算方法上的异同掌握第二型曲线积分与路径无关的条件掌握第二型曲线积分与路径无关的条件牢固掌握牢固掌握Green公式及其成立条件公式及其成立条件牢固掌握牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件公式及其成立条件2023/5/243第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分
4、 2023/5/244第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 2023/5/245对弧长的曲线积分及其计算对弧长的曲线积分及其计算一、问题的提出一、问题的提出实例实例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量分割分割求和求和近似值近似值取极限取极限精确值精确值2023/5/246二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义2023/5/247积分弧段积分弧段被积函数被积函数积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量2023/5/2482.存在条
5、件：存在条件：3.推广推广2023/5/249注意：注意：4.性质性质 2023/5/2410三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理2023/5/2411注意注意:特殊情形特殊情形2023/5/24123.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧2023/5/2413推广推广:一代、二换、三定限一代、二换、三定限代代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换换：换弧微元：换弧微元定限定限：定积分限，下限：定积分限，下限小参数，上限小参数，上限大参数大参数2023/5/2414例例1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧
6、解解:上点 O(0,0)2023/5/2415例例2 计算计算其中其中L为为在第二象限的部分在第二象限的部分解一解一将将L表示为表示为2023/5/2416解二解二将将L表示为表示为解三解三将将L表示为参数方程表示为参数方程2023/5/2417例例2解解2023/5/2418例例3解解2023/5/2419例例4解解例例52023/5/2420解解由对称性由对称性,知知注注 关于对弧长的曲线积分的对称性关于对弧长的曲线积分的对称性若若 L 关于关于 y 轴对称轴对称2023/5/2421其中其中L1 是是L 的关于的关于 y 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段若若L关于关于 x 轴对称轴对称
7、其中其中L2 是是L 的关于的关于x 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段2023/5/2422若若 L 关于关于 原点原点 对称对称其中其中 L3 是是 L 的对称的部分弧段的对称的部分弧段若若 L 关于直线关于直线 y=x 对称对称与重积分的对称性十分类似与重积分的对称性十分类似2023/5/2423四、几何与物理意义四、几何与物理意义2023/5/24242023/5/2425例例2.计算半径为 R,中心角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度=1).解解:建立坐标系如图,则 2023/5/2426五、小结五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？2023/5/2427思考题解答思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.2023/5/2428练习题练习题2023/5/24292023/5/2430练习题答案练习题答案2023/5/2431
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