北师大七年级下册数学第四章全等三角形判定一(提高).doc

全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（提高）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定2——“角边角”
全等三角形判定2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

要点三、全等三角形判定3——“角角边”
1.全等三角形判定3——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点四、如何选择三角形证全等
1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.

【答案与解析】
证明：在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SSS）
∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）.
【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA和△CAE，然后证这两个三角形全等.
举一反三：
【变式】（2014秋•双峰县校级期中）如图，已知AB=DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，应添加条件是　 　．

【答案】ACDB.
类型二、全等三角形的判定2——“角边角”
2、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.

【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF
【答案与解析】
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C
∵BF平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠CBF
∵∠ABC＝2∠ADG
∴∠CBF＝∠ADG
在△DAE与△BCF中

∴△DAE≌△BCF（ASA）
∴DE＝BF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.

【答案】
证明：∵MQ和NR是△MPN的高，
∴∠MQN＝∠MRN＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4
∴∠1＝∠2
在△MPQ和△NHQ中

∴△MPQ≌△NHQ（ASA）
∴PM＝HN
类型三、全等三角形的判定3——“角角边”
3、（2016•黄陂区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点 D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．

【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB．
【答案与解析】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS等．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

4、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

【思路点拨】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．
【答案与解析】
解：图2，AF＋BF＝2CE仍成立，
证明：过B作BH⊥CE于点H，
∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°
∴∠CBH＝∠ACE
在△ACE与△CBH中，

∴△ACE≌△CBH．（AAS）
∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，
∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．

【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.
举一反三：
【变式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.

窗体底端
【答案】
图2
A
D
B
C
E
M
N
F
解：图2成立；
证明图2：
过点作
则
在△AMD和△DNB中，

∴△AMD≌△DNB（AAS）
∴DM＝DN
∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，
∴∠ MDE＝∠NDF
在△DME与△DNF中，

∴△DME≌△DNF（ASA）
∴
∴
可知，
∴
类型四、全等三角形判定的实际应用　
5、（2015春•龙岗区期末）小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

【思路点拨】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．
【答案与解析】
　解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
　　∴∠DCP=∠APB=54°，
　　在△CPD和△PAB中
　　∵，
　　∴△CPD≌△PAB（ASA），
　　∴DP=AB，
　　∵DB=36，PB=10，
　　∴AB=36﹣10=26（m），
　　答：楼高AB是26米．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2014秋•西秀区校级期末）如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定（　　）

　A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE
　C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对
2. 如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（ ）
A.△BAC≌FED B. △BDA≌FCE C. △DEC≌CAD D. △BAC≌FCE

3. 如图，AB＝BD，∠1＝∠2，添加一个条件可使△ABC≌△DBE，则这个条件不可能是（ ）
A.AE＝EC B.∠D＝∠A C.BE＝BC D.∠1＝∠DEA

4. 下列判断中错误的是（ ）
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
5. △ABC和△中, 条件 ①AB ＝, ②BC ＝, ③ AC＝, ④ ∠A ＝ ∠, ⑤ ∠B ＝ ∠, ⑥ ∠C ＝ ∠, 则下列各组条件中, 不能保证△ABC≌△的是( )
A.①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ②⑤⑥
6．如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（ ）
A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC

二、填空题
7. 已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，判定定理为AAS，需要添加条件______；或添加条件______，证明全等的理由是ASA.

8.（2014秋•白云区期末）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，若直接推得△ABD≌△ACD，则其根据是__________.

9.（2016•滨湖区一模）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件　 　，使△ABC≌△DEF．

10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.

11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是______．

12. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.

三、解答题
13．（2016春•会宁县期中）已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．
求证：△ADC≌△CEB．

14. 已知：如图，中，，于，于，与相交于点．求证：.

15.（2014秋•杭州期末）如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点.求证：AD＝AB＋DC.

【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B．
2. 【答案】D；
3. 【答案】A；
【解析】D选项可证得∠D＝∠A，从而用ASA证全等.
4. 【答案】B；
【解析】C选项和D选项都可以由SSS定理证全等.
5. 【答案】C；
【解析】C选项是两边及一边的对角对应相等，不能保证全等.
6. 【答案】C；
【解析】可证∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.
二、填空题
7. 【答案】∠2＝∠1；∠E＝∠F.
8. 【答案】AAS；
9. 【答案】∠A=∠D或∠ACB=∠F；
【解析】解：可添加条件为∠A=∠D或∠ACB=∠F．
理由如下：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF．
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故答案是：∠A=∠D或∠ACB=∠F．
10.【答案】6；
【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.
11．【答案】3；
【解析】由AAS证△ABF≌△CBE，EF＝FB＋BE＝CE＋AF＝2＋1＝3.
12.【答案】66°；
【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝，所以∠DCB＝
∠ABC＝25°＋41°＝66°
三、解答题
13.【解析】
证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
14.【解析】
证明： ∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
在和中

∴≌ （AAS）
∴
15.【解析】
证明：延长DE交AB的延长线于F
∴∠CDE＝∠F, ∠CDA＋∠BAD＝180º
∵DE平分∠CDA,AE平分∠DAB
∴∠CDE＝∠ADE＝∠CDA,
∠DAE＝∠EAF＝∠BAD
∴∠ADE＝∠F,∠EDA＋∠DAE＝90º
∴∠AED＝∠AEF＝90º
在△ADE与△AFE中

∴△ADE≌△AFE （AAS）
∴DE＝EF,AD＝AF
在△DCE与△FBE中

∴△DCE≌△FBE （ASA）
∴DC＝BF
∴AD＝AB＋DC.