期权定价模型与数值方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第,10,章,期权定价模型与数值方法,10.1,期权基础概念,1,期权的定义,期权分为买入期权（,call option,）和卖出期权（,put option,）。,买入期权,:,又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。,卖出期权,:,又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同,。,2,期权的要素,期权的四个要素：行权价（,exercise price,或,striking price,）、到期日（,maturing data,）、标的资产（,underlying asset,）、期权费（,option premium,）。,对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务没有权利。,10.1.1,期权及其有关概念,3,期权的内在价值,买入期权在执行日的价值,C,T,为,C,T,=max(,S,T,E,0),式中,:,E,表示行权价；,S,T,表示标的资产的市场价。,卖出期权在执行日的价值,P,T,为,P,T,=max(,E,S,T,0),根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（,in the money,）,(,S,E,),、平价期权（,at the money,）,(,S,=,E,),和价外期权（,out of the money,）,(,S,Call=13.70%,买入期权,Put=6.35%,卖出期权,10.2.5,影响期权价格的因素分析,期权价格受到当前价格,S,、执行价格,E,、期权的期限,T,、股票价格方差率,2,及无风险利率,r,五个因素的影响。下面以欧式看涨期权为例来分析。期权对这五个因素的敏感程度称为期权的,Greeks,，其计算公式与计算函数如下。,1.,德尔塔（,Delta,）,期权,是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，,是期权价格相对于标的资产价格的偏导数,有,计算函数为,blsdelta.m,函数语法如下：,10.2.5,影响期权价格的因素分析,CallDelta,PutDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield),输入参数：,Price,：标的资产市场价格；,Strike,：执行价格；,Rate,：无风险利率；,Time,：距离到期时间；,Volatility,：标的资产价格波动率；,Yield,：（可选）资产连续贴现利率，默认为,0,。,输出参数：,CallDelta:,看涨期权的,；,PutDelta,：看跌期权的例,10.2,假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格,95,元,现价为,100,元,无股利支付,股价年化波动率为,50%,无风险利率为,10%,计算期权,。,代码如下,:,Price=60:1:100;%,标底资产价格,Strike=95;%,执行价格,Rate=0.1;%,无风险收益率（年化）,Time=(1:1:12)/12;%,剩余时间,Volatility=0.5;%,年化波动率,CallDelta,PutDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility),若要分析期权,与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的,Price,与,Time,计算不同的,三维关系，可以编写如下代码：,Price=60:1:100;%,标底资产价格,Strike=95;%,执行价格,Rate=0.1;%,无风险收益率（年化）,Time=(1:1:12)/12;%,剩余时间,Volatility=0.5;%,年化波动率,Price,Time=meshgrid(Price,Time);,Calldelta,Putdelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);,%mesh(Price,Time,Calldelta);,mesh(Price,Time,Putdelta);,xlabel(Stock Price);,ylabel(Time(year);,zlabel(Delta);,10.2.5,影响期权价格的因素分析,2.,西塔（,Theta,）,表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。,3.,维伽（,Vega,）,表示方差率对期权价格的影响。,4.,珞（,Rho,）,为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。,5.,伽玛（,Gamma,）,表示,与标的资产价格变动的关系。,10.2.5,影响期权价格的因素分析,10.3,B,S,公式隐含波动率计算,BlackScholes,期权定价公式，欧式期权理论价格的表达式：,式中：,隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格,BlackScholes,模型反推出来的波动率数值。由于期权定价,BS,模型给出了期权价格与五个基本参数之间的定量关系，只要将其中前,4,个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。,10.3.1,隐含波动率概念,10.3.2,隐含波动率计算方法,隐含波动率是把权证的价格代入,BS,模型中反算出来的，它反映了投资者对未来标的证券波动率的预期。,BlackScholes,期权定价公式中已知,S,t,(,标的资产市场价格,),、,X,(,执行价格,),、,r,(,无风险利率,),、,T,t,(,距离到期时间,),、看涨期权,c,t,或者看跌期权,p,t,根据,B,S,公式计算出与其相应的隐含波动率,yin,。,数学模型为,式中,:,求解方程,f,c,(,yin,)=0,f,p,(,yin,)=0,的根。,本质上是非线性方程,10.3.3,隐含波动率计算程序,利用,fsolve,函数计算隐含波动率，,fsolve,是,MATLAB,最主要内置的求解方程组的函数，具体,fsolve,的使用方法可以参看相关函数说明。,例,10.4,假设欧式股票期权，,3,个月后到期，执行价格,95,元，现价为,100,元，无股利支付，股价年化波动率为,50%,，无风险利率为,10%,，计算期权价格。,计算结果如下：,假设目前其期权交易价格为,Call=15.00,元，,Put=7.00,元，分别计算其相对应的隐含波动率。,Call,Put=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5),Call=13.6953 Put=6.3497,步骤,1,：建立方程函数。,看涨期权,隐含波动率方程的,M,文件,ImpliedVolatitityCallObj.M,，其语法如下：,f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice),程序代码如下,:,function f=ImpliedVolatitity,Call,Obj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice,),%ImpliedVolatitityCallObj,%code by ariszheng 2009-8-3,Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);,%,存在一个波动率使得下列等式成立,%fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0,f=Call-Callprice;,10.3.3,隐含波动率计算程序,看跌期权,隐含波动率方程的,M,文件为,ImpliedVolatitityPutObj.m,其语法如下,:,f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice),程序代码如下,:,function f=ImpliedVolatitity,Put,Obj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice,),%ImpliedVolatitityCallObj,%code by ariszheng 2009-8-3,%,根据参数，使用,blsprice,计算期权价格,Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);,%fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0,%,目标使得寻找,X,使得目标函数为,0,f=Put-Putprice;,10.3.3,隐含波动率计算程序,步骤,2,：,求解方程函数。,求解方程函数的,M,文件为,ImpliedVolatility.m,其语法如下：,Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),function Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),%ImpliedVolatility,%code by ariszheng 2009-8-3,Volatility0=1.0;%,优化算法初始迭代点,;,%CallPrice,对应的隐含波动率,Vc,Cfval=fsolve(Volatility)ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,CallPrice),Volatility0);,%CallPrice,对应的隐含波动率,Vp,Pfval=,fsolve,(Volatility)ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,PutPrice),Volatility0);,10.3.3,隐含波动率计算程序,步骤,3,：,函数求解。,M,文件,TestImpliedVolatility.M,代码如下：,%TestImpliedVolatility,%,市场价格,Price=100;,%,执行价格,Strike=95;,%,无风险利率,Rate=0.10;,%,时间（年）,Time=0.25;,CallPrice=15.0;%,看涨期权交易价格,PutPrice=7.0;%,看跌期权交易价格,%,调用,ImpliedVolatility,函数,Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),10.3.3,隐含波动率计算程序,隐含波动率与期权价格关系图,Price=100;,Strike=95;,Rate=0.10;,Time=1.0;,Volatility=0:0.1:2.0;,n=length(Volatility);,Call=zeros(n,1);,Put=zeros(n,1);,for i=1:n,Call(i),Put(i)=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility(i);,end,subplot(21,1),plot(Volatility,Call,-*);,legend(CallPrice),subplot(2,1,2),plot(Volatility,Put,-o);,legend(PutPrice),知识脉络图,期权定价理论,数值实现,期权定价函数,blsprice.m,影响期权价格因素的计算函数,blsdelta.m,blsgamma.m,blslambda.m,blsrho.m,blstheta.m,blsvega.m,隐含波动率计算,10.4,期权二叉树模型,二叉树期权定价模型是由,J.C.Cox,、,S.A.Ross,和,M.Rubinstein,于,1979,年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以应用。,10.4.1,二叉树模型的基本理论,二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔,t,，并假设在每一个时间间隔,t,内证券价格只有两种运动的可能：从开始的,S,上升到原来的,u,倍，即到达,Su,；下降到原来的,d,倍，即,Sd,。其中，,u,1,，,d,S,0,，则称为上涨期权；反之则称为下跌期权。,10.5.6,亚式期权蒙特卡罗模拟,用蒙特卡罗方法模拟算术平均亚式期权的定价，亚式期权是一种路径依赖期权，它的收益函数依赖于期权存续期内标的资产的平均价格。平均价格可分为算术平均和几何平均两种。欧式几何平均亚式期权可以得到解析表达式。,对于离散算术平均价格定义为,式中：,t,i,(,I,=1,2,N,),是离散时间样本点。,对于离散几何平均价格定义为,算术平均亚式看涨期权到期现金流为,