1、精心整理
函数对称性
一知识点精讲：
I函数图象本身的对称性（自身对称）
1、图象关于直线对称
证明：函数图象上的任一点（满足）关于直线的对称点为，
点仍在函数的图象上，从而函数的图象关于直线对称.
推论1：的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
证明：函数图象上的任一点（满足）关于点的对称点为，
点仍在函数的图象上，从而函数的图象关于点对称.
推论1、的图象关于点对称
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
II两个函数的图象对称性（相互对称）
1、与图象关于轴对称
2、与图象关于原点对
2、称函数
3、函数与图象关于轴对称
4、函数与其反函数图象关于直线对称
5.函数与图象关于直线对称
证明：函数图象上的任一点（满足）关于直线的对称点为，
点在函数的图象上；反之函数的图象上任一点关于直线的对称点也在函数图象上.从而函数与的图象关于直线对称.
推论1:函数与图象关于直线对称
推论2:函数与图象关于直线对称
推论3:函数与图象关于直线对称
6若函数的定义域为，则函数与的图象关于点对称.
证明：函数图象上的任一点（满足）关于点的对称点为，
点在函数的图象上；反之函数的图象上任一点关于点的对称点也在函数图象上.从而函数与的图象关于点对称.
二典例解析：
1、定义
3、在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则________。
解析：关于直线对称，，又是奇函数，
，故有，,
答案为：
2、已知函数满足，则图象关于__对称。
解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知图象关于对称
3、函数与函数的图象关于关于______对称。
解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于对称答案：
4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_______对称。
解析：这是一个函数的对称性，的图象关于y轴即对称答案：
5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于______对称。
解析：关于直线对称，是由向左平移一个单位得到
的，故的图象关y轴对称正确答案为
4、y轴
6、设的定义域为R，且对任意，有，则关于______对称，图象关于________对称，。
解析：令，则有关于直线，即关于对称，是由的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，关于对称。正确答案为，
7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为_______
解析：的图象关于直线对称，故五个实根，有两对关于直线对称，它们的和为，还有一个根就是。故这5个实根之和为15，正确答案为15
8、设函数的定义域为R，则下列命题中，
①若是偶函数，则图象关于y轴对称；
②若是偶函数，则图象关于直线对称；
③若，则函数图象关于直线对称；
④与图象关于直线对称，
其中正确命题序号为_______。
解析：①错关于直线对称，②对③错若，则函数图象关于直线对称；④对正确答案为②④
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