19年高考真题——理科数学(全国3卷).doc

2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（全国III卷）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．的展开式中的系数为（ ）
（A）12 （B）16 （C）20 （D）24
5．已知各项均为正数的等比数列的前4项为和为15，且，则（ ）
（A）16 （B）8 （C）4 （D）2
6．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
（A）， （B）， （C）， （D），
7．函数在的图象大致为（ ）

8．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（ ）
（A），且直线是相交直线
（B），且直线是相交直线
（C），且直线是异面直线 （D），且直线是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．双曲线的右焦点为，点在的一条渐进线上，是坐标原点，若，则的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
12．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在有且仅有3个极大值点；②在有且仅有2个极小值点；③在单调递增；④的取值范围是。其中所有正确结论的编号是（ ）
（A）①④ （B）②③ （C）①②③ （D）①③④
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知为单位向量，且，若，则 _______。
14．记为等差数列的前项和，，，则________。
15．设为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限。若为等腰三角形，则的坐标为___________。
16．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型。如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________。
三．解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：60分。
17．（本小题12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比。根据试验数据分别得到如下直方图。

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为。⑴求乙离子残留百分比直方图中的值；⑵分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。
18．（本小题12分）的内角的对边分别为，已知。
⑴求；⑵若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
19．（本小题12分）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，，
将其沿折起使得与重合，连结，如图2。⑴证明：图2中的四点共面，且平面平面；⑵求图2中的二面角的大小。
20．（本小题12分）已知函数。⑴讨论的单调性；⑵是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由。
21．（本小题12分）已知曲线：，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为。⑴证明：直线过定点；⑵若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧。⑴分别写出，，的极坐标方程；⑵曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标。
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）设，且。⑴求的最小值；⑵若成立，证明：或。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）解答
选填题 ADCAC DBBCA CD 13． ；14．4；15．；16．。
17．解：⑴由已知得，故，；
⑵甲离子残留百分比的平均值的估计值为，
乙离子残留百分比的平均值的估计值为。
18．解：⑴由题设及正弦定理得。因，故。
由，可得，故。因为，故，因此；
⑵由题设及⑴知。由正弦定理得。由于
为锐角三角形，故，由⑴知，所以，故，从而。因此，面积的取值范围是。
19．解：⑴由已知得，，所以，故确定一个平面，从而四点共面。由已知得，，故平面。又因为平面，所以平面平面；
⑵作，垂足为。因为平面，平面平面，所以平面。由已知，菱形的边长为2，
，可求得，。以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。则，，，，。设是平面的法向量，则，即，可取。又平面的法向量可取为，因此，所以面二面角的大小为。
20．解：⑴。令，得或。若，则当
时，；当时，。故在单调递增，在单调递减；若，在单调递增；若，则时，；当时，。故在单调递增，在单调递减；
⑵满足题设条件的存在。①当时，由⑴知，在单调递增，所以在 的最小值为，最大值为。此时满足题设条件当且仅当，，即，；②当时，由⑴知，在单调递减，所以在的最大值为，最小值为。此时满足题设条件当且仅当，，即，；
③当时，由⑴知，在的最小值为，最大值为或。若，，则，与矛盾；若，，则或或，与矛盾。综上，当且仅当，或，时，在的最小值为，最大值为1。
21．解：⑴设，，则。由于，故切线的斜率为，所以，整理得。设，同理可得。故直线的方程为。令得所以直线过定点；
⑵由⑴得直线的方程为。由，可得。于是，，，。设分别为点到直线的距离，则，。因此，四边形的面积
。设为线段的中点，则。由于，而，与向量平行，所以，解得或。当时，；当时，。因此，四边形的面积为3或。
22．解：⑴由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，。所以的极坐标方程为，的极坐标方程为
，的极坐标方程为；
⑵设，由题设及⑴知若，则，解得；若，则
，解得或；若，则，解得。综上，的极坐标为或或或。
23．解：⑴由题知，故，当且仅当时取等号。所以的最小值为；
⑵由于，故故由已知可得，当且仅当时取等号。所以
的最小值为。由题设知，解得或。
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