通信网性能分析基础答案(精华整理版).doc

通信网性能分析基础答案（苏）
第二章习题答案
2-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。
解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间内从状态k转移到k+1（k>=0）的概率为，为状态的出生率；
当有顾客服务完毕离去时，在时间内从状态k转移到k-1（k>=1）的概率为，为状态的死亡率；
在时间内系统发生跳转的概率为；
在时间内系统停留在状态的概率为；
故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。

2-3 对于一个概率分布，令 称为分布的母函数。 利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。
解：对于M/M/1

2-4 两个随机变量X,Y取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y，证明：Z的母函数为X,Y母函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。
证：设Z(!!!此处应为 X ???)的分布为：，Y的分布为：
由于
所以 g(Z)=g(X)g(Y)
对于两个独立的Poisson流，取任意一个固定的间隔T，根据Poisson过程性质，到达k个呼叫的概率分别为：
i=1,2 这两个分布独立
分布列的母函数分别为：

他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积
所以 合并流为参数的 Poisson过程。

2-7 求k+1阶爱尔兰（Erlang）分布的概率密度。
可以根据归纳法验证，的概率密度为 x>=0
证明：
利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求的分布，当X和Y相互独立时，且边缘密度函数分别为和，则。
阶Erlang分布是指个彼此独立的参数为的负指数分布的和。
用归纳法。
当时，需证2阶Erlang分布的概率密度为

令时成立，即
则当时，

第三章习题答案
3-1 证明：
证：

3-2 证明：（1）
（2）
（1）证：

（2）证：

3-3 在例3.3中，如果呼叫量分别增加10％，15％，20％，请计算呼损增加的幅度。

话务量
a=21.9
24.09
25.185
26.28
s=30
0.020
0.041
0.054
0.069
增加的幅度

103%
170%
245%

话务量
a=5.08
5.588
5.842
6.096
s=10
0.020
0.031
0.038
0.046
增加的幅度

55%
90%
130%

3-4 有大小a＝10erl的呼叫量，如果中继线按照顺序使用，请计算前5条中继线每条通过的呼叫量。
解：
第一条线通过的呼叫量：a1=a[1-B(1,a)]=10×[1-0.9090]=0.910erl
第二条线通过的呼叫量：a2=a[B(1,a)-B(2,a)]=10×[0.9090-0.8197]=0.893erl
第三条线通过的呼叫量：a3=a[B(2,a)-B(3,a)]=10×[0.8197-0.7321]=0.876erl
第四条线通过的呼叫量：a4=a[B(3,a)-B(4,a)]=10×[0.7321-0.6467]=0.854erl
第五条线通过的呼叫量：a5=a[B(4,a)-B(5,a)]=10×[0.6467-0.5640]=0.827erl

3-6 对M/M/s等待制系统，如果s>a，等待时间为w，对任意t>0。
请证明：。
证：s>a

，
交换次序，得：

3-12 考虑Erlang拒绝系统，或M/M/s（s）系统，a＝λ/μ。一个观察者随机观察系统并且等待到下一个呼叫到来。
请证明：到来的呼叫被拒绝的概率为：。
证：
随机观察系统，下一个到来的呼叫被拒绝的必要条件为系统在随机观察时处于状态s，其概率为B(s,a)。
其次，下一个到来的呼叫被拒绝必须在到达间隔T内，正在服务得s个呼叫没有离去，这个事件的概率为P。
T服从参数为λ的负指数分布，在T内没有呼叫离去的概率为：，
则：
最后，到来的呼叫被拒绝的概率为：
第四章习题答案
4.1 解：
现
令
迭代起点

总呼叫量
总呼损
4.4 解：

在AD上，溢出呼叫流的特征

利用Rapp方法：

故等效系统为：a＝10.811erl,而s＝11
查表得，在AD中继线为8时，B（11+8，10.811）< 0.01
4.5解：a＝10，s＝14
(1) 通过呼叫量
根据例4.3
方查
峰值因子
（2）根据Wilkinson定理
到达得呼叫量

4.7解：首先，在直达路由时
B（2，1）＝0.2 B(2,2)=0.4 B(2,3)=0.53
所以，在 a＝1，2，3erl时，网络平均呼损分别为0.2，0.4，0.53
在由迂回路由时，由于对称关系，假定边阻塞率为b，边上到达的呼叫量为A，则
A=a+2b(1-b).a
考虑方程：b=B(s,A)=B(2.A)
在a=1时，迭代求解为b=0.28
网络平均呼损

第五章习题答案
5.2.
证性质5.1(2)：对于有向图，每条边有两个端，它们和边的关系不同。是按端来计数，恰好将每条边计数一次。类似。所以有。

证性质5.6：首先，所以。
一定存在某个端，它的度为，则与该端关联的边构成一个大小为的割边集，所以。
考虑一个大小为的割边集，将每条边换成它的邻端，这是一个大小最多为的割端集，所以。
综上，。

5.4.
证明：考虑树。
某个端不妨设为，。考虑其余个端，如果悬挂点最多只有个，则：

但等式左边，矛盾。
所以中至少有个悬挂点。

5.6.

5.7
将第列加到第1列，再将第1列加回，得：

5.8.
用Kruskal算法：
依次选的边为：(3,6)，(1,3)，(6,7)，(1,2)，(5,6)，(1,4)

用破圈法：
依次去掉的边为：(2,7)，(4,5)，(2,3)

5.10.
（1）
用D算法：
v1 v2 v3 v4 v5 v6 置定端 距离 路由
0 1 0 1
9.2 1.1 3.5 3 1.1 1
9.2 3.5 2.9 5 2.9 3
9.2 3.5 8 4 3.5 1
9.2 8 6 8 5
9.2 2 9.2 1

（2）
用F算法：
，
，

v2到v4：v2到v1到v4，距离为4.8
v1到v5：v1到v3到v5，距离为2.9

（3）
，图的中心为v3/v5
，图的中点为v2

（4）
若端有权，则将端的权值除以2加到其各边的权上，再用F算法。