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弹性力学重点复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量MPa，MPa， MPa，则主应力150MPa，0MPa，。
8、已知一点处的应力分量， MPa，MPa， MPa，则主应力512 MPa，-312 MPa，-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，MPa，MPa， MPa，则主应力1052 MPa，-2052 MPa，-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1。
20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√）
2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（×）
3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（×）
4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（×）
5、如果某一问题中，，只存在平面应力分量，，，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。（√）
6、如果某一问题中，，只存在平面应变分量，，，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（√）
7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（×）
8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。×）
9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√）
10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√）
11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（×）
12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（×）
13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。（×）
14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√）
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ）

三、简答题
1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。

在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
2、简述弹性力学的研究方法。
答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？
答：弹性力学中正应力用表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。
答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有，，。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u和v
5、简述圣维南原理。
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。
答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。
7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。
（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。
（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。
（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。
（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。
（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。
（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。
（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。
8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？
答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。
9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？
每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。
10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？
答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。
11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移模式并说明理由：
（1），
（2），
答：（1）不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标x，y不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。
（2）不能采用。因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满足。
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1），，；
（2），，；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程；（2）在区域内的相容方程；（3）在边界上的应力边界条件；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量，，，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程

得

即

由x，y的任意性，得

由此解得，，，
3、已知应力分量，，，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量，，，代入平衡微分方程

可知，已知应力分量，，一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：

将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程：

将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1），，；
（2），，；

（3），，；
其中，A，B，C，D为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则，，（1分）。
5、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O

解：将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
，，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，，，，，；
下边，，，，，；
左边，，，，，；
右边，，，，，。
可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。
6、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O

解：将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
，，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，，，，，；
下边，，，，，；
左边，，，，，；
右边，，，，，。
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。
O
x
y
b
q
rg

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知

将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即
，
这两个方程要求
，
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

对应应力分量为

以上常数可以根据边界条件确定。
左边，，，，沿y方向无面力，所以有

右边，，，，沿y方向的面力为q，所以有

上边，，，，没有水平面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

将的表达式代入，并考虑到C=0，则有

而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
，
将的表达式代入，则有

由此可得
，，，，
应力分量为
, ,
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为，，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，，，，试导出相应的相容方程。
证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量，，应当满足平衡微分方程
（1分）
还应满足相容方程
（对于平面应力问题）
（对于平面应变问题）
并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为

这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为

根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得
，
同样，将第二个方程改写为
（1分）
可见也一定存在某一函数B（x，y），使得
，
由此得

因而又一定存在某一函数，使得
，
代入以上各式，得应力分量
，，
为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得

简写为

将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得

简写为

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。
O
x
y
a
rg

解：纯三次的应力函数为

相应的应力分量表达式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
上边，，，，没有水平面力，所以有

对上端面的任意x值都应成立，可见

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

对上端面的任意x值都应成立，可见

因此，应力分量可以简化为
，，
斜面，，，，没有面力，所以有

由第一个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

由第二个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求
（1分）
由此解得
（1分），
从而应力分量为
, ,
设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为。因此，所求在这部分边界上合成的主矢应为零，应当合成为反力。

可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为，试求应力分量。
r2g
r1g
a
y
x
O

解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与成正比（g是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与成正比。此外，每一部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，和的量纲是L-2MT-2，是量纲一的
量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是，，，四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。
其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设

相应的应力分量表达式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
左面，，，，作用有水平面力，所以有

对左面的任意y值都应成立，可见

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

对左面的任意y值都应成立，可见

因此，应力分量可以简化为
，，
斜面，，，，没有面力，所以有

由第一个方程，得

对斜面的任意y值都应成立，这就要求

由第二个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

由此解得
，
从而应力分量为

, ,
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