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第一章：基本概念
1.
若，称准确到n位小数，及其以前的非零数字称为准确数字。
各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。
2.
进制：，字长：，阶码：，可表示的总数：
3.计算机数字表达式误差来源
实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。
4. 数据误差影响的估计：
，小条件数。
解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。
5.算法的稳定性
若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。

第二章：解线性代数方程组的直接法
1.高斯消去法
步骤：消元过程与回代过程。
顺利进行的条件：系数矩阵A不为零；A是对称正定矩阵，A是严格对角占优矩阵。
2.列主元高斯消去法
失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。
解决：在消去过程的第K步，交换主元。
还有行主元法，全主元法。
3.三角分解法
杜立特尔分解即LU分解。
用于解方程；
用于求。
克罗特分解：，下三角阵和单位上三角阵的乘积。
将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。
对称正定矩阵的乔列斯基分解，，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解的平方根法。
改进平方根法：利用矩阵的分解。
4.舍入误差对解的影响
向量范数定义：
常用的向量范数：
矩阵的范数：
常用的矩阵范数：
矩阵范数与向量范数的相容性：
影响：，其中，k值大，病态问题。
第三章：插值法
1.定义
给定n+1个互不相同的点，xi及在xi处的函数值yi(i=0～n)，构造一个次数不超过n次的多项式：，使满足。取。称为插值多项式，为插值节点，为被插函数。
插值问题具有唯一性。
2.Lagrange插值多项式
表达式：

误差估计式：

3.Newton插值多项式
差商：
表达式：
误差表达式：
差商的性质：
1)差商与节点的次序无关；
2)K阶差商对应K阶导数；
3)
4)
5)

4.埃尔米特（带导数）插值多项式
1)Newton法，给定f及f(k)为数字；

2)Lagrange法，给定f及f(k)为表达式。

5.三次样条插值函数
分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间[xi-1,xi]上是三次多项式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上连续。
三次样条插值函数的导出：

第四章：函数最优逼近法
1.最优平方逼近
对于广义多项式：，其中线性无关。
要求：

若f(x)是表格函数，确定P(x)称为最小二乘拟合函数，当，P(x)为最小二乘多项式；若f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。

2.函数的内积，范数定义及其性质

内积的定义：

性质：
范数的定义：
范数的性质：
正规方程组或法方程组：

3.正交多项式
正交函数系的定义：
代入正规方程组的系数矩阵，则：
几个正交多项式举例：
1) 勒让德多项式

2) 拉盖尔多项式

3) 埃尔米特多项式

4) 切比雪夫多项式

四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。
正交多项式的性质：
1) 正交多项式线性无关，推论：与正交。
2) 在区间[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多项式gn(x)有n个不同的零点。
3) 设是最高次项系数为1的正交多项式，则：

4.最优一致逼近法
(1)切比雪夫多项式的性质
性质1：是[-1,1]上关于的正交多项式，；
性质2：；
性质3：是最高次项为的k次多项式，只含x的偶次项，只含x的奇次项；
性质4：有k个不同的零点，；
性质5：在[-1,1]上，，且在k+1个极值点处依次取得最大值1和-1；
性质6：设Pn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式，则：

(2)最优一致逼近法的定义
设函数f(x)在区间[a,b]连续，若n次多项式使达到最小，则称为在[a,b]上的最优一致逼近函数。
切比雪夫定理：n次多项式P(x)成为函数y=f(x)在区间[a,b]上最优一致逼近多项式的充要条件是误差在区间[a,b]上以正负或负正交替的符号依次取得的点（偏差点）的个数不少于n+2。
采用如下方程组进行求解：

(3)近似最优一致逼近多项式
思路：

使用T多项式性质6
若区间是[-1,1]，取xi(i=0～n)为Tn+1的零点，则～，以此构造插值多项式Pn(x)；
若区间是[a,b]，通过转换；
方法1：由～，构造Pn(t)，然后将代入Pn(t)，可得Pn(x)。
方法2：取，i=0～n；构造Pn(x)。
例：

(4)截断切比雪夫级数法
设f(x)在[-1,1]上连续，，其中；记；
应用切比雪夫定理及性质5，取。
(5)缩短幂级数法

方法1：
方法2：

第五章：数值微积分
第一节 牛顿柯特斯公式

一．数值算法
1.数值积分算法
对于复杂函数f(x)，考虑用其近似函数P(x)去逼近，用P(x)的积分值近似代替f(x)积分值。

2.插值型数值积分方法
对于拉格朗日插值多项式，
广义积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上部变号，则
，使
3.牛顿柯特斯公式
梯形公式：
辛普森公式：

二．复化求积公式
1. ，把[a,b]分成若干等长的小区间，在每个小区间用简单低次数值积分公式，在将其得到的结果相加。
2.复化梯形公式

3.复化辛普森公式

三．变步长的积分公式
1.先取一步长h进行计算，再取较小步长h*计算，若两次结果相差很大，则在取更小步长进行计算，依次进行，直到相邻两次计算结果相差很大，则取较小步长的结果为积分近似值。
2.变步长复化梯形公式

3.变步长复化辛普森公式

四．龙贝格积分法

第二节 待定系数法
1.代数精度定义
对于近似公式，如果f(x)是任意不超过m次的多项式，成立，而对于某个m+1多项式，，称代数精度为m次。
2.判定方法
近似式的代数精度为m次
对，近似式精确成立，，时不成立，。
梯形公式m=1，辛普森公式m=3。
3.Peano定理

第三节 高斯型积分公式
一．定义
节点个数一定，具有最高阶代数精度公式的插值型积分公式称为Guass型求积公式。
插值型积分公式定义：

定理：数值积分公式至少有n次代数精度近似式是插值型积分公式。
对于牛顿科特斯公式，若采用等距节点，n分别为奇数和偶数时，代数精度分别为n和n+1。

二．最高代数精度
定理：
So，给定n+1个节点，具有2n+1次代数精度的插值型数值积分公式称为Gauss型求积公式。
三．Gauss型积分公式的构造方法
方法1：
代数精度为2n+1，则时成立，可解出和。
方法2：
定理：代数精度是[a,b]上关于的正交多项式的零点(高斯点)，其中。
四．高斯型求积公式的误差

五．常用的高斯型求积公式
1.Gauss-Legendre求积公式 ，是的n+1个零点。
n=0

n=1

2.Gauss-Laguerre求积公式

3.Gauss-Hermite求积公式
4.Gauss-Chebyshev求积公式

第四节 数值微分
，h大，不精确，h小，由于小除数引入大误差。
近似函数法

取等节距节点，
(1)一阶导数，n=1，两个节点

(2)一阶导数，n=2，三个节点

3)二阶导数，n=2，三个节点

实用误差估计

例：

第六章 非线性方程的迭代解法
第一节 方程求根法
根的定义：对于非线性方程组f(x)=0，若存在数使f()=0，称是非线性方程组f(x)=0的根。
零点存在定理：若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，若f(a)f(b)<0，则必然存在，使f()=0。
试探法，二分法。
一．简单迭代法
初值，，产生迭代序列。
简单迭代收敛定理（压缩映像原理）
对于迭代函数，若满足(1)若；(2)存在正数0
局部收敛性：当，若有且连续
收敛误差：
收敛速度(收敛阶)：若存在实数P和非零常数C，使得，称迭代序列是P阶收敛。P=1，线性收敛；P>1，超线性收敛；P=2，平方收敛。
定理：设是方程的根，
如果迭代函数满足
产生的迭代序列是P阶收敛。
二．牛顿迭代法

收敛性分析：牛顿迭代法具有局部收敛性，初值，产生迭代序列收敛。
收敛定理：设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，若
，在[a,b]上单调，在[a,b]上凹向不变（即在区间上不变号），初值满足，则任意初值，有牛顿迭代法产生的收敛于方程的唯一根。
简化牛顿法：
三．弦割法或割线法
用差商代替导数
第二节 线性代数方程组迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法
SOR迭代法（）
迭代法的收敛性：
将迭代法用矩阵表示：，
Jacobi迭代法：
G-S迭代法：
SOR迭代法：
定理：，对产生的迭代序列收敛的充要条件是：
或。
推论1：若，则收敛；
推论2：SOR方法收敛的必要条件是；
推论3：设A是严格对角占优矩阵，则Jacobi，G-S，的SOR方法收敛；
推论4：1)设A是对称正定矩阵，则G-S方法收敛；2) 设A是对称正定矩阵，若2D-A也对称正定，则Jacobi方法收敛；若2D-A不对称正定，则Jacobi方法不收敛；3) 设A是对称正定矩阵，，则SOR方法收敛。

第三节 非线性方程组的迭代解法

第七章 矩阵特征值和特征向量
矩阵A主特征值——模最大的特征值取为主特征值。
对n个互不相同的特征值，对应特征向量…；
任意向量
，是对应A的的特征向量，

规范乘幂法
，按模取最大分量，。
，是的规范化向量；。
加速法（原点位移法）

第八章 常微分方程数值解法的导出

一． 数值微分法
欧拉公式：
后退欧拉公式：
终点法：
局部截断误差：
二． 数值积分法

预估，校正

三． 泰勒展示法

四． 线性多步法