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第五章 曲线运动
知识点一 曲线运动特点
⒈速度的方向：质点在某一点的瞬时速度，沿曲线在这一点的 方向。
⒉运动的性质：作曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是 运动，
也就是具有 。
练习：一质点在某段时间内做曲线运动,则在这段时间内（ ）
A.速度一定在不断地改变,加速度也一定不断地改变 B.速度一定在不断地改变,加速度可以不变
C.速度可以不变,加速度一定不断地改变 D.速度可以不变,加速度也可以不变
知识点二 质点做曲线运动的条件
⑴从动力学角度看：物体所受 跟物体 方向不在一条直线上，物体就做曲线运动；
⑵从运动学角度看：物体的 方向与 方向不在同一条直线上。
练习1 下列说法正确的是(  )
A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动； B、物体在变力作用下有可能作曲线运动； C、作曲线运动的物体，速度方向与加速度方向不在同一直线上；
D、物体在变力作用下不可能作直线运动；
练习2 一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两个力不变，此物体可能做 （ ）
A、匀加速直线运动 B、匀减速直线运动 C、类似于平抛运动 D、匀速圆周运动
练习3 关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是(  )
A.它所受的合力一定不为零
B.有可能处于平衡状态
C.速度方向一定时刻改变
D.受的合外力方向有可能与速度方向在同一条直线上
知识点三 曲线运动的轨迹
做曲线运动的物体，其轨迹向 所指一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向 。
练习1 质点做曲线运动，它的轨迹如图所示，由A向C运动，关于它通过B点时的速度v的方向和加速度a的方向正确的是：（ ）

练习2某质点在恒力F作用下，F从A点沿下图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的哪条曲线？（  ）
A．曲线a    B．直线b      C．曲线c    D．三条曲线均有可能
知识点四 合运动与分运动的关系
⑴分解原则：根据运动的 效果分解或 分解。处理曲线运动问题的常用方法是把曲线运动按实际效果分解成两个方向上的 运动。
⑵合运动和分运动的关系：
Ⅰ.等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间
Ⅱ.独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动 进行，不受其它分运动的影响。
Ⅲ.等效性：各分运动的叠加与合运动有 的效果。
练习1 关于运动的合成与分解的说法中，正确的是（   ）
　　A、合运动的位移为分运动的位移的矢量和．B、合运动的速度一定比其中一个分速度大．
　　C、合运动的时间为分运动时间之和． D、合运动的时间与各分运动时间相等．
练习2关于运动的合成，下列说法中正确的是（　　）
A．合运动的速度一定比分运动的速度大 B．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动
C．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动D．合运动的两个分运动时间不一定相等
知识点五 小船渡河问题
一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是 运动，一是 的运动， 的实际运动为合运动。

当船头与河岸 时，渡河时间最短tmin=
当船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，θ应满足 渡河的位移最小即 渡河时间t= 。只有在 时，船才有可能垂直河岸渡河
练习 一艘小船在 200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是2m／s船在静水中的速度是4m／s，求：①当船头始终正对着对岸时，小船多长时间到达对岸，小船实际运行了多远？

②如果小船的路径要与河岸垂直，应如何行驶？消耗的时间是多少？

③如果小船要用最短时间过河，应如何？船行最短时间为多少？

知识点六 物体拉绳或绳拉物体运动的分解问题
⒈确定合速度：物体 运动方向为合速度方向；
⒉按实际效果进行分解：
被拉物体在运动过程中产生了两个效果：⑴绳与竖直方向 变化；⑵在滑轮两侧的绳子 变化。
根据这两个效果，可把物体的速度 绳子和 绳子两个方向进行分解。
练习1 如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达p点时，绳子与水平方向的夹角为θ ，此时物体M的速度大小为多少？

练习2人在岸上以速度v匀速拉河中的船靠岸，在船靠岸的过
程中，下列说法正确的是
A、船匀速靠岸 B、船加速靠岸 C、船减速靠岸 D、以上三种情况都可能
知识点七 平抛运动特点
①水平方向不为零的初速度；②只受 作用，有恒定的竖直向下的重力加速度；
③任一相同的时间间隔内的速度的变化量都 ④是 运动
1、处理方法：可以分解为水平方向的 运动和竖直方向的 运动。
2、速度：水平 ，竖直 ，合速度 ，
合速度与水平方向的夹角
3、位移：水平 ，竖直 ，合位移 ，
合位移与水平方向的夹角 注意：合位移与合速度方向不一致。
4、运动时间： 只与 和 有关，与 无关。
5、射程： ，由、、共同决定，⑹落地位移：
6、推论：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向之间的夹角为，位移与水平方向间的夹角为，则 （不是）。
练习1 做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是( )
A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同 C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同
练习2决定一个平抛运动的总时间的因素（ ）
A 抛出时的初速度 B 抛出时的竖直高度C 抛出时的竖直高度和初速度 D 物体的质量有关
练习3一个物体以初速度V0水平抛出，经时间t，其竖直方向速度大小与V0大小相等，那么t为（ ）
A V0/g B 2V0/g C V0/2g D V0/g
练习4 物体以初速度V0水平抛出，当抛出后竖直位移是水平位移的2倍时，则物体抛出的时间是
A 1∶1 B 2 ∶1 C 3∶1 D 4∶1
练习5 如图，以9.8m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上，则物体的飞行时间为多少？

练习6 在倾角为的斜面顶端A处以速度水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求：(1)小球从A运动到B处所需的时间和位移。
(2) 从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

练习7
从某一高度平抛一物体，当抛出2s后它的速度方向与水平方向成45°角，落地时速度方向与水平方向成60°角，求：（g=10m/s2）
（1）抛出时的速度。 （2）落地时的速度。(3)抛出点距地面的高度。(4)水平射程。

知识点八 平抛运动实验
练习1 “探究平抛运动的运动规律”实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：
A．让小球多次从　　　　　　位置上滚下，在一张印有小方格的纸记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置，如右下图中a、b、c、d所示。
B．按图安装好器材，注意　　　　，记下平抛初位置O点和过O点的竖直线。
C．取下白纸以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛运动物体的轨迹。

a
b
c
d
⑴完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。
⑵上述实验步骤的合理顺序是　　　　　　　。
⑶已知图中小方格的边长L＝1.25cm，则小球
平抛的初速度为v0＝ （用L、g表示），
其值是　　　　　（取g＝9.8m/s2），小球在ｂ点的速率　　　　　　　。
练习2如图所示为一小球作平抛运动的闪光照片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm，g=10m/s2，那么：
⑴闪光频率为　　　　　　Hz；
⑵小球运动的初速度的大小是　　　　　　m/s；
⑶小球经过B点时的速度大小为　　　　　　m/s。
知识点九 描述圆周运动的物理量
⒈线速度 ⑴物理意义：线速度用来描述物体在圆弧上运动的快慢程度。
⑵定义：圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值，描述圆周运动的“线速度”，其本质就是“瞬时速度”。
⑶方向：沿圆周上该点的 方向
⑷大小：
⒉角速度 ⑴物理意义：角速度反映了物体绕圆心转动的快慢。
⑵定义：做圆周运动的物体，围绕圆心转过的角度与所用时间的比值
⑶大小： ，单位： （）
⒊线速度与角速度关系：
⒋周期和转速：
⑴物理意义：都是用来描述圆周运动转动快慢的。
⑵周期：表示的是物体沿圆周运动一周所需要的时间，单位是秒；转速（也叫频率）：表示的是物体在单位时间内转过的圈数。单位是 （）或 （）的单位：赫兹，
5、两个结论
⑴凡是直接用皮带传动（包括链条传动、齿轮咬合、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的 大小相等；
⑵凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点 相等（轴上的点除外）（共轴转动）。
6、向心加速度：
⑴物理意义：描述速度 变化快慢的物理量
⑵方向：总是指向 ，时刻在变化。
⑶大小： = = =
练习1.如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、向心加速度之比。
a
b
c
d

知识点十 匀速圆周运动
⒈定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的 相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。
⒉运动性质：匀速圆周运动是 运动，而不是匀加速运动。因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化
⒊特征：匀速圆周运动中，角速度、周期、转速、速率、动能都是恒定不变的；而线速度、加速度、合外力、动量是不断变化的。
4、受力特点： 。
练习1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ 　）
A．匀速圆周运动是匀速运动 B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动 D．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态
练习2.关于向心力的说法正确的是（　　）
A．物体由于作圆周运动而产生一个向心力 B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力
D．做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力
知识点十一 向心力
⒈定义：质点做圆周运动时，受到的总是沿着半径方向指向 的力，是 力。
⒉作用效果：产生 加速度，只改变线速度的 ，不改变线速度的 。
⒊大小： = = =
⒋来源：向心力是按 命名的力，不是某种 的力，可以由几个力的 力或某一个力的 力提供；在匀速圆周运动中 力提供向心力；变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，这时合外力可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力和指向圆心方向的分力，产生了 加速度，与速度垂直，改变了速度 ，产生 加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的 。
5、根据公式求解圆周运动的动力学问题时应做到：
（1）确定研究对象，进行运动分析
（2）确定圆心与圆轨迹所在平面，确定圆半径；
（3）受力分析，确定向心力来源；
（4）以指向圆心方向为正，确定参与构成向心力的各分力的正、负；
（5）在半径方向上列牛顿定律的动力学方程．
做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用等各种形式）。
练习1、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，下列正确的是（ ） A、物体受重力、向心力、摩擦力三个力
B、物体受重力、弹力、摩擦力三个力
C、物体受重力、弹力、向心力、摩擦力
D、物体受重力、弹力、向心力、三个力
.练习2、如上图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）
A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C、物体所受弹力和摩擦力都减小了 D、物体所受弹力增大，摩擦力不变
练习3、关于变速圆周运动的向心力的说法中正确的是（ ）
A物体除其他力外，还受到一个向心力的作用 B物体所受的合力等于向心力
C向心力的大小一直在变化 D变速圆周运动的合力的方向不指向圆心
练习4、长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示，当摆线L与竖直方向的夹角是α时，求
L
α
O
（1）线的拉力F；
（2）小球运动的线速度的大小；
（3）小球运动的角速度及周期。

知识点十二 竖直面内圆周运动的常用模型：

轻绳模型
轻杆模型
过拱桥
常
见
类
型

轻绳 外轨道
（无支撑的情况）
轻杆 管道

（有支撑的情况）

无约束的
情景
对最
高点
的分
析
①时绳子或轨道对物体的弹力为 ，方向
②时绳子或轨道对物体的弹力为
③时，物体
★是物体能否在竖直面
上能过最高点(能完成完整的圆周
运动)的最小速度。
①时轻杆或管道对物体的弹力为 ，方向
②时轻杆或管道对物体的弹力为
③时，轻杆或管道对物体的弹力为 ，方向
★是物体所受弹力的方向变化的临界速度．
当时，车
★是
汽在竖直面上做圆周运动的最大速度．

练习：1、如图所示，长度为L＝0．5m的轻杆其下端固定于转轴O，上端连接质量为M＝2．0kg的物体A，物体A随着轻杆一起绕O点在竖直平面内做圆周运动，求在最高点时下列两种情况下球对轻杆的作用力 (1)A的速率为1．0m／s； (2)A的速率为4．0m／s．

练习2、某细绳一端固定盛水的小桶，小桶的质量为0.2kg，桶中盛有0.5kg的水，手持细绳的另一端，使小桶在竖直水平面做半径为0.9m的圆周运动，水恰好不会流出，则桶在圆周运动最高点的线速度为（ ）
A、3m/s B、2 m/s C、4 m/s D、5 m/s

过拱形桥
汽车在凸形桥的最高点时，设桥的半径是r，汽车的质量是m，车速为v，支持力为FN
⑴当时,重力恰好提供向心力,汽车对桥顶无压力，将做平抛运动。
⑵当时，支持力和重力合力提供向心力，， ， 汽车处于 状态。
汽车过凹桥：支持力和重力合力提供向心力，， ，汽车处于 重状态。
练习1、汽车过凸形桥，已知桥的半径为8m，为了保证汽车对汽车的抓地力，汽车与地面的挤压不能小于车重的0.2倍，则汽车过凸形桥顶的最大速度不能超过（ ）
A、4m/s B、8m/s C、10m/s D、4m/s
练习 火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（ ）
A.轨道半径R=v2/g B.若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
C.若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D.当火车质量改变时，安全速率也将改变
知识点十三 物体圆周运动的条件：
质量为的物体，在半径为的圆弧上动时所需要的向心力，物体能否维持这个运动，关键看其所受的外力能否提供其所需的向心力
⒈当外力恰好能提供其所需向心力，即 ，物体就做圆周运动；
⒉当外力小于其所需向心力时，即 ，物体做离心运动；
⒊当外力大于其所需向心力时，即 ，物体将做靠近圆心的运动，叫做近心运动。
练习 如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下作匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa作离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa作离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb作离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc作离心运动
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