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1、 第一章 逻辑推理 在数学竞赛中，有一类问题似乎不像数学题，这类问题没有或很少给出数量或数量关系，也不出现任何图形。解答这类问题没有什么现成的公式可用，甚至不需要什么复杂计算。也有的问题，似乎像算术或几何问题，但解决它却很少用到算术和集合的知识，而是用逻辑推理的知识来解答。这类问题称为逻辑推理问题。逻辑推理是运用已知若干判断去获得一个新判断的思维方法。在推理过程中，常常需要否定一些错误的可能性，去获得正确的结论。 解决这类问题常用的方法有：直接法；假设法；排除法；图解法；列表法和枚举法等。 逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情
2、合理的推理，最后做出正确的判断。 推理的过程，必须要有充足的理由和充分的依据。论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。 一、直接法 例1 张、王、李三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工，已知：（1）张不在甲厂；（2）王不在乙厂；（3）在甲厂的不是钳工；（4）在乙厂的是车工；（5）王不是电工，这三个人分别在哪个厂？干什么工作？ 【分析与解】此题可用直接法解答，即直接从特殊条件出发，再结合其他条件往下推，直到推出结论为止。 由条件（5）可知，王不是电工，那么王必是车工或钳工；由条件（2）可知，王不在乙厂，那么王必在甲厂或丙厂
3、又由条件（4）可知，在乙厂的是车工，所以王只能是钳工；又因为甲厂的不是钳工，则王必是丙厂的钳工；张不在甲厂，必在乙厂或丙厂，而王在丙厂，则张必在乙厂，是乙厂的车工，剩下的李是甲厂的电工。 所以，张是乙厂的车工，王是丙厂的钳工，李是甲厂的电工。 例2 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一场，并且只赛一场，规定胜者得2分，负者得0分。现在知道比赛结果是：A和B并列第一名；C是第三名，D和E并列第四名，求C得多少分？ 【分析与解】我们从A和B并列第一名，D和E并列第四名的已知条件直接入手分析。因为每盘的得分只能是2分或0分，所以每人的得分必为偶数，即0分、2分
4、4分、6分、8分。 由于A和B并列第一名，他们两人比赛的负者最多只能得6分，因此，A与B最多只能得6分。 同理，并列第四名的D和E不可能都得0分，因而最少得2分。 因此，C只能得4分。 例3 将1、2、3、4、5、6、7、8八个数分成两组，每组4个数，并且两组数之和相等。从A组拿一个到B组后，B组五个数之和将是A组剩下三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和是A组五个数之和的。这八个数如何分成两组？ 【分析与解】八个数的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，所以每组四个数之和36÷2＝18。从A组取一个数到B组，两组总和不变，由题
5、知，这时A组中剩下的三个数之和为：36÷（2＋1）＝12，原来A组四个数的和是18，说明从A组取了一个（18－12）＝6到B组。 同理，从B组取一个数到A组后，现在B组三个数的和是36÷（1+）×＝15，说明从B组中取了一个（18－15）＝3到A组。 除去6和3，还剩6个数。A组中分别三个数的和是12，剩下的6个数中只有1＋4＋7＝12，故A组中的四个数为1、4、6、7，B组中的四个数为：2、3、5、8。 二、假设法 例4 星期一早晨，王老师走进教室，发现教室的坏桌凳都修了。传达室人员告诉他：这是班里住校学生中的一个学生做的好事。于是王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个
6、住校生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四个人中只有一个人说的是真话，请问桌凳是谁修的？ 【分析与解】根据“两个互相否定的思想不能同真”可知，条件（2）和（4）不能同真，必有一假。 假设条件（2）是真话，则条件（4）为假话，即张明修过桌凳。又根据题目条件“四人中只有一人说真话”可知，条件（1）和（3）为假话，则由条件（1）为假话可推出，桌凳是许兵修的。这样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中只有一个人做好事相矛盾。所以前面的假设不成立。因此条
7、件（2）是假话，条件（4）是真话，则条件（1）和（3）为假话。所以桌凳是许兵修的。 例5 五一小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名同学的成绩作了如下估计。 （1）丙得第一，乙得第二 （2）丙得第二，丁得第三 （3）甲得第二，丁得第四 比赛结果一公布，果然是这些同学获得前四名。但以上三种估计，恰好都估计对了一半，错了一半。你知道他们的名次各是第几名吗？ 【分析与解】同学们的估计里有对有错。但是最后公布的结果中，他们都只猜对了一半，错了一半。我们可以用假设法假设某人前半句对，后半句错。如果不成立，再从相反方向思考推理。 假设条件（1）中“丙得
8、第一”错了，则“乙得第二”就对了。因为条件（1）中“乙得第二”说对了，则条件（2）中“丙得第二”说错了，条件（2）中“丁得第三”说对了，则条件（3）中“丁得第四”说错了，则条件（3）中“甲得第二”对了，这与乙得第二矛盾，故最初假设不成立。 则应假设条件（1）中“丙得第一”是对的，“乙得第二”是错的。由此便可推出：丙得第一，甲得第二，丁得第三，乙得第四。 例6 在一次乒乓球比赛前，甲、乙、丙、丁四位选手预测各自的名次。 甲说：我绝不会得到最后。 乙说：我不能得第一，也不会得最后。 丙说：我肯定得第一。 丁说：那我是最后一名！ 比赛揭晓后知道，四个人没
9、有并列名次，而且只有一名选手预测错误，请问是谁预测错了。 【分析与解】因为四个人只有一个预测是错误，不妨假设甲、乙、丙、丁分别预测错误，看看可以推出的结果。 假设甲预测错误，那么丁也预测错误，不符合题意。 假设乙预测错误，那么乙得第一或最后，则丙、丁两人中必有一人预测错误，不符合题意。 假设丁预测错误，因为其他三人都预测不会得最后，所以也不成立。 因此：丙预测错误。 三、排除法 例7 下图是同一个标有1、2、3、4、5、6的小正方体的三种不同的摆法。求三个正方体朝左的一面的数字之积是多少？ （1） （2）
10、 （3） 【分析与解】我们可用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所需的结果。 先判断图（1）中3对面的数字。从三个正方体上看得见的数字可以知道：3对面的数字不是1、2、4、6。因此，图（1）中朝左一面的数字是5。 由图（1）可知，2的对面不是1、3，由图（2）知，2的对面不是4，因此，2的对面一定是6，则1的对面是4。 所以，图（1）、（2）、（3）中的朝左一面的数字分别是5、1、4，则它们的积为：5×1×4＝20 例8 甲、乙、丙、丁坐在同一排的1～4号座位上，小红看着他们说：“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁，甲的座号比丙大。
11、问坐在一号座位上的是谁？ 【分析与解】解答该题时，可以结合部分条件把四人排列的情况列出，然后排除掉不符合条件的情况，剩下的即为正确答案。 由“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁”，可以判断出甲与丙坐在位于中间的2号、3号位上。根据“甲的座号比丙大”可以确定丙坐在2号位上，甲坐在3号位上。因此，丙旁边的1号位上只能坐乙。 四、列表法 例9 六年级有四个班，每个班都有正、副班长各1名。平时召开年级班长会议时，各班都只有1人参加。参加第一次会议的是小马、小刘、小张、小林；参加第二次会议的是小宋、小刘、小朱、小马；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张。小徐因有病，三次都没有参
12、加，你知道他们之中，哪两个是同班的吗？ 【分析与解】此题中参加会议的人员每次都在更换，头绪众多，条件纷陈， 确实一时难以寻找到解决问题的突破口。因此，我们可将所有条件列在一张表格内，借助表格进行分析、推理。 姓名 会议次数 小张 小马 小林 小刘 小朱 小宋 小陈 小徐 第一次 √ √ √ √ 第二次 √ √ √ √ 第三次 √ √ √ √ 由图可以看出，小徐三次都没参加，而小马三次都参加了会议，说明他们两人是同一班的；小张第一、第三次都参加了会议，而小朱只参加了第二次会议，说
13、明他们是同一班的；小刘参加了第一、第二次会议，而小陈只参加了第三次会议，说明他们是同班的。所以：小马和小徐；小张和小朱；小刘和小陈；小林和小宋分别是同班的。 例10 已知张新、李敏、王强三位同学分别在北京、苏州、南京的大学学习化学、地理、物理。又知： （1）张新不在北京学习 （2）李敏不在苏州学习 （3）在北京学习的同学不学物理 （4）在苏州学习的同学是学化学的 （5）李敏不学地理 请你判断一下，三位同学各在什么城市学什么？ 【分析与解】解答此题的关键是抓住三个人必须在三地之一学习三种科目的某一种这个条件，这种逻辑推理问题须从两个方面加以判定
14、尽管相对的问题要求增多了，但列表法仍然适用。结合两方面的交错因素，两表对位，一举两得。 由条件（1）（2）（5）可列下表： 北京 苏州 南京 姓名 化学 地理 物理 × 张新 × 李敏 × 王强 由条件（4）可知：李敏不在苏州，不学化学，学物理，张新、王强不学物理。 北京 苏州 南京 姓名 化学 地理 物理 × 张新 × × 李敏 × × √ 王强 × 由条件（3）“在北京学习的不学物理”可知：王强在北京，张
15、新在苏州，李敏在南京。 北京 苏州 南京 姓名 化学 地理 物理 × √ × 张新 × × × √ 李敏 × × √ √ × × 王强 × 由条件（4）“在苏州学习的学化学”可知：张新学化学，王强学地理。 北京 苏州 南京 姓名 化学 地理 物理 × √ × 张新 √ × × × × √ 李敏 × × √ √ × × 王强 × √ × 由上表可知：张新在苏州学化学，李敏在南京学物理，王强在北京学地理。 【专家点评】在解决逻辑推理问题时，往往并不是单独
16、用一种方法来进行分析判断，而常常是几种方法交互使用。如上述例题便是综合运用列表法和排除法来分析解答的。 例11 李芳、陈楠和孙海是小学教师，在语文、数学、思品、社会、音乐和美术六门课中，每人各教两门，现在已知： （1）思品老师和数学老师是邻居 （2）陈楠最年轻 （3）李芳老师常和社会还有数学老师谈心 （4）社会老师比语文老师大 （5）陈楠、音乐老师和语文老师常在一起看足球赛 试分析，李芳、陈楠、孙海三位老师每人教哪两门课。 【分析与解】首先挖掘每个条件真正想告诉我们的内容，由每个条件得出： 由（1）得出：思品和数学不是同一个人教
17、由（2）（4）得出：陈楠不教社会 由（3）得出：第一，李芳不是社会、数学老师 第二，社会、数学不是同一个人教 由（4）得出：社会、语文不是同一个人教 由（5）得出：第一，陈楠不是音乐、语文老师 第二，音乐、语文老师不是同一个人教 下面通过打“√”“×”号列表法来进行判断，根据每人教两门功课，所以从横行上看对于每个人只能有2个“√”，而一门课只能由一个人教，所以从竖列上看，每一列只能有1个“√”。 科目 教师 语文 思品 数学 社会 音乐 美术 李 芳 √ √ × × × × 陈 楠 ×
18、 × √ × × √ 孙 海 × × × √ √ × 由图示可知：李芳教语文、思品，陈楠教数学、美术，孙海教社会、音乐。 五、图解法 例12 6名来自不同国家的学生一起聚会，请根据他们各自的情况安排在圆桌旁坐下，使相邻的学生都能交谈： A：中国学生会讲英语 B：法国学生会讲日语 C：日本学生会讲汉语 D：英国学生会讲俄语 E：美国学生会讲俄语 F：俄国学生会讲法语 【分析与解】如果用一个点代表一个学生（如上图），在两点间划一条线段表示两个学生能互相交谈，这样就能够得到一个示意图。根据图上的箭头就可安排六名学生
19、座位如右图。 【专家点评】构图示意法是解决数学竞赛问题的重要方法，其中常用一笔画解决一些有趣的循环设计问题。 例13 小华和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛，每两人要比赛一盘。到现在为止，小华已经比赛了四盘，甲赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘，求丙赛了几盘？ 【分析与解】此题可用图解法进行推理，如图所示，用5个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。如果两人之间已经进行了比赛，就在表示两个人的点之间连一条线。现在小华已经比赛了4盘，所以小华应与其余四个点都连线。甲赛了3盘，由于丁只赛1盘，所以甲与丁之间没有连线，那么就应连接甲、乙和甲、丙。这时乙已经有了两条连线，与题中乙赛
20、了2盘相符合，就不再连了。所以从图中可以看出，现在丙与小华、甲各赛一盘，即丙赛了2盘。 六、枚举法 例14 在运动会上，小赵、小李、小刘各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。王老师猜测：“小赵得金牌，小李不得金牌，小刘不得铜牌。”结果王老师猜对了一个，问：小赵、小李、小刘各得什么牌？ 【分析与解】把小赵得奖牌的可能情况逐一枚举，然后分析推理，弃舍不合理的情形，最后得到问题的解答。 （1）若小赵得金牌时，小李一定不得金牌，这与题意相矛盾。（舍去） （2）若小赵得银牌。再从小李得奖牌的情况分别讨论。 a．如果小李得铜牌，小刘得金牌，那么王老师猜
21、对两个，不合题意。（舍去） b．如果小李得金牌，小刘得铜牌，那么王老师没有猜对一个，不合题意。（舍去） （3）若小赵得铜牌，仍以小李得奖牌的情况分别讨论。 a．如果小李得金牌，小刘得银牌，王老师猜对一个，符合题意。 b．如果小李得银牌，小刘得金牌，那么王老师猜对两个，不合题意。（舍去） 综上所述，小赵、小李、小刘分别柳得铜牌、金牌、银牌。 例15 一次射击练习中，小张、小王、小李各打4发子弹，全部中靶。命中的情况如下： （1）每人4发子弹命中的环数各不相同。 （2）每人4发子弹命中的总环数均为17环。 （3）小王有两发命中的环数分别与小
22、张命中的两发一样；小王另两发命中的环数与小李命中的两发一样。 （4）小张和小李只有一发环数相同。 （5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。 小张和小李命中的相同环数是几环？ 【分析与解】首先，用枚举法找出符合条件（1）（2）（5）的所有情况，即四个加数互不相同，且最大加数不超过7，总和为17的所有情况： ①1＋3＋6＋7＝17 ②1＋4＋5＋7＝17 ③2＋3＋5＋7＝17 ④2＋4＋5＋6＝17 再根据条件（3）、（4）可知：第①③④式分别是小张、小王和小李命中的环数，第①、④式分别是小张和小李命中的环数。 所以，小张和小李命中的相同的环数
23、是6环。 【巩固练习】 1．某大学宿舍里A、B、C、D、E、F、G七位同学，其中两位来自哈尔滨，两位来自天津，两位来自海南，一位来自广州，还知道： （1）D、E来自同一地方 （2）B、G、F不是北方人 （3）C没去过哈尔滨 那么A来自什么地方？ 2．王涛、李明、江兵三人在一起谈话，他们当中一位是校长，一位是教师，一位是学生家长。现在只知道： （1）江兵比家长年龄大 （2）王涛和老师不同岁 （3）老师比李明年龄小 你能确定谁是校长、谁是老师、谁是家长吗？ 3．某班44人，从A、B、C、D、E五位侯选人中选举班长。A得票2
24、3张，B的选票占第二位，C、D得票相同，E的选票最少，只得了4票，那么B得选票多少张？ 4．甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定量的糖后，甲的糖的粒数就是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖的粒数就是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？ 5．一位警察抓获四个盗窃嫌疑犯A、B、C、D，他们的供词如下： A说，不是我偷的 B说，是A偷的 C说，不是我 D说，是B偷的 已知他们4人中只有一人说的是真话，并且只有一个人是盗窃犯。你知道谁是盗窃犯吗？ 6．某小学举行了一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼的5名学生的成绩作出如下
25、评估： A说：第二名是D，第三名是B B说：第二名是C，第四名是E C说：第一名是E，第五名是A D说：第三名是C，第四名是A E说：第二名是B，第五名是D 这五位同学每人都说对了一半。请分析这五位同学的名次。 7．某次考试考完后，甲、乙、丙、丁四位同学猜测他们的考试成绩。 甲说：我肯定考的最好 乙说：我不会是最差的 丙说：我没有甲考的好，但也不是最差的 丁说：可能我考的最差 成绩一公布，只有一人说错了。请你按照考试分数由高到低排出他们的名次。 8．下图是标有1、2、3、4、5、6的三个正方体是同一个正方体的三种不同
26、摆法。求三个正方体朝左的那一面的数字和是多少？ 3 （1） （2） （3） 9．某市举行家庭普法知识竞赛，有5个家庭进入决赛（每家2名成员），决赛时进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参加赛。第一项参赛的吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王，另外刘某因故四次均未参赛。你知道他们谁和谁是一家吗？ 10．刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛，事先规定，兄妹不许搭伴。 第一局：刘刚和小丽对李
27、强和小英 第二局：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹 那么，三个男孩的妹妹分别是谁？ 11．甲、乙、丙分别在南京、苏州和西安工作，他们的职业分别是工人、农民和教师。已知：（1）甲不在南京工作；（2）乙不在苏州工作；（3）在苏州工作的是工人；（4）在南京工作的不是教师；（5）乙不是农民。求三人各在什么地方工作？各是什么职业？ 12．小明、小青、小菊读书的学校分别是一小、二小、三小，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动。但究竟谁爱好哪一项运动，在哪个学校读书还不清楚，只知道；（1）小明不在一小；（2）小青不在二小；（3）爱好排球的在二小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好
28、游泳的不是小青。 请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。 13．甲、乙、丙分别是工程师、会计师和教师。他们的业余爱好分别是文学、绘画和音乐。现在知道：（1）爱好音乐、文学者和甲在一起看电影；（2）爱好绘画者常请会计师讲经济学；（3）乙不爱好文学；（4）工程师常埋怨自己对绘画和音乐一窍不通。请问每个人的爱好和职业各是什么？ 14．在某一次宴会桌旁，甲、乙、丙、丁四位朋友进行有趣的交谈，用了中、英、法、日四种语言，现已知情况如下： （1）甲、乙、丙会多种语言，丁只会一种语言 （2）有一种语言四人中有三人都会 （3）甲会日语，丁不会日语，乙不会英语 （
29、4）甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈 （5）没有人既会日语，又会法语 问：甲、乙、丙、丁各会什么语言？ 15．五位同学一起打乒乓球，两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说：“我打了4盘。”乙说：“我打了1盘。”丙说：“我打了3盘。”丁说：“我打了4盘。”戍说：“我打了3盘。”你能肯定其中有人说错了吗？为什么？ 16．A先生和A太太及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A先生问了每个人（包括他妻子）握手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A太太握了几次手？ 17．将3张数字卡片（均不超过10）
30、分给甲、乙、丙三人，各人记下所得卡片上的数再重新分。分了3次后，每人将各自记下的数相加，甲为13，乙为15，丙为23。你能写出三张卡片上分别是什么数吗？ 18．A、B、C三个足球队进行比赛，每两个队赛一场。按规定每胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。现在已知： （1）B队一球未进，结果得1分。 （2）C队进一球，失2球，并且胜了一场。 求：A队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。 〖知识链接〗 【脑筋急转弯】 1．什么时候挂钟连着敲了13下？ 答：挂钟坏了的时候。 2．农民养了10头牛，为什么只有19只角？ 答：因为其中有一头是犀牛。 3．餐厅里
31、有两母女在用餐，每人只吃了60元。却付了180元的饭钱。为什么？ 答：这两母女，分别是外婆、妈妈和女儿三个人。 4．“IX”是罗马字母，代表“9”。如何加上一笔，使它变成一个偶数？ 答：左面加上一个英文字母“S”，于是凑成“SIX”，正好是英文中的6，当然是偶数了。 【谜语】 1．333555，打一成语。 答案：三五成群 2．独木桥畔百万兵，分成上下两行行。 上边后强一当五，下边兵多听号令。 打一数学工具。 答案：算盘。
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