1、不定积分练习题
高等数学测试题（三）中值定理、导数应用部分
一、 选择题（每小题4分，共20分）
1、 下列函数在上满足罗尔定理条件的是（C）
A B C D
2、曲线的拐点是（B）
A B C D
3、已知函数，则有（C）实根
A 一个 B 两个 C 三个 D 四个
4、设函数在内可导，则在内是函数在内单调增的（B）
A 必要非充分条件 B 充分非必要条件 C 充要条件 D 无关条件
5、如果，则（
2、B）
A 是函数的极大值 B 是函数的极小值
C 不是函数的极值 D 不能判定是否为函数的极值
二、填空题（每小题4分，共20分）
1、 函数在上满足拉格朗日定理的=
2、 函数在闭区间上的最大值点为=4
3、 函数的单调减少区间是
4、 若函数在二阶可导，则
=
5、 曲线的铅直渐近线为
三、 解答题
1、（7分）计算
解：原式=
2、（7分）计算
解：原式=
3、（7分）计算
解：令
所以 原式=
4、（7分）计算
解：令
所以 原式=
5、（10分）设函数在上连续，在内可导，且
，证明：存在，使得
3、
证明：设 ， 由的连续性知：
在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知 存在，使得 即
，所以 证毕。
6、（10分）证明：当时，
证明：令 ，
因此 在内单调减，所以 ，即
令 ，
因此 在内单调增，所以 ，即 ，总之当时， 证毕。
7（12分）设函数在的邻域内具有三阶导数，且
（1） 求
（2） 求
解：（1）因为 ，所以
由于分母极限为0，所以 ，即
，又因为 在连续，则
，由 得
，所以
，即 ，由此得
（2）
8、（10分）设函数在开区间内连续，，试证：在开区间内至少存在一点，使得
证明：因为在内连续，，所以
4、在上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知，在上存在最大值M和最小值m，即在上，，所以
，又因为 ，所以
，由连续函数的介值定理知：存在，使得 ，即
证毕。
2
1.选择题
（1）设函数在内连续，且，则的值（ ）
依赖于 依赖于
依赖于，不依赖于 依赖于，不依赖于
（2）设在上令
，则（ ）.
（3），则为（ ）.
正常数 负常数 恒为零 不为常数
提示：
，而.
(
5、4) 下列反常积分发散的是（ ）
2. 计算题
（1）求
解：原式
（2）设函数可导，且，，
求.
解：令，则，
所以
（5）已知，求的值.
解：由条件有，
即
所以.
（6）设连续非负函数满足，求.
解：令，
，从而，故.
3.当时满足方程
且在有连续一阶导数,又,求.
解：两边对ｔ求导，得，
令ｔ＝１，得，
对求导，得，即，
所以，又由知，
故.
4.设，在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数），
（1）证明：
（2）利用（1）结论计算定积分
证明：（1），
令，，
所以
（2）取，，，且，
所以
5.设在上连续且单调递减，又设，证明对于任意满足的和，恒有.
证明：作辅助函数，
由知单调递减，
故结论成立！
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