线面平行证明的常用方法.doc

线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：
方法一：中位线型：找平行线。
E
B
A
D
C
G
F
_
M
_
D
_
C
_
N
_
A
_
B
_
O
E
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.
P
E
D
C
B
O
A
分析：

如图⑴ 如图⑵ 如图⑶
方法二：构造平行四边形，找平行线
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：AE//平面DCF.
分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD
与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面
例3、如图⑷，在四棱锥中，底面为菱形， 为的中点，为的中点，证明：直线
分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
F
y
C
B
E
D
A
S
z
例4、已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且AM=FN.
求证：MN‖平面BCE.
A
B
C
D
E
F
N
M

如图⑷ 如图⑸ 如图⑹

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；
(2)求S△A′B′C′：S△ABC .

方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥中，底面为正方形，
侧棱底面分别为的中点．证明平面；
分析：因为侧棱底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向
量为=（0，1，0）
则：=0
因此
所以平面．