3-5第五节三角恒等变换练习题(2015年高考.doc

第五节　三角恒等变换
时间：45分钟　分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝(　　)
A．－3 B．－
C．－ D．－7
解析　依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－.
答案　B
2．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析　cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.
答案　C
3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为(　　)
A. B.
C D．－1
解析　∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝.
答案　B
4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析　∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ
＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.
答案　C
5.

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为(　　)
A．－ B．－
C．0 D.
解析　cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A.
答案　A
6．若＝－，则sinα＋cosα的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)，
∴sinα＋cosα＝.
答案　C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若tan＝，则tanα＝________.
解析　∵tan＝＝，
∴5tanα＋5＝2－2tanα.
∴7tanα＝－3，∴tanα＝－.
答案　－
8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
解析　y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋
＝2sin(2x－)＋，所以T＝π.
答案　π
9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.
解析　f(x)＝sinx－2cosx＝(sinx－cosx)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.
答案　－
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．已知tan2θ＝(<θ<π)，求的值．
解　∵tan2θ＝＝，
∴tanθ＝－3或tanθ＝.
又θ∈(，π)，∴tanθ＝－3.
∴＝＝
＝＝－.
11．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，
f＝，求cos(α＋β)的值．
解　(1)∵T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)得f(x)＝2cos
∵f＝2cos＝－2sinα＝－.
∴sinα＝，cosα＝.
∵f＝2cosβ＝，
∴cosβ＝，sinβ＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝－.
12．(2013·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(Ⅰ)求C；
(Ⅱ)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
解　(Ⅰ)因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cosC＝＝＝－.
故C＝.
(Ⅱ)由题意得
＝.
因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，
tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①
因为C＝，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，
因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝－＝.
由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.

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