四年级奥数.doc

小学四年级奥数
找规律
[经典例题]
把自然数按下图的方式排列：
1 2 5 10 17…
4 3 6 11 18…
9 8 7 12 19…
16 15 14 13 20…
25 24 23 22 21…
…
问：1、第9行第9列的那个数是多少?
2.、2009在第几行第几列?
(如8在第3行第2列，22在第5行第4列)
解答：（1）据观察得出的规律可知第9行第9列的数是9×9=81，所以第9行第9列的数是81-8=73；
（2）因为45×45=2025，所以第45行第一列的数是2025，2009比2025少16，所以2009在第45行第17列。
【小结】 对于找规律的题目：我们应该先细心观察，找到规律以后记得要验证规律是否正确。

有趣的数字谜
数字谜是指在一个数学运算式子里，有些数字或运算符号未确定，要求我们开动脑筋，进行合理的判断推理，从而解开谜底，即找到真正的数字，这种问题也被称为“虫蚀算”，是起源于中国古代、风靡世界的一种有趣的数学问题。　　
数字谜题，一般有三种情况：用汉字代替数字、用字母代替数字和用符号代替数字。　　
【例1】在下面的加法算式中，只知道一个数字3，而且相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“数字谜”代表的三位数是多少？　　
谜　　
字 谜　　
＋ 数 字谜　　
3 字 谜　　

【分析与解】（1）解答数字谜问题，寻找突破口非常关键。经过观察思考后发现，可以从个位入手，三个相同的数字相加，其和的个位上数字还是这个数字，只有0或5。通过结合十位上的数字分析，得出结论：“谜”=5。　　
（2）分析十位上的数字。两个相同的数字相加，再加上个位满十所进的“1”，其和的个位上数字还是这个数字，经试验，“字”=9。　　
（3）很容易推出百位上的“数”=2。因此，“数字谜”代表的三位数是295。　　

【试一试】　　
1、　　
学　　
数 学　　
爱 数 学　　
+ 喜 爱 数 学　　
1 9 9 2　　

2、在下面的算式中，“三”、“好”、“学”、“生”4个汉字各代表一个阿拉伯数字，那么“三”、“好”、“学”、“生”分别代表什么？　　

学 生　　
好 学 生　　
+ 三 好 学 生　　
1 9 8 9　　

【例2】下面算式中不同的汉字请你用1～9中不同的数字去代替，使等式成立　　

赛 克 匹 林 奥 加 参 极 积　　
＋ 8 6 4 1 9 7 5 3 2　　
积 极 参 加 奥 林 匹 克 赛　　
【分析与解】此题可以从最高位入手分析：“赛”＋8=“积”，可知：“赛”=1，“积”=9。这样，其他的字只能用2～8来代替，由于千万位上的“克”至少取2，并且与6的和不能往前进1，所以最多取3，但取3时，与6的和为9，9重复出现了，所以只能是“克”=2，“极”=8。以下从左向右分析，同时兼顾到从右向左填出算式，因此，可以依次得出：“匹”=3，“参”=7，“林”=4，“加”=6，“奥”=5。算式如下：　　
1 2 3 4 5 6 7 8 9　　
＋ 8 6 4 1 9 7 5 3 2　　
9 8 7 6 5 4 3 2 1　　

【试一试】　　
1、下列竖式中，每个字母代表一个数字，请你求出：a=( ),s=( ),t=( ),v=( ).　　
s t v a　　
＋ v t s t　　
t t v t t 　　

2、在下面算式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，当算式成立时，这些汉字各代表什么数字？　　
1 2 2 1 0 2 0　　
－ 快 快 乐 乐 学 习　　
轻 轻 松 松 学 习　　

【例3】下式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。请问：“我们爱数学”代表的是哪五位数？　　
1            我 们 爱 数 学　　
× 3　　
我 们 爱 数 学 1　　
【分析与解】（1）选择个位作为突破口。因为3ד学”的个位是1，所以“学”=7。（2）因为3ד数”的积的个位＋2=7，所以“数”=5。（3）因为3ד爱”的积的个位＋1=5，所以“爱”8。（4）像这样，从右往左依次进行推理，便可推出：“们”=2，“我”=4。　　因此，“我们爱数学”代表的五位数是42857。　　

平均数问题
平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。
【数量关系式】数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
【数量关系式】（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
【数量关系式】
（大数－小数）÷2=小数应得数
最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数
最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
【例题】一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
【分析】求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为1/100，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是1/60，汽车共行的时间为 1/100+1/60=2/75, 汽车的平均速度为 2÷2/75=75 （千米/每小时）

数阵图
我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。
例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。

分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：
　9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，
　8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。经试验，有八种不同填法：
上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。
例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。
在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例1的解中，任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。
例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。
分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例1，1～9也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。

与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。

加减法的计算技巧
加减法是相对简单的一种运算形式，今天，小编就推荐大家几种关于加减法的速算技巧，可以在日后通过这种方法来对数字进行加减哦。
　　加减法的速算技巧如下：
　　第一，在进行加减运算的时候，可以把接近整十、整百、整千的数字看成是真正的整十、百、千来进行计算和解答。
　　第二，在进行加减的时候，要将多减去的数字加到结果上去，将少减掉的数字要再减去。
　　第三，通过补数的方法把数字凑整之后再行计算。
　　第四，当遇见加减混合运算的时候，先加再减的问题同样可以先减再加。
　　第五，在进行计算的时候，可以将题目当中的混合运算看成是两个部分。
做一做
0.35×1.6+0.35×3.4 0.25×8.6×4 6.72-3.28-1.72

0.45+6.37+4.55 4.8×46+4.8×54 0.8+0.8×2.5

1.25×3.6×8×2.5-12.5×2.4 28×12.5-12.5×20

23.65-（3.07+3.65） （4+0.4×0.25）8×7×1.25

1.65×99+1.65 27.85-（7.85+3.4）

48×1.25+50×1.25×0.2×8 7.8×9.9+0.78
乘除法计算中的技巧
四则运算中有许多十分有趣的现象和技巧，它主要是根据已学过的知识，通过一些运算定律和性质，达到计算正确而迅速的目的。
公式大全
乘法交换律：ab＝ba
乘法结合律：（ab）c＝a（bc）
乘法分配律：（a±b）c＝ac±bc
商不变性质：a÷b＝（ac）÷（bc）（c≠0）
a÷b＝（a÷c）÷（b÷c）（c≠0，b≠0）
除法的运算性质：a÷b÷c＝a÷（bc）
（加减法接近整百数的简算）：
184＋98 695＋202 864－199 738－301

（加法交换律和结合律的运用）：
380＋476＋120 （569＋468）＋（432＋131）

（减法的简算，重点：运算符号变化的处理）：
256－147－53 373－129＋29 189－（89＋74）

（乘法交换律和结合律的运用，重点：一个因数分成两个因数的处理）：
28×4×25 125×32×25 9×72×125

（除法的简算）
（乘法接近整百数的简算）
102×35 98×42

26×39＋61×26 356×9－56×9

99×55＋55 78×101－78

52×76＋47×76＋76 134×56－134＋45×134

（乘法分配律的运用）：
48×52×2－4×48 25×23×（40＋4） 999×999＋1999

加法原理与乘法原理
知识点概括：
        加法原理的关键在于分类，而乘法原理的关键在于分步。
        加法原理  做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办法中有m1种方法，第二类中有m2种方法……，第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
        乘法原理  做一件事，完成它需要分成n个步骤，第一个步骤有m1种不同的方法，第二个步骤有m2种不同的方法……，第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1"m2……mn种不同的方法。
[例1]由数字1、2、3、4、5可以组成多少个允许有重复数字的三位数？无重复数字的三位数？
解答：（1）组成允许有重复数字的三位数这件事可分三个步骤完成：
第一步确定百位上的数字：有5种不同方法。
第二步确定十位上的数字：有5种不同方法。
第三步确定个位数字：有5种不同方法。
由乘法原理：5×5×5=125。
答：可组成允许有重复数字的三位数125个。
此题第（2）问由同学们自己完成，提醒大家注意：允许有重复数字和无重复数字这两个条件的区别。
第（2）问答案是60个。
[例2]请回答：
①有5个人排成一排照相，有多少种排法？
②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？
③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？
④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法？
解：①5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有5×4×3×2×1=120种排法。
②5个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似①的方法可得共有5×4×3×2×1=120种排法。
③这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，类似①的分析可知共有4×3×2×1=24种排法。
④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有2种方法；第二步，安排其它的4人，类①的分析，有4×3×2×1=24种方法，根据乘法原理，共有2×（4×3×2×1）＝24×2＝48种排法。
[例3]请回答：
①用0，1，2，3，4这四个数，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
②用1，2，3，4这四个数，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
③用0，1，2，3这四个数，可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
解答：
①方法一：
一个四位数可以看作是四个数字的一个排列。由于"0"不能作千位数，所以千位数只能从1，2，3这三个数中任取一个，有3种选法。再考虑没有重复数字这一条件，百位、十位、个位三个位置分别有3种、2种、1种选法。根据乘法原理，可以组成3×3×2×1＝18个没有重复数字的四位数。
方法二：
如果把数字0，1，2，3，全部取出来排列，根据乘法原理，共有4×3×2×1＝24种不同的排列，其中"0"在千位上的排列（这种排列不能成四位数）有3×2×1＝6种。
所以符合条件的四位数有24－6＝18（个）（排除法）
②一个三位偶数可以看作是三个数字的一个排列，由于是偶数，所以个位数字只能从2、4中任取一个，有2种选法。再考虑没有重复数字这一条件，十位、百位这两个位置上分别有3种、2种选法。根据乘法原理，可以组成2×3×2＝12个没有重复数字的三位偶数。
③用0，1，2，3这四个数组成没有重复数字的四位偶数有两个限制条件，一是"0"不能排千位，个位数字只能是0或2。由于"0"这个数字有两个限制，因此，先考虑0"这个数字，如果"0"排在个位，则根据乘法原理，可组成3×2×1＝6个无重复数字的四位偶数；如果"0"不排个位，则个位只能选2，而千位只能从1或3中任选一个，有2种方法，百位、十位分别有2种、1种选法。根据乘法原理，可组成2×2×1＝4种无重复数字的四位偶数，再根据加法原理，共有3×2×1＋2×2×1＝10个无重复数字的四位偶数。

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