2019高考数学(文科)习题-第十章-圆锥曲线与方程-课时撬分练10-3-word版含答案.doc

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　　时间：45分钟
基础组
1.若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
答案　C
解析　∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－.∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴＝4，∴p＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝8x，故选C.
2．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
答案　D
解析　∵2c＝4a，∴c＝2a，又a2＋b2＝c2，∴b＝a，∴渐近线y＝±x，又∵抛物线C2的焦点，
∴d＝＝2，∴p＝8，∴抛物线C2的方程为x2＝16y.
3. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
答案　C

解析　如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°.连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.
4. 已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)
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A. B．3
C. D．2
答案　C
解析　抛物线的准线方程为x＝－，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝3－＝，选C.
5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
答案　B
解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，
∴ ＝2＋＝3.
解得：p＝2，y0＝±2.
∴点M(2，±2)，根据两点距离公式有：
∴|OM|＝ ＝2.
6. 已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)
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A.＋2 B.＋1
C.－2 D.－1
答案　D
解析　因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，焦点F到直线l的距离d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，选D.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．x＝－2
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝－，与抛物线方程联立得，，消去y整理得：x2－3px＋＝0，可得x1＋x2＝3p.根据中点坐标公式，有＝3，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.
8．过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|＝(　　)
A. B．6
C. D．8
答案　A
解析　不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0<θ<，点B(x1，y1)C(x2，y2)，则点B在x轴的上方．过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，抛物线方程是y2＝4x，焦点F(1,0)，cosθ＝＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝2，直线l：y＝2(x－1)．由得8(x－1)2＝4x，即2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，选A.
9．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．
答案　－1
解析　由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.
10．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．
答案　
解析　由题意得圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m＋|PC|最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即(m＋|PC|)min＝＝.
11．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．
答案　
解析　由y2＝8x知2p＝8，
∴p＝4，则点F的坐标为(2,0)．
由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)．
又点A(8,8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k＝.
∴直线l的方程为y＝(x－2)．①
将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则xA＋xB＝，∴线段AB的中点到准线的距离是＋＝＋2＝.
12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x12)，
又y＝8x3，即2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
能力组
13. 设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝(　　)
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A. B.
C. D.
答案　A

解析　如图，过A，B作准线l：x＝－的垂线，垂足分别为A1，B1，由于F到直线AB的距离为定值，
∴＝.
又∵△B1BC∽△A1AC，
∴＝，由抛物线定义知＝＝，∴＝.
由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－，
∴直线AB的方程为y－0＝(x－)．
把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，
∴|AF|＝|AA1|＝.
故＝＝＝.故选A.
14．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)
A. B．4
C. D．5
答案　C
解析　设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F，又点A在抛物线外，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|＝|PA|＋d－≥5－＝，即(|PA|＋|PM|)min＝.故选C.
15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．

答案　2
解析　建立适当的坐标系，如图所示，可求出抛物线的方程是x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝－2×(－3)＝6，所以x＝±，即水面宽是2 米．

16．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
解　(1)由题意易知B，D两点关于y轴对称，所以|FB|＝|FD|.故△BFD为等腰直角三角形．
设BD交y轴于点E，则|BE|＝|DE|＝|EF|＝p.所以|BD|＝2p.故圆F的半径|FA|＝|FB|＝p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.
因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)．故圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.
因为m的截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.