2018年北京市高考数学试卷(理科.doc

2018年北京市高考数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（　　）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

A． B． C． D．
4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）
A．f B．f C．f D．f
5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（　　）
A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　 　．
10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=　 　．
11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　 　．
12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是　 　．
13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是　 　．
14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　 　；双曲线N的离心率为　 　．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．

17．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
18．（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
19．（14分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．
20．（14分）设n为正整数，集合A={α|α=（t1t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），记
M（α，β）=[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]
（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

2018年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（　　）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，
则A∩B={0，1}，
故选：A．

2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：复数==，
共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．
故选：D．

3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：在执行第一次循环时，k=1，S=1．
在执行第一次循环时，S=1﹣=．
由于k=2≤3，
所以执行下一次循环．S=，
k=3，直接输出S=，
故选：B．

4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）
A．f B．f C．f D．f
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．
若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：=．
故选：D．

5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，
AC=，CD=，
PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．
故选：C．

6．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵“|﹣3|=|3+|”
∴平方得||2+9||2﹣6•=||2+9||2+6•
则•=0，即⊥，
则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要条件，
故选：C．

7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，
∴当sin（θ+α）=﹣1时，
dmax=1+≤3．
∴d的最大值为3．
故选：C．

8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（　　）
A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A
【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；
当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；
故选：D．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　an=6n﹣3　．
【解答】解：∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，
∴，
解得a1=3，d=6，
∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．
∴{an}的通项公式为an=6n﹣3．
故答案为：an=6n﹣3．

10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=　1+　．
【解答】解：圆ρ=2cosθ，
转化成：ρ2=2ρcosθ，
进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，
把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．
由于直线和圆相切，
所以：利用圆心到直线的距离等于半径．
则：=1，
解得：a=1±．a＞0
则负值舍去．
故：a=1+．
故答案为：1+．

11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　．
【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，
可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0
则ω的最小值为：．
故答案为：．

12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是　3　．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2y﹣x，则y=x+z，
平移y=x+z，
由图象知当直线y=x+z经过点A时，
直线的截距最小，此时z最小，
由得，即A（1，2），
此时z=2×2﹣1=3，
故答案为：3

13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是　f（x）=sinx　．
【解答】解：例如f（x）=sinx，
尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，
当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，
故答案为：f（x）=sinx．

14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　　；双曲线N的离心率为　2　．
【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
解得e=．
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得：，即，
可得双曲线的离心率为e==2．
故答案为：；2．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，
∵cosB=﹣，∴sinB===，
由正弦定理得=得sinA===，
则A=．
Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
即64=49+c2+2×7×c×，
即c2+2c﹣15=0，
得（c﹣3）（c+5）=0，
得c=3或c=﹣5（舍），
则AC边上的高h=csinA=3×=．

16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．

【解答】（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，
∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，
∵AB=BC，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，
∴AC⊥平面BEF．
（II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），
∴=（﹣2，1，0），=（0，﹣2，1），
设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，即，
令y=2可得=（1，2，4），又EB⊥平面ACC1A1，
∴=（2，0，0）为平面CD﹣C1的一个法向量，
∴cos＜，＞===．
由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角，
∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣．
（III）证明：F（0，0，2），（2，0，1），∴=（2，0，﹣1），
∴•=2+0﹣4=﹣2≠0，
∴与不垂直，
∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD，
∴FG与平面BCD相交．

17．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，
第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
P（A）==0.025．
（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，
第四类获得好评的有：200×0.25=50部，
第五类获得好评的有：800×0.2=160部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：
P（B）==0.35．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
ξk=，
则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
ξ1
1
0
P
0.4
0.6
E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，
D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．
第二类电影：
ξ2
1
0
P
0.2
0.8
E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
第三类电影：
ξ3
1
0
P
0.15
0.85
E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，
D（ξ3）=1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275．
第四类电影：
ξ4
1
0
P
0.25
0.75
E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15，
D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875．
第五类电影：
ξ5
1
0
P
0.2
0.8
E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
第六类电影：
ξ6
1
0
P
0.1
0.9
E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，
D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09．
∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：
Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．

18．（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为
f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，
解得a=1；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x=2处f（x）取得极大值，不符题意；
若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得f（x）在x=2处取得极小值；
若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；
若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，
可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．
综上可得，a的范围是（，+∞）．

19．（14分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点
P（1，2），∴4=2p，解得p=2，
设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组可得，
消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，
且k≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，
故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），
则=（0，yM﹣1），=（0，﹣1）
因为=λ，所以yM﹣1=﹣yM﹣1，故λ=1﹣yM，同理μ=1﹣yN，
直线PA的方程为y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1），
令x=0，得yM=，同理可得yN=，
因为+=+=+======2，
∴+=2，∴+为定值．

20．（14分）设n为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），记
M（α，β）=[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]
（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
【解答】解：（I ） M（a，a）=2，M（a，β）=1．
（II）考虑数对（xk，yk）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的分别为0、0、0、1，
所以B中的每个元素应有奇数个1，
所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），
（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）
对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M（α，β）是偶数，
所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，
假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，
则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M（α，β）=1不合题意，
故B中元素个数的最大值为4．
（Il） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，
（0，0，0，…，1）}，
此时B中有n+1个元素，下证其为最大．
对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在B有多于n+1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M（α，β）=0，
所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足xi=yi=l，此时M（α，β）≥1不满足题意，
故B中最多有n+1个元素．