2019-2020年中考数学模拟试卷精练：二次函数的图象和性质.doc

2019-2020年中考数学模拟试卷精选精练：二次函数的图象和性质

一、选择题
1、（湖州市中考模拟试卷7）函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）

答案：C
2、（湖州市中考模拟试卷8）抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
3、（湖州市中考模拟试卷10）已知抛物线（＜0）过、、、四点，则 与的大小关系是( )
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
答案：A
4、(河南西华县王营中学一摸)将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
5、（安徽芜湖一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．
对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＞0；③a﹣2b+4c＜0；
④8a+c＞0．其中正确结论的是__________．
答案：②③④
6、（吉林镇赉县一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
答案：A
7、（吉林镇赉县一模）如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是 平方单位（结果保留）.
答案：
8、（江苏东台实中）抛物线的对称轴是（ ）．
A、 B、 　C、 D、
答案：B
9、（江苏东台实中）函数的图像与y轴的交点坐标是（ ）．
A、（2，0） B、（－2，0） C、（0，4） D、（0，－4）
答案：D
10、（江苏东台实中）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是：（ ）
0
A a>0 b<0 c>0
B a<0 b<0 c>0
C a<0 b>0 c<0
D a<0 b>0 c>0
答案：D
11、（江苏东台实中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ）

答案：B
12、（江苏东台实中）将抛物线y=2x经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3) －4.( )
A、先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B、先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C、先向右平移3个单位再向上平移4个单位
D、先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
答案：B
13、（江苏东台实中）已知函数与x轴交点是，则的值是（ ）
A、2012 B、2011 C、2014 D、、
答案：A
14、（江苏射阴特庸中学）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )

A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0 D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根
答案：D
11题图
15江苏扬州弘扬中学二模）如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，
观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围（ ）
A．x≥0 　　　　　　　　　 B．0≤x≤1
C．－2≤x≤1 　　　　　　　　D．x≤1
答案：C
16、（江苏射阴特庸中学）已知二次函数的图象（-0.7≤x≤2）如右图所示.关于该函数在所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值1，有最大值2 B．有最小值-1，有最大值1
C．有最小值-1，有最大值2 D．有最小值-1，无最大值
答案：C
17、（江苏扬州弘扬中学二模）点A（2y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1_____ y2（ 填“＞”、“＜”、“=”）．
答案：<
18、（山东省德州一模）现掷A、B两枚均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为、，并以此确定点P（），那么各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
19、（山东省德州一模）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①＞0；
② ； ③＜； ④＞1.其中正确的结论是 （ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
答案：D
第15题

（第16题）

20、 (山西中考模拟六) 若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．

答案：D
二、填空题
1、（吉林镇赉县一模）抛物线开口向下，且经过原点，则= .
答案：-3
2、（江苏东台实中）抛物线的对称轴是____，顶点坐标是____．
答案： ；（2，5）
3、（江苏东台实中）已知抛物线与x轴两交点分别是（－1，0），（3，0）另有一点（0，－3也在图象上，则该抛物线的关系式________________ ．
答案：
4、（江苏射阴特庸中学）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是 （写出一个值即可）．

答案：-1，0，……只要满足-2增大而增大.正确的结论有_ （请写出所有正确结论的序号）．

答案： ②④
7、(河北省一摸)|如图9，抛物线与直线相交于O（0,0）和A（3,2）两点，则不等式的解集为　 　　．
答案：0是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）
解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组
解得：
∴抛物线的解析式为 …………………………… （4分）
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，
若△ABO∽△AP1D，则
∴DP1=AD=4 , ∴P1
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4
∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2） ……………………（8分）
（3）如图设点E ，则

①当P1(-1,4)时，
S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE =
∴ ∴
∵点E在x轴下方 ∴
代入得： ,即
∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解
②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =
∴ ∴
∵点E在x轴下方 ∴ 代入得：
即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）
2、（吉林镇赉县一模）如图，抛物线过A（0，2）、B（1，3）两点，CB⊥轴于C，四边形CDEF为正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧.
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）求正方形CDEF的边长.
2题图

答案：

3、（吉林镇赉县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，与抛物线交于点C、D.已知点C的坐标为（1，7），点D的横坐标为5.
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位，抛物线与直线AB只有一个交点.

答案：
3题图

4、（吉林镇赉县一模）如图，已知抛物线与轴负半轴交于点A，与轴正半轴交于点B，且OA=OB.
（1）求+的值；
（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P（不与A、C重合）是抛物线上的一点，点M是轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，求点M的坐标

25题图
答案：

6、（江苏东台实中）已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1
（1）求抛物线的解析式
（2）画出抛物线的草图
（3）根据图象回答：当x取何值时，y>0
答案：（1）（4分）（2）图略（3分）（3）
9、（江苏射阴特庸中学）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A(-2，0)和点B，与y轴相交于点C，顶点D(1，- )
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴
仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.]
答案：(1)设二次函数为y=a(x-1)2-9/2， ……1分
求得，a=1/2， ……3分
∴y=1/2(x-1)2-9/2． ……4分
(2)令y=0,得x1=-2，x2=4，∴B(4，0)， ……6分
令x=0, 得y=-4,∴C(0，-4)， ……7分
S四边形ACDB=15.∴四边形ACDB的面积为15. ……8分
(3)如：向上平移9/2个单位,y=1/2(x-1)2; 向上平移4个单位,y=1/2(x-1)2-1/2;
向右平移2个单位,y=1/2(x-3)2-9/2;
向左平移4个单位y=1/2(x+3)2-9/2.（写出一种情况即可）.……10分
10、（江苏射阴特庸中学）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).
（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为 ,点B的对应点C的坐标为 ；
（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；
（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？

答案：(1)画图1分; C (-2,0),D(0,-3). …
(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),
将D(0,-3)代入,得a=3/8. ……5分
∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3. ……6分
大致图象如图所示. ……7分
(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，
此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.
①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,[
由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s. ……9分
②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).
由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s. ……10分
③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s. ……11分
∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分
11、（江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，
试探索：
①当S1＜S＜S2时，求t的取值范围
（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；
②当t取何值时，点P在⊙M上．（写出t的值即可）

答案：解：（1）k=1－－－－－－－1分
（2）由（1）知抛物线为：
∴顶点A为（2，0）， －－－－－－－－－－－－－－2分
∴OA=2，OB=1；
过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，
∴AD=m－2，
由已知得∠BAC=90°，－－－－－－－－－－－－－－－－－3分
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠CAD，
∴Rt△OAB∽Rt△DCA，
∴，即－－－－－－－－－4分
∴n=2（m－2）；
又点C（m，n）在上，
∴，
解得：m=2或m=10；
当m=2时，n=0，当m=10时，n=16；
∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）．－－－－－－－－－6分
（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，
∴点C为（10，16）
此时S1=，
S2=SBODC－S△ACD=21；－－－－－－－－－－7分
又点P在函数图象的对称轴x=2上，
∴P（2，t），AP=|t
∴=|t|－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分
∵S1＜S＜S2，
∴当t≥0时，S=t，
∴1＜t＜21． －－－－－－－－－－－－－－－－9分
∴当t＜0时，S=－t，
∴－21＜t＜－1
∴t的取值范围是：1＜t＜21或－21＜t＜－1－－－－－－－－10分
②t=0，1，17－－－－－12分
12、（山东省德州一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．
（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A

答案：解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，
点的坐标分别为
抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，
．
点在抛物线上，将的坐标代入
，得： 解之，得：
抛物线的解析式为：．
（2）
抛物线的对称轴为，
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A
P
．
连结，
，，
又，
，
13、（山东省德州一模）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
第13题
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为
∴ ∴ ∴所求函数关系式为： （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB4，∴
∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5 ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．
当时， 当时，
∴点C和点D在所求抛物线上．
（3）设直线CD对应的函数关系式为，则
解得：．∴
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t．
则， ，
∴
∵， ∴当时，，此时点M的坐标为（，）．
14、（温州市一模）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A．过点作直线轴于点H，直线AP交轴于点．（点C不与点H重合）
（1）当时，求点A的坐标及的长．
（2）当时，问为何值时？
（3）是否存在，使？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出
相对应的点坐标；若不存在，请说明理由．

H
O
P
A

解：（1）当时，，
令，解得
∵HP∥OA，∴△CHP∽△COA，∴
∵ ∴
∴
（2）

（3）①当时（如图1），

（舍去）
②当时（如图2），
∵，又∵，∴∵
∴不存在的值使．
③当时（如图3），

P
A

④当时（如图4），

综上所述当时，点;
H
O
P
A

（图4）
当时，点．
H
O
P
A

（图3）

15、(吉林中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
（1求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为，当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），∴, ,
∴所在直线的函数解析式为.……………………………………3分
（2）∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，（0≤≤2）.
∴==， 又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短. ……………………………………7分
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.
假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，
∴，∴，∴点的坐标是（0，）.
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等. ………………9分
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，
∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.

16、（温州市中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=mx2-（2m+3）x+m+3与x轴交于点A、点
B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C（其中m>0）。
（1）求：点A、点B的坐标（含m的式子表示）；
（2）若OB=4AO，点D是线段OC（不与点O、点C重合）上一动点，在线段OD的
右侧作正方形ODEF,连接CE、BE，设线段OD=t，△CEB的面积为S，求S与t
的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

答案：解： （1） A(1,0)、
（2）m=1(或解析式)
当2物线与轴的交点是、，与轴的交点是C.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设（0<<6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.
①当取何值时，线段PQ的长度取得最大值？其最大值是多少?
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角 形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
………………………2分
解得： ………………………3分
∴所求抛物线的函数表达式是………………4分
（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）.
设直线BC的函数表达式是.
则有
解得：
∴直线BC的函数表达式是. ………………………5分

∴
= ………………………7分
=. ………………………8分
∴当时，线段PQ的长度取得最大值.最大值是1. …………9分
②当时，点P与点A重合，∴P（3，0） …………10分
当时，点P与点C重合，∴（不合题意） …11分
当时，
设PQ与轴交于点D.
，
.
又
∴⊿ODQ∽⊿QDA. ∴，即.
∴， …………………………………………12分
，∴. ………………………13分
∴.
∴或.
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或或. ……14分
，∴. …………………………13分
∴.
∴或.
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或或. ………14分
18、（湖州市中考模拟试卷7）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为 顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）；．………………………………………2分
（2）在中，，
．
设点的坐标为，其中，
∵顶点，
∴设抛物线解析式为．
①如图①，当时，，
．
解得（舍去）；．
．
．解得．
抛物线的解析式为 ………………………………………2分
②如图②，当时，，
．解得（舍去）………………………2分
③当时，，这种情况不存在．………………………1分
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
（3）存在点，使得四边形的周长最小．
如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．…………………………1分
，．
．
又，
，此时四边形的周长最小值是．………………………………………………………2分
图2
。

19、（湖州市中考模拟试卷7）已知关于的函数的图像与坐标轴只有2个交点，求的值.
解：分情况讨论：
（ⅰ）时，得.
此时与坐标轴有两个交点，符合题意. ……………………………1分
（ⅱ）时，得到一个二次函数.
① 抛物线与x轴只有一个交点，…………………1分
解得…………………………………………………………2分
② 抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0,0）…………………1分
把（0,0）带入函数解析式，易得………………………………1分

2019-2020年中考数学模拟试卷精选精练：二次函数的应用
一、选择题
1、(河北模拟)某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t－5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是
A.6s B.4s C.3s D.2s
答案：A
二、解答题
1、(深圳育才二中一摸)如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
则
∴抛物线的解析式为：…………………………2分
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4
∴又OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB …………………………3分
∴∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90° …………………………4分
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径………………………5分
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为……………………6分
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：
设直线，则该直线的解析式可表示为：，
当直线与抛物线只有一个交点时，可列方程：，且△=0
则
∴直线：．………………8分
由于，长度是定值，则当最大（即点M到直线BC的距离最远）时，的面积最大
所以点M即直线和抛物线的唯一交点，则………………9分
解得：
即 M（2，﹣4）．………………10分
2、(广西南丹中学一摸)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是 ，b＝ ，c＝ ；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
第26题图

【解答】（1）（0，－3），b＝－，c＝－3． 3分
（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t． 4分
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t． 5分
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4． 6分
综合①，②得QH＝｜4－8t｜； 6分
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似． 7分
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝． 8分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2＋2t－1＝0．
∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）． 9分
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝． 10分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）． 11分
综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝． 12分
3、(河北二摸)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是 ，b＝ ，c＝ ；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．…………………………………………3分
（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．…4分
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．………………………………………………5分
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．……………………………………………………………………6分
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．……………………………………7分
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．……………………………………8分
综合①，②得QH＝｜4－8t｜；
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．……………………………………………………………………9分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2＋2t－1＝0．
∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．………………………………………10分
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．…………………………………………………………………………11分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）．………………………………………………………………12分
综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．
4、(河北三摸)已知：如图1，抛物线的顶点为Q，与轴交于A（-1，0）、B(5，0)
（图1）

x

C
y
O

A
B

两点，与轴交于C点.
（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；

（2）在该抛物线的对称轴上求一点,使得△的周长最小.
请在图中画出点的位置，并求点的坐标；

（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥ 轴，垂足为E．
①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”。这个同学的说法正确吗？请说明理由.
（图2）
E
D
B
A
O
C
x
y
Q

（备用图）

x

C
y
O

A
B

②若与直线交于点.试探究：四边形能否为平行四边形？
若能,请直接写出点的坐标；若不能,请简要说明理由；

答案：解：(1)将A（-1，0）、B(5，0)分别代入中，
得 ，得 ∴.………………2分
图1
E
D
B
A
O
C
y
Q
P
∵， ∴Q（2 ，9）.……3分
（2）如图1，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.……4分
∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小.
∵点A关于对称轴=1的对称点是点B（5，0），抛物线与y轴交点C的坐标为（0，5）.
x
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小. ………………5分
设直线BC的解析式为y=k+5,将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
∴=-+5，∴当=2时，y=3 ，∴点P的坐标为（2，3）. ….6分

(3) 这个同学的说法不正确. ……………7分
∵设，设折线D-E-O的长度为L，则
，
图2

D

C
y
F
E
O

A
B

x
∵，∴当时，.
而当点D与Q重合时，，
∴该该同学的说法不正确.…9分
（4）①四边形不能为平行四边形.……………10分
如图2，若四边形为平行四边形,则EF=DF,CF=BF.
∵DE∥轴，∴,即OE=BE=2.5.
当=2.5时,,即；
当=2.5时, ,即.
图3

D

C
y
F
E
O

A
B

∴＞2.5. 即＞,这与EF=DF相矛盾，
∴四边形不能为平行四边形. ……………12分

4、(河北四摸) (本题9分)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？