坐标系与参数方程高考真题学生用卷.doc

坐标系与参数方程历年真题
1. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

3. 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

4. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

5. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．

6.
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈ . （1）求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x +2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.

7. 已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2 cos 2θ=1.
求曲线C的直角坐标方程.求直线l被曲线C截得的弦长.

8. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

9. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

10. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

11. 已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

12. 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

13. 在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．

14. 已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．

答案和解析
【答案】
1. 解：由，由②得，
代入①并整理得，．
由，得，
两式平方相加得．
联立，解得或．
∴|AB|=．  
2. 解：直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0，
∴P到直线l的距离d==，
∴当s=时，d取得最小值=．  
3. 解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x-2）①；
又直线l2的参数方程为，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=-2+ky②；
联立①②，消去k得：x2-y2=4，即C的普通方程为x2-y2=4；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）-=0，
∴其普通方程为：x+y-=0，
联立得：，
∴ρ2=x2+y2=+=5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ=．  
4. 解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，
∵|OM||OP|=16，
∴=16，
即（x2+y2）（1+）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
两边开方得：x2+y2=4x，
整理得：（x-2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x-2）2+y2=4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，
∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．  
5. 解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；
a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；
联立方程，
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d==，φ满足tanφ=，
又d的最大值dmax=，
所以|5sin（θ+φ）-a-4|的最大值为17，
得：5-a-4=17或-5-a-4=-17，
即a=-16或a=8．  
6. .  7. 点D的直角坐标为 ,即  
7. 由ρ2cos 2θ=1得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ=1，即有x2－y2=1，
所以曲线C的直角坐标方程为x2－y2=1.
  8. 把代入x2－y2=1中，得（2+t）2－（t）2=1，即2t2－4t－3=0，
所以t1+t2=2，t1·t2=－
设直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
所以直线l被曲线C截得的弦长为

8. 解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），
移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，
即有椭圆C1：+y2=1；
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，
即有ρ（sinθ+cosθ）=2，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y-4=0，
即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0；
（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，
联立可得4x2+6tx+3t2-3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2-16（3t2-3）=0，
解得t=±2，
显然t=-2时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|==，
此时4x2-12x+9=0，解得x=，
即为P（，）．
另解：设P（cosα，sinα），
由P到直线的距离为d=
=，
当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，
此时可取α=，即有P（，）．  
9. 解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y-1）2=a2．
∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．
化为一般式：x2+y2-2y+1-a2=0．①
由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2-2ρsinθ+1-a2=0；
（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，
∴x2+y2=4x，②
即（x-2）2+y2=4．
由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，
∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，
∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，
①-②得：4x-2y+1-a2=0，即为C3 ，
∴1-a2=0，
∴a=1（a＞0）．  
10. 解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x联立，可得x2-10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，-6），
∴|AB|==8．  
11. 解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，

故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t=x-2，代入②并整理得：2x+y-6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为．
则，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．  
12. 解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，
∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）．
（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），
则线段P1P2的中点坐标为（，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y-1=（x-），即x-2y+=0．
再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+=0，
即ρ=．  
13. 解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①
C3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②
由①②得或，
即C2与C1交点的直角坐标为（0，0），（，）；
（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，
则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．
因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．
所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4|sin（α）|，
当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．  
14. 解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；
（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，
由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．  
【解析】
1. 分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．
本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．
2. 求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．
本题考查了参数方程的应用，属于基础题．
3. 解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x-2）①与x=-2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2-y2=4；
（2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）-=0化为普通方程：x+y-=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=．
本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．
4. （1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可；
（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
5. （1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．
本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．
6~7. 【小题1】
试题分析：C的普通方程为
+y2=1 .
可得C的参数方程为
.
【小题2】
试题分析：设D(1+cost ,sint ).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,
tant = ,t= .
故点D的直角坐标为 ,即 .
7~8. 【小题1】略
【小题2】略
8. （1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．
另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．
本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
9. （Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；
（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1-a2=0，则a值可求．
本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．
10. 直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
11. （Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．
12. （Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．
（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．
本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．
13. （Ⅰ）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；
（Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．
本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查学生的运算和转化能力．
14. （1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；
（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．
本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．
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