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待定系数法分解因式（附答案）
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述
　　将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
　　本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析
　　这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
　　例1 分解因式
思路1 因为
所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为所以可设

比较系数，得
　　由①、②解得把代入③式也成立。
　　∴
　　思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
　　解法2 因为所以可设

　　因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得
令得
　　解①、②得或
　　把它们分别代入恒等式检验，得
　　∴
　　说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

　　例2 分解因式
　　思路 本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
　　解 设

　　　由恒等式性质有：
　　由①、③解得代入②中，②式成立。
　　∴
　　说明 若设原式
　　由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。
解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得
　　　　　　　　　　　　解得
　　故所求的二次三项为
　　思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
　　解法2 由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
　　把代入上式，得
　　解得
　　故所求的二次三项式为即
　　说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。

例4 已知多项式的系数都是整数。若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
　　思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
　　证明：设 （m,n,r都是整数）。
　　比较系数，得

　　因为是奇数，则与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令，得②
　　由是奇数，得是奇数。而m为奇数，故是偶数，所以是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。
　　因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
　　说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
例5 已知能被整除，求证：
　　思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
　　证明：设展开，比较系数，得

　　由①、②，得，
　　代入③、④得：，
　　∴
例6若a是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。
　　思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。
　　解：由待定系数法可解得

　　由于a是自然数，且 是一个质数，
　　∴
　　解得
　　当时，不是质数。
　　当 时，是质数。
　　∴=11 .

培优训练
A级
★★★1、分解因式_______.
★★★2、若多项式能被 整除，则n=_______.
★★3、二次三项式当 时其值为-3，当 时其值为2，当 时其值为5 ，这个二次三项式是_______.
★★4、m, n是什么数时，多项式能被整除？
B级
★★★5、多项式 能分解为两个一次因式的积，则k=_____.
★★★6、若多项式 能被整除，则_______.
★★7、若多项式当2 时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。
★★★8、求证：不能分解为两个一次因式的积。

参考答案或提示：
1.
　　提示：设原式

　　比较两边系数，得

　　由①、②解得
　　将 代入③式成立。
　　∴原式
　　2、-4。
提示：设原式
　　　　　　=
　　比较系数，得

　　由①、②解得
　　代入③得
　　3、
　　提示：设二次三项式为
　　把已知条件代入，得

　　　　　　　　　　解得
　　∴所求二次三项式为
　　4.
　　设

　　比较系数，得

　　　　　　　　　 解得
　　∴当m=-11，n=4已知多项式能被整除。
　　5.-2
　　提示：设原式
　　　　　　　　.
　　比较系数，得

　　　　　　　　　 解得
　　6.-7
　　提示：设原式

　　比较系数，得

　　　　　　　　　　解得
　　∴
　　7.3.
　　提示：设原式

　　比较系数，得

　　　　　　　　　　解得c=3.
　　∴当x=3时，多项式的值也是0.
　　8.设原式且展开后比较系数，得

　　由④、⑤得代入③，再由①、③得将上述入②得.而这与③矛盾，即方程组无解。故命题得证。

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