1、2.1
2.2
2.3 掷一枚硬币定义一个随机过程：
设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：
（1）的一维分布函数，；
（2）的二维分布函数；
（3）画出上述分布函数的图形。
2.3 解：
（1）
一维分布为:
(2)
二维分布函数为
2.4 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。试问，
（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？
（2）连续4位构成
2、的串的平均串是什么？
（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？
（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？
2.4解：
解：（1）
（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,….
其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有：
² 串（4bit数据）为：，其矩特性为：
因为随机变量的矩为：
均值：
方差：
所以随机变量的矩为：
均值：
方
3、差：
² 如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：
串平均：
串方差：
（3）概率达到最大的串为
（4）该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。所以如果见到10111后，下一位仍为0或1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。
2.5 正弦随机信号{X(t,s)=Acos(200πt), t>0}, 其中振幅随机变量A取值为1和0，概率分别为0.1和0.9，试问，
（1）一维概率分布F(x,5)；
（2）二维概率分布F(x, y, 0
4、 0.0025)；
（3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？
（4）如果开启后t=1时刻测得输出电压为1伏特，问t=2时刻可能的输出电压是什么？概率多少？它是可预测的随机信号吗？
解：（1）
（2）
（3）因为，所以开启该设备后90%的情况会见到无电压(A = 0) 。
（4）t = 1时刻 ，有
，可得A=1；
t = 2时刻 ，有；
因为在A=1的前提下，t=2时刻输出电压为确定值1 ，所以。它是可预测的随机信号。
解题关键：理解本随机信号中只有一个随机变量A，而它的值只在初始时是不确定
5、的，一旦A的值确定了，信号变成了确定信号。
2.6 若正弦信号，其中振幅与频率取常数，相位是一个随机变量，它均匀分布于间，即
求在时刻信号的概率密度。
解：注意到是的函数，并且，。对于任意给定的，随可能有多个单调段。但在每个单调段上都有，
因此，
2.7 设质点运动的位置如直线过程 ，其中与，并彼此独立。试问：
（1） t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？
（2） 它是可预测的随机信号吗？
2.7 解：
（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布
所以它的一维概率密度函数为:
(2) 此信号是可预测随机信号
2.8 假定（
6、1,+1）的伯努利序列 的取值具有等概特性。试问：
（1） 它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？
（2） 它是可预测的随机信号吗？
2.8 解：
(1)
(2) 该随机信号不可预测
2.9
2.10 给定随机过程和常数，试以的自相关函数来表示差信号的自相关函数。
2.10 解：
由题意可得：
2.11 两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A与B为未知分布随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，
（1）两个随机信号的互相关函数；
（2）讨论两个随机信号的正交性、互
7、不相关（无关）性与统计独立性；
解：（1）
，
（2）①如果E[A]或E[B]为0，则
，随机信号X(t)与Y(t)正交 且互不相关；
②如果E[A]与E[B]均不为0，则，X(t)与Y(t)不正交，相关；
③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。
且
2.12
2.13 假定正弦电压信号，其中，服从均匀分布，服从均匀分布，它们彼此独立。如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。
题2.13
解：由电路原理的相关知识可知：
，则
2.14
2.15 零均值高斯信号的自相关函数为，求的一维和二维概率密度。
解：(1) 因为 ，
所以一维概率密度函数为：
(2) 高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：
，
，则
2.16
2.17
2.18 某高斯信号的均值，协方差，写出当、和时的三维概率密度。
解：由定义得：
又因为
设
则
2.19 设随机变量，其中，，求的概率密度和特征函数。
题2.19
解：因为与，，而。
于是，。则
(X，Y)的概率密度函数为
其特征函数为：
15
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