定积分习题及答案.doc

第五章 定积分
(A层次)
1．； 2．； 3．；
4．； 5．； 6．；
7．； 8．； 9．；
10．； 11．； 12．；
13．； 14．； 15．；
16．； 17．； 18．；
19．； 20．； 21．；
22．； 23．； 24．；
25．。

(B层次)
1．求由所决定的隐函数对的导数。
2．当为何值时，函数有极值？
3．。
4．设，求。
5．。
6．设，求。
7．设，求。
8．。
9．求
10．设是连续函数，且，求。
11．若，求。
12．证明：。
13．已知，求常数。
14．设，求。
15．设有一个原函数为，求。
16．设，在上，求出常数，使最小。
17．已知，求。
18．设，求。
19．。
20．设时，的导数与是等价无穷小，试求。

(C层次)
1．设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，已知，求。
2．设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，则在内存在，使得。
3．在上二次可微，且，。试证。
4．设函数在上连续，在上存在且可积，，试证()。
5．设在上连续，，，求证存在一点，，使。
6．设可微，，，，求。
7．设在上连续可微，若，则
8．设在上连续，，求证 。
9．设为奇函数，在内连续且单调增加，，证明：(1)为奇函数；(2)在上单调减少。
10．设可微且积分的结果与无关，试求。
11．若在连续，，，证明：
。
12．求曲线在点(0,0)处的切线方程。
13．设为连续函数，对任意实数有，求证。
14．设方程，求。
15．设在上连续，求证：
()
16．当时，连续，且满足，求。
17．设在连续且递减，证明
，其中。
18．设连续，，，，试证：。
19．设是上的连续函数，，试证在内方程至少有一个根。
20．设在连续，且，又，证明：
(1) (2)在内有且仅有一个根。
21．设在上连续，则。
22．设是以为周期的连续函数，证明：
。
23．设在上正值，连续，则在内至少存在一点，使
。
24．证明。
25．设在上连续且严格单调增加，则。
26．设在上可导，且，，则。
27．设处处二阶可导，且，又为任一连续函数，则，。
28．设在上二阶可导，且，则。
29．设在上连续，且，，证明在上必有。
30．在上连续，且对任何区间有不等式(，为正常数)，试证在上。
第五章 定积分
(A)
1．
解：原式
2．
解：令，则
当时，当时
原式

3．
解：令，则
当，时分别为，
原式

4．
解：令，则，
当，1时，
原式
5．
解：令，
当时，；当时，
原式

6．
解：令，则，
当时
原式
7．
解：原式

8．
解：原式

9．
解：原式

10．
解：∵为奇函数
∴
11．
解：原式

12．
解：∵为奇函数
∴
13．
解：原式

14．
解：原式

15．
解：原式

16．
解：原式

故
17．
解：原式

18．
解：原式

故
19．
解：原式

20．
解：原式

21．
解：令，则
原式

22．
解：原式

23．
解：原式

24．
解：原式

故
25．
解：令，则
原式
∴

故

(B)
1．求由所决定的隐函数对的导数。
解将两边对求导得

∴
2．当为何值时，函数有极值？
解：，令得
当时，
当时，
∴当时，函数有极小值。
3．。
解：原式

4．设，求。
解：

5．。
解：

6．设，求。
解：当时，
当时，
当时，
故。
7．设，求。
解：

8．。
解：原式

9．求。
解：原式

10．设是连续函数，且，求。
解：令，则，
从而
即，
∴
11．若，求。
解：令，则，
当时，
当时，
∴

从而
12．证明：。
证：考虑上的函数，则
，令得
当时，
当时，
∴在处取最大值，且在处取最小值
故
即。
13．已知，求常数。
解：左端
右端

∴
解之或。
14．设，求。
解：令，则

15．设有一个原函数为，求。
解：令，且

16．设，在上，求出常数，使最小。
解：当最小，即最小，由知，在的上方，其间所夹面积最小，则是的切线，而，设切点为，则切线，故，。
于是

令得
从而，
又，此时最小。
17．已知，求。
解：

18．设，求。
解：设，，则
∴
∴
解得：，，于是

19．。
解：原式

20．设时，的导数与是等价无穷小，试求。
解：

故

(C)
1．设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，已知，求。
解：设，则

令
于是，，
由已知得
2．设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，则在内存在，使得。
证：由泰勒公式

其中，位于与之间。
两边积分得：

令，则

，。
3．在上二次可微，且，。试证。
证明：当时，由，知是严格增及严格凹的，从而及
故

4．设函数在上连续，在上存在且可积，，试证 ()。
证明：因为在上可积，故有

而，
于是

5．设在上连续，，，求证存在一点，，使。
证：假设，
由已知，，得

故
从而
∴
因为在连续，则或。从而或，这与矛盾。故。
6．设可微，，，，求。
解：令，则，显然
于是。
7．设在上连续可微，若，则。
证：因在上连续可微，则在和上均满足拉格朗日定理条件，设，则有

故。
8．设在上连续，，求证 。
证：
令，则
于是

故

9．设为奇函数，在内连续且单调增加，，证明：(1)为奇函数；(2)在上单调减少。
证：(1)

∴为奇函数。
(2)

由于是奇函数且单调增加，当时，， ，故，，即在上单调减少。
10．设可微且积分的结果与无关，试求。
解：记，则

由可微，于是

解之（为任意常数）
11．若在连续，，，证明：
。
解：因

所以。
12．求曲线在点(0,0)处的切线方程。
解：，则，故切线方程为：，
即。
13．设为连续函数，对任意实数有，求证。
证：两边对求导

即
令，即得。
14．设方程，求。
解：方程两边对求导，得

从而

15．设在上连续，求证：
()
证：设为的原函数，则
左边

右边。
16．当时，连续，且满足，求。
解：等式两边对求导，得

令得
将代入得：
故。
17．设在连续且递减，证明
，其中。
证：
则

，，

由于递减，
故
即。
18．设连续，，，，试证：。
证：

在第一个积分中，令，则

而
故
19．设是上的连续函数，，试证在内方程至少有一个根。
证：由积分中值定理，存在使

即
故是方程的一个根。
20．设在连续，且，又，证明：
(1) (2)在内有且仅有一个根。
证：(1)
(2)，
又在连续，由介值定理知在内至少有一根。
又，则单增，从而在内至多有一根。
故在内有且仅有一个根。
21．设在上连续，则。
证：
令，，则

故
22．设是以为周期的连续函数，证明：
。
证：

令，则

(∵以为周期)
故
23．设在上正值，连续，则在内至少存在一点，使
。
证：令
由于时，，故

故由零点定理知，存在一点，使得
即

又
故。
24．证明。
证：设，则

令，则

故
25．设在上连续且严格单调增加，则。
证：令
则

∵，在严格单增
∴
则，从而
即
故
26．设在上可导，且，，则。
证：由假设对，可知在上满足微分中值定理，则有
，
又因，
故
于是。
27．设处处二阶可导，且，又为任一连续函数，则，。
证：由泰勒公式，有

其中在与之间
又因，故

即
令，
则

即。
28．设在上二阶可导，且，则。
证：对，将在处展开，得

其中在与之间。
由题设，则。
从而
积分
即
29．设在上连续，且，，证明在上必有。
证：由得，再由题设，知
又由于，对得，
即，从而
30．在上连续，且对任何区间有不等式(，为正常数)，试证在上。
证：令，则
又
令，则上式左端，右端。由此得，由的任意性知。

O(∩_∩)O