1、
第四章 平面问题的极坐标解答
【4-8】 实心圆盘在的周界上受有均布压力q的作用，试导出其解答。
【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即
(a)
首先，在圆盘的周界（）上，有边界条件，由此得
(b)
其次，在圆盘的圆心，当时，式（a）中，的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当时，必须有。
把上述条件代入式（b）中，得
。
所以，得应力的解答为
。
【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q，
2、试用应力函数求解应力分量（图4-15）。
【解答】（1）相容条件：
将应力函数代入相容方程，显然满足。
（2）由求应力分量表达式
（3）考察边界条件：注意本题有两个面，即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有
得；
得。
将各系数代入应力分量表达式，得
【4-14】 设有内半径为r而外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变量，并求圆筒厚度的改变量。
【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B=0。
内外的应力边界条件要求
3、 由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求
由上式解得
(a)
把A，B，C值代入轴对称应力状态下对应的位移分离，教材中式（4-12）。
(b)
(c)
式（c）中的，取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零
所以，轴对称问题的径向位移式（b）为
，
而圆筒是属于平面应变问题，故上式中，代替，则有
，
此时内径改变为
外径改变为
圆环厚度的改变为
【4-16】在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为，，如该处有一小圆孔，试
4、求孔边的最大正应力。
【解答】（1）求出两个主应力，即
原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如下图所示。根据教材中的式（4-18）
(4-18)
沿着孔边，环向正应力是。
最大环向正应力为。
【4-17】同习题【4-16】，但。
【解答】（1）求出两个主应力，即
（2）原来的问题变为矩形薄板只在左右两边受均布拉力2q，如下图所示。
2q
2q
x
y
O
可以将荷载分解为两部分：第一部分是四边的均布拉力，第二部分是左右两边的均布拉力和上下两边的均布压力。对于第一部分荷载，可应用教材中的式（4-17），对于第二部分荷载，可应用教材中的式（4-18），将两部分解答叠加，即得原荷载作用下的应力解答（基尔斯解答）。
沿着孔边，环向正应力是
最大环向正应力为。
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