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《离散型随机变量的期望与方差-综合试题》

一．选择题（共10小题）
1．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）等于（　　）
A．12p B．1﹣p C．1﹣2p D．12﹣p
2．已知随机变量X服从二项分布X～B（6，13），则P（X=2）等于（　　）
A．1316 B．4243 C．13243 D．80243
3．已知随机变量X+Y=8，若X～B（10，0.6），则E（Y），D（Y）分别是（　　）
A．6和2.4 B．6和5.6 C．2和5.6 D．2和2.4
4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（　　）
A．18 B．14 C．25 D．12
5．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（　　）
A．23 B．0 C．1 D．13
6．已知随机变量X的分布列为：
X
﹣1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c为等差数列，若EX=13，则DX为（　　）
A．13 B．49 C．59 D．23
7．已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=13，k=1，2，3．则D（2ξ+3）等于（　　）
A．23 B．43 C．2 D．83
8．一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．23
9．根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830．则在吹东风的条件下下雨的概率为（　　）
A．911 B．89 C．25 D．811
10．根据气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，则甲地为雨天时乙地也为雨天的概率为（　　）
A．0.12 B．0.60 C．0.67 D．0.90

二．解答题（共20小题）
11．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
12．某校高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班．在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表．

优秀
非优秀
总计
课改班

50

非课改班
20

110
合计

210
（1）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改有关”；
（2）把全部210人进行编号，从编号中有放回抽取4次，每次抽取1个，记被抽取的4人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
13．一次单元测试由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分得100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测试中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测试中成绩的均值．
14．某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：
培训次数
1
2
3
参加人数
5
15
20
（1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；
（2）从40人中任选两名学生，用X表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．
15．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
16．一盒子装有4件产品，其中3件一等品，1件二等品．从中取产品两次，每次任取一件，作不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P（B|A）．
17．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
18．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
（1）求此人患色盲的概率；
（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率．（以上各问结果写成最简分式形式）

19．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
20．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
21．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（Ⅰ求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
22．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23．假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X的概率分布及数学期望．
23．某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η．
（1）写出ξ的概率分布列（不要求计算过程），并求出Eξ，Eη；
（2）求Dξ，Dη．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？
24．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
25．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
26．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
27．某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
28．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
29．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
30．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

《离散型随机变量的期望与方差-综合试题》
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，1），
∴正态曲线关于ξ=0对称，
∵P（ξ＞1）=p，
∴P（ξ＜﹣1）=p，
∴P（﹣1＜ξ＜0）=12﹣p．
故选：D．

2．
【解答】解：∵随机变量X服从二项分布X～B（6，13），
∴P（X=2）=C62×（13）2×（1﹣13）4=80243，
故选：D．

3．
【解答】解：∵随机变量X+Y=8，X～B（10，0.6），
∴E（X）=10×0.6=6，D（X）=10×0.6×（1﹣0.6）=2.4，
∴E（Y）=E（8﹣X）=8﹣E（X）=8﹣6=2，
D（Y）=D（8﹣X）=﹣1）2D（X）=D（X）=2.4．
故选：D．

4．
【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），
∴p（A）=25，
事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=110
∴P（B|A）=p(AB)P(A)=14．
故选：B．

5．
【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）
Eξ=300，Dξ=200
∴Eξ=300=np，①；Dξ=200=np（1﹣p），②
②①可得1﹣p=200300=23，
∴p=1﹣23=13
故选：D．

6．
解答】解：由题意知：
&a+b+c=1&-a+c=13&2b=a+c，
解得a=16，b=13，c=12，
∴DX=（﹣1﹣13）2×16+（0﹣13）2×13+（1﹣13）2×12=59．
故选：C．

7．
【解答】解：随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=13，k=1，2，3．可得Eξ=（1+2+3）×13=2，
E（ξ2）=（12+22+32）×13=143．
∴Dξ=E（ξ2）﹣（Eξ）2=143-22=23．
则D（2ξ+3）=4Dξ=83．
故选：D．

8．
【解答】解：记第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品为事件A，则
第一次取到一等品的概率为0.6，此时第二次取得一等品的概率为0.5；
第一次取到二等品的概率为0.4，此时第二次取得一等品的概率为0.75；
第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为P（A）=0.4×0.750.4×0.75+0.6×0.5=0.5．
故选：A．

9．
【解答】解：设事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份下雨．
根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P（B|A）=830930=89．
故选：B．

10．
【解答】解：设一年中甲市下雨记为事件A，乙市下雨记为事件B，则两市同时下雨记为事件AB，
由题意可得，p（A）=20%，p（B）=18%p（AB）=12%，
则甲市下雨时乙市也下雨的概率为P(AB)P(A)=12%20%=35，
故选：B．

二．解答题（共20小题）
11．
【解答】解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为23和35．
则P（B）=(1-23)×(1-35)=13×25=215，
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=1315，
故至少有一种新产品研发成功的概率为1315．
（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
P(X=0)=(1-23)×(1-35)=215，
P(X=120)=23×(1-35)=415，
P(X=100)=(1-23)×35=15，
P(X=220)=23×35=25，
所以X的分布列如下：
X
0
120
100
220
P（x）
215
415
15
25
则数学期望E（X）=0×215+120×415+100×15+220×25=140．

12．
【解答】解：（1）

优秀
非优秀
总计
课改班
50
50
100
非课改班
20
90
110
合计
70
140
210
（2分）
K2=210×(50×90-20×50)2100×110×70×140=23.86＞6.635，（5分）
所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关．（6分）
（2）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4．（7分）
由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到优秀的概率为70210=13，（8分）
P（ξ=0）=C40（13）0（23）4=1681；P（ξ=1）=C41（13）1（23）3=3281；
P（ξ=2）=C42（13）2（23）2=827；P（ξ=3）=C43（13）3（23）1=881；
P（ξ=4）=C44（13）4（23）0=181．

所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
1681
3281
827
881
181
（10分）
Eξ=0×1681+1×3281+2×827+3×881+4×181=43．（12分）

13．
【解答】解：设学生甲和学生乙在这次测试中选对的题数分别为X1和X2，
由题意知X1～B（20，0.9），X2～B（20，0.25），
∴EX1=20×0.9=18，EX2=20×0.25=5，
学生甲和学生乙在这次测试中的成绩分别为5X1和5X2，
∴学生甲和学生乙在这次测试中的成绩的均值分别为：
E（5X1）=5EX1=5×18=90，
E（5X2）=5EX2=5×5=25．

14．
【解答】解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为P=1-C51C151C201C403=419494．…（5分）
（2）由题意知X=0，1，2．则
P(X=0)=C52+C152+C202C402=61156；P(X=1)=C51C151+C151C201C402=75156；P(X=2)=C51C201C402=539.
则随机变量X的分布列：
X
0
1
2
P
61156
75156
539
∴X的数学期望：EX=0×61156+1×75156+2×539=115156．…（13分）

15．
【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1﹣12）×（1﹣13）（1﹣14）=14，
P（X=1）=12×（1﹣13）×（1﹣14）+（1﹣12）×13×（1﹣14）+（1﹣12）×（1﹣13）×14=1124，
P（X=2）=（1﹣12）×13×14+12×（1﹣13）×14+12×13×（1﹣14）=14，
P（X=3）=12×13×14=124；
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
14
1124
14
124
随机变量X的数学期望为E（X）=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312；
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）
=14×1124+1124×14
=1148；
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．

16．
【解答】解：由题意，P（B|A）=P(AB)P(A)=C31C21C31C21+C31=23．

17．
【解答】解：一个基本事件是从5道题中不放回地抽取2道，它包含的基本事件数是A52=5×4=20．（1）设第一次抽到理科题为事件A，则它包含的基本事件的个数为A31A41=12，于是P（A）=1220=35．
（2）设第1次和第2次都抽到理科题为事件B，则它包含的基本事件数为A31A21=6，于是P（B）=620=310．
（3）因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率为P=24=12．

18．
【解答】解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C．
（1）此人患色盲的概率
P=P（AC）+P（BC）=P（A）P（C|A）+P（B）P（CB）=100200×5100+100200×0.25100=21800…（6分）
（2）由（1）得P（AC）=5200
又∵P（C）=21800
∴P（A|C）=P(AC)P(C)=520021800=2021…（12分）

19．
【解答】解：（I）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，
则P（A）=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55．
（II）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=0.10+0.050.55=311．
（III）解：设本年度所交保费为随机变量X．
则X的分布列为：
X
0.85a
a
125a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
∴平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a+5×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05
=0.255a+0.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.1a=1.23a，
∴平均保费与基本保费比值为1.23．

20．
【解答】解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题设条件有&P(A⋅B→)=14&P(B⋅C→)=112&P(A⋅C)=29.
即&P(A)⋅(1-PB))=14&P(B)⋅(1-P(C))=112&P(A)⋅P(C)=29.
由①、③得P(B)=1-98P(C)
代入②得27[P（C）]2﹣51P（C）+22=0．
解得P（C）=23或119（舍去）．
将P(C)=23分别代入③、②可得
P(A)=13，P(B)=14.
即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.
（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则P(D)=1-P(D)=1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=1-23⋅34⋅13=56.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.

21．
【解答】解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
∵甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5
可以得到D，E，F的对立事件的概率分别为0.4，0，5，0.5
红队至少两名队员获胜包括四种情况：DEF，DEF，DEF，DEF，
这四种情况是互斥的，
∴P=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55
（II）由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=0.4×0.5×0.5=0.1．，
P（ξ=1）=0.4×0.5×0.5+04×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35
P（ξ=3）=0.6×0.5×0.5=0.15
P（ξ=2）=1﹣0.1﹣0.35﹣0.15=0.4
∴ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
∴Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6

22．
【解答】解：（1）记甲队以3：0，3：1，3：2获胜分别为事件A，B，C．
由题意得P（A）=(23)3=827，
P（B）=C32(23)2⋅(13)⋅(23)=827，
P（C）=C42(23)2⋅(13)2⋅12=427
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=3）=P（A）+P（B）=1627； P（X=2）=P（C）=427，
P（X=1）=C42•（23）2（13）2•12=427，P（X=0）=1﹣P（1≤X≤3）=19．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
19
427
427
1627
从而E（X）=0×19+1×427+2×427+3×1627=209．
答：甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率分别为827，827，427．甲队得分X的数学期望为209． …（10分）

23．
【解答】解：（1）ξ的取值可能为1，2，3
P（ξ=1）=C41C22C63=15，P（ξ=2）=C42C21C63=35，P（ξ=3）=C43C63=15
ξ的分布列是

∴Eξ=1×15+2×35+3×15=2
由题意知η～B（3，23）
∴Eη=3×23=2
（2）Dξ=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25
∵η～B（3，23）
∴Dη=3×23×13=23
从计算的结果来看，两个人的平均成绩相等，甲的方差比乙的方差小，
建议派甲参加竞赛．

24．
【解答】解：（1）X可能的取值为10，20，100，﹣200．
根据题意，有P（X=10）=C31×(12)1×(1-12)2=38，
P（X=20）=C32×(12)2×(1-12)1=38，
P（X=100）=C33×(12)3×(1-12)0=18，
P（X=﹣200）=C30×(12)0×(1-12)3=18C30×(12)0×(1-12)3=18．
∴X的分布列为：
X
10
20
100
﹣200
P
38
38
18
18
X的数学期望为EX=10×38+20×38+100×18﹣200×18=﹣54．
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i=1，2，3），则
P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=P（X=﹣200）=18．
∴“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1﹣P（A1A2A3）=1-(18)3=1-1512=511512．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512．

25．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=C22C32+C32C32C84=635，
∴事件A发生的概率为635；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．
P（X=k）=C5kC34-kC84（k=1，2，3，4）．
∴随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
114
37
37
114
随机变量X的数学期望E（X）=1×114+2×373×37+4×114=52．

26．
【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，A1A2，A2A1互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=A1A2+A2A1，C=B1+B2，因为P（A1）=410=25，P（A2）=510=12，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）=25×12=15，P（B2）=P（A1A2）+P（A2A1）=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=25×(1-12)1-25)×12=12，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=15+12=710．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：15所以．X～B(3，15)．于是，P（X=0）=C30(15)0(45)3=64125，P（X=1）=C31(15)1(45)2=48125，P（X=2）=C32(15)2(45)1=12125，P（X=3）=C33(15)3(45)0=1125．
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
E（X）=3×15=35．

27．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：C33C43C63C63=1100，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣1100=99100；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，
则X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）=C31C33C64=15，
P（X=2）=C32C32C64=35，
P（X=3）=C33C31C64=15．
X的分布列：
X
1
2
3
P
15
35
15
和数学期望EX=1×15+2×35+3×15=2．

28．
【解答】解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则P（A）=A21A31A52=310．
（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400
P（X=200）=A22A52=110．
P（X=300）=A33+C21C31A22A53=310．
P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=610．
X的分布列为：
X
200
300
400
P
110
310
610
EX=200×110+300×310+400×610=350．

29．
【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率公式有P（A）=C21C31C51C103=14．
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，
则P（X=0）=C83C103=715，P（X=1）=C21C82C103=715，P（X=2）=C22C81C103=115，
X
0
1
2
P
715
715
115
EX=0×715+1×715+2×115=35．

30．
【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则P（A）=56×45×34=12．
（2）有可能的取值是1，2，3
又则P（X=1）=16，
P（X=2）=56×15=16，
P（X=3）=56×45=23，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
16
16
23
EX=1×16+2×16+3×23=52．

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